Integrationsregeln

Die Integrationsregeln sind ein wichtiger Teil der Integralrechnung. Sie werden dir bestimmt bekannt vorkommen. Schließlich bildest du bei der Berechnung unbestimmter Integrale die Stammfunktionen von Funktionen – und das ist genau das, was du beim Ableiten tust, nur in die andere Richtung: Die Ableitung der Stammfunktion ist deine gewohnte Funktion, von der du wiederum die Ableitung bilden kannst. Jede Ableitungsregel hat daher eine Entsprechung in Form einer Integrationsregel.

Einen wichtigen Unterschied gibt es dabei aber, und das ist die Integrationskonstante C$C$. Dabei handelt es sich einfach um eine Zahl. Wir brauchen sie, da solche konstanten Zahlen beim Ableiten wegfallen. Wollen wir also die Ableitung umkehren und das unbestimmte Integral bilden, müssen wir berücksichtigen, dass die Stammfunktion zusätzlich eine konstante Zahl aufweisen kann. Diese möglichen Zahlen – es sind unendlich viele – bezeichnen wir mit C$C$.

Wie auch bei den Ableitungsregeln ist die Potenzregel die wahrscheinlich am häufigsten benötigte Integrationsregel. Sie sieht etwas kompliziert aus, ist jedoch recht einfach anzuwenden.

Die allgemeine Formel lautet:

Schauen wir uns dazu gleich ein Beispiel an, dann wird dir leicht klar, was die ganzen Buchstaben bedeuten:

f(x)=x3$f(x)=x^3$

F(x)=13+1x3+1+C=14x4+7$F(x)=\frac{1}{3+1}{x}^{3+1}+C=\frac{1}{4}{x}^4+7$

Für die Integrationskonstante C$C$ haben wir hier die Zahl 7$7$ gewählt. Bedenke aber, dass es unendlich viele Möglichkeiten für C$C$ gibt, zum Beispiel auch 0,675$0,675$ oder –65$–\frac{6}{5}$.

Auch die Faktorregel zum Integrieren ist der bereits bekannten Faktorregel beim Ableiten ähnlich. Sie besagt, dass du einen konstanten Faktor – nennen wir ihn a$a$ – beim Integrieren vor das Integral ziehen kannst. So kannst du einfacher integrieren und zum Schluss ausmultiplizieren. Natürlich gibt es auch für diese Regel eine allgemeine Formel. Sie sieht so aus:

Beispiel:

Wie lautet das unbestimmte Integral von f(x)=2x43dx$f(x)=\frac{2x^4}{3}dx$?

Der Faktor a$a$ steckt hier im Bruch und lautet 23$\frac{2}{3}$. Wir können diesen Faktor also vor das Integral ziehen:

2x43dx=23∫x4dx$\frac{2x^4}{3}dx=\frac{2}{3}\int x^{4}dx$

Nun können wir ungestört x4$x^4$ mithilfe der Potenzregel integrieren:

23∫x4dx=23⋅15x5+C$\frac{2}{3}\int x^{4}dx=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5}{x}^5+C$

Schließlich müssen wir nur noch ausmultiplizieren:

23⋅15x5+C=215x5+C$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{5}{x}^5+C=\frac{2}{15}{x}^5+C$

Fertig!

Die Summenregel kommt dir sicherlich ebenfalls bekannt vor. Als Integrationsregel besagt sie, dass du bei einer Summe, die du integrieren sollst, zunächst den einen und dann den anderen Summanden integrieren und schließlich die Summe daraus bilden darfst. Allgemein geschrieben sieht die Formel so aus:

Die Differenzregel funktioniert übrigens ganz genauso. Nur bildest du hier eben nicht die Summe aus den beiden Teilfunktionen, sondern die Differenz:

Beispiel:

Bilde das unbestimmte Integral von 3x2+x4$3x^2+x^4$.

Wir schreiben:

∫3x2dx+∫x4dx=$\int 3x^{2}dx+\int x^{4}dx=$?

Wir können nun die Teilfunktionen einzeln integrieren:

∫3x2dx+∫x4dx=x3+15x5+C$\int 3x^{2}dx+\int x^{4}dx=x^3+\frac{1}{5}{x}^5+C$

Und schon sind wir fertig! Hätten wir eine Differenz mit diesen Teilfunktionen gehabt, hätten wir einfach nur statt einem Plus- ein Minuszeichen geschrieben und folgendes Ergebnis erhalten:

∫3x2dx−∫x4dx=x3−15x5+C$\int 3x^{2}dx-\int x^{4}dx=x^3-\frac{1}{5}{x}^5+C$

Die partielle Integration ist nicht mehr ganz so einfach, aber anhand eines Beispiels kannst du sie sicher gut verstehen. Wann braucht man die partielle Integration überhaupt? Sie hat noch einen zweiten Namen, der ihren Einsatzzweck verrät: Produktintegration. Wir brauchen diese Integrationsregel immer dann, wenn wir ein Produkt aus zwei Teilfunktionen g(x)$g(x)$ und h(x)$h(x)$ integrieren wollen. Die allgemeine Formel sieht so aus:

An der Formel kannst du erkennen, dass wir nicht nur die Funktionen g$g$ und h$h$, sondern auch die Ableitung g′$g^{\prime }$ und die Stammfunktion von h$h$ benötigen. Diese berechnen wir daher zuerst, bevor wir alle Teile in die Gleichung einsetzen. Aber das machen wir direkt an einem Beispiel.

Beispiel:

Integriere die Funktion f(x)=4x⋅ex$f(x)=4x\cdot e^x$. Dass hier ein Produkt vorliegt, erkennst du am Malpunkt. Die beiden Teilfunktionen, die Faktoren, heißen:
g=4x$g=4x$

h=ex$h=e^x$

Wir haben bereits gesagt, dass wir die Ableitung von g$g$ und die Stammfunktion von h$h$ brauchen. Die Stammfunktion von h$h$ ist in diesem Fall einfach, da sich die Stammfunktion der e-Funktion nur durch die Integrationsvariable C$C$ von der ursprünglichen Funktion unterscheidet:
g′=4$g^{\prime }=4$
∫exdx=ex+C$\int e^{x}dx=e^x+C$

Wir setzen jetzt alle Bestandteile in die Formel für die partielle Integration ein:

∫f(x)dx=g⋅h–∫g′⋅hdx$\int f(x)dx=g\cdot h–\int g^{\prime }\cdot hdx$

∫f(x)dx=4x⋅ex–∫4⋅exdx$\int f(x)dx=4x\cdot e^x–\int 4\cdot e^{x}dx$

Nun können wir beginnen, zu integrieren. Wie du weißt, dürfen wir laut Faktorregel den Vorfaktor 4$4$ hier vor das Integral ziehen, sodass wir nur noch das Integral von ex$e^x$ bilden müssen – und das kennen wir ja bereits. Wir erhalten daher:

 ∫f(x)dx=4x⋅ex–4⋅ex+C$\int f(x)dx=4x\cdot e^x–4\cdot e^x+C$

An dieser Stelle sind wir mit der partiellen Integration eigentlich schon fertig. Wir können zur Vereinfachung aber noch 4ex$4e^x$ ausklammern:

F(x)=4ex(x–1)+C$F(x)=4e^x(x–1)+C$

Fertig! So funktioniert die Integrationsregel für Produkte.

Die Integration durch Substitution, auch Substitutionsregel genannt, ist das Gegenstück zur Kettenregel, die du von den Ableitungsregeln kennst. Wir nutzen sie also für verkettete Funktionen – wenn eine Funktion eine andere einschließt, zum Beispiel so:

f(x)=g(h(x))$f(x)=g(h(x))$

Die Substitutionsregel sieht auf den ersten Blick recht kompliziert aus:

Sie ist dennoch sehr nützlich, denn sie hilft uns, das Integral so zu vereinfachen, dass wir leichter integrieren können. Dabei ersetzen wir zunächst einen schwierig zu integrierenden Ausdruck durch eine Variable, wir nennen sie hier z$z$. Anschließend integrieren wir und fügen zum Schluss für z$z$ wieder den ursprünglichen Ausdruck ein. Das nennt man Resubstitution. Auf diese Weise können wir die meiste Zeit viel einfacher rechnen.

Beispiel:

Bilde das unbestimmte Integral von f(x)=e4x$f(x)=e^{4x}$.

Hier siehst du, dass die e-Funktion mit der Funktion 4x$4x$ verkettet ist. Den Teil ex$e^x$ allein könnten wir sehr leicht integrieren, doch bei e4x$e^{4x}$ wird es schwieriger. Daher ersetzen wir einfach den Exponenten 4x$4x$ durch z$z$:

4x=z$4x=z$

Das lösen wir jetzt nach x$x$ auf:

x=14z$x=\frac{1}{4}z$ (oder auch: φ(z)=14z$\phi (z)=\frac{1}{4}z$, aus der umgestellten Substitutionsregel)

Daraus folgt außerdem:

dx=14dz$dx=\frac{1}{4}dz$

Schließlich brauchen wir noch die Ableitung von φ(z)$\phi (z)$. Sie lautet:

φ′(z)=14${\phi }^{\prime }(z)=\frac{1}{4}$

Das sind die Vorbereitungen, die wir machen müssen, um die Substitution als Integrationsregel anzuwenden. Nun folgt die eigentliche Substitution. Wir wollen das folgende Integral bilden:

F(x)=∫e4xdx$F(x)=\int e^{4x}dx$

Wir setzen unsere vorbereiteten Ausdrücke ein:

F(z)=∫ez⋅14dz$F(z)=\int e^z\cdot \frac{1}{4}dz$

Wie du weißt, dürfen wir einen Vorfaktor – hier 14$\frac{1}{4}$– vor das Integral ziehen. Das tun wir jetzt:

F(z)=14∫ezdz$F(z)=\frac{1}{4}\int e^{z}dz$

Nun können wir wie gewohnt integrieren, indem wir die Stammfunktion der e-Funktion bilden:

F(z)=14∫ezdz=14ez+C$F(z)=\frac{1}{4}\int e^{z}dz=\frac{1}{4}{e}^z+C$

Unsere Stammfunktion ist jetzt fertig. Wir müssen nur noch für unsere gewählte Variable z$z$ wieder den ursprünglichen Ausdruck 4x$4x$ einsetzen:

14ez+C=14e4x+C$\frac{1}{4}{e}^z+C=\frac{1}{4}{e}^{4x}+C$

Das ist unsere fertige Stammfunktion.

Die Integrationsregeln für die Sinus-Funktion und die Cosinus-Funktion solltest du einfach auswendig lernen. Sie sind nicht schwer zu merken. Du musst aber darauf achten, dass du die Vorzeichen nicht verwechselst. Die Regeln lauten:
Sinus-Funktion

∫sin(x)dx=–cos(x)+C$\int \sin (x)dx=–\cos (x)+C$

Cosinus-Funktion

∫cos(x)dx=sin(x)+C$\int cos(x)dx=\sin (x)+C$

Diese Regeln lernst du am besten einfach auswendig.

Da die e-Funktion auch ihre eigene Ableitung ist, ist es ganz einfach, sie zu integrieren. Es kommt lediglich die Integrationskonstante C$C$ dazu:

∫exdx=ex+C$\int e^{x}dx=e^x+C$

Die ln-Funktion, also der natürliche Logarithmus, folgt anderen Integrationsregeln. Um die ln-Funktion zu integrieren, merkst du dir am besten folgende Formel:

∫ln(x)dx=x⋅ln(x)–x+C$\int \ln (x)dx=x\cdot \ln (x)–x+C$

Diese Formel ist also etwas komplizierter. Du musst dennoch einfach nur korrekt einsetzen, um zum richtigen Ergebnis zu gelangen.

In der folgenden Tabelle findest du noch einmal alle Integrationsregeln auf einen Blick. So kannst du bei Bedarf einfach nachschlagen.