Urnenmodell – online lernen

Urnenmodell I

Geordnetes Ziehen mit Zurücklegen

Es gilt: |M|I=n⋅n⋅n⋅...⋅n=nk${|M|}_I=n\cdot n\cdot n\cdot ...\cdot n=n^k$ 

Anschaulich:

Es sind n$n$ Kugeln in der Urne, also gibt es beim ersten Zug n$n$ Möglichkeiten. Beim zweiten Zug (die Kugel wurde zurückgelegt) sind es wieder die gleichen n$n$ Möglichkeiten usw. bis zum k$k$-ten Zug. Daher gibt es nk$n^k$  Möglichkeiten.

Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit den Zahlen von 0 bis 9 eine 4-stellige Vorwahl zu entwickeln?

Es gibt 10 verschiedene Ziffern zur Auswahl. Diese werden kombiniert. Es gilt also n=10$n=10$. Wir möchten k=4$k=4$ davon auswählen:

|M|I=104=10⋅10⋅10⋅10=10000${|M|}_I={10}^4=10\cdot 10\cdot 10\cdot 10=10000$ 

Daher gibt es 10 000 verschiedene Vorwahlen.

Das Modell |M|I${|M|}_I$ passt deshalb zu dieser Aufgabe, weil die Reihenfolge bei der Telefonnummer eine Rolle spielt und weil eine Ziffer mehrmals verwendet werden darf.

Urnenmodell II

Geordnetes Ziehen ohne Zurücklegen

Es gilt: |M|II=n(n−1)(n−2)⋅...⋅(n−k+1)=n!(n−k)!${|M|}_{II}=n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$

Anschaulich:

Es sind n$n$ Kugeln in der Urne, also gibt es beim ersten Zug n$n$ Möglichkeiten. Beim zweiten Zug ist eine Kugel weniger enthalten, also nur noch n−1$n-1$Möglichkeiten, beim nächsten Zug n−2$n-2$ usw. bis zum k$k$-ten Zug. Die Formel lässt sich anschließend mit der Fakultät zusammenfassen.

Beispiel: Wie viele Möglichkeiten gibt es das Wort SPORT anzuordnen?

Da SPORT fünf verschiedene Buchstaben beinhaltet gilt n=5$n=5$. Da das Wort auch 5 Buchstaben lang ist gilt k=5$k=5$.

Gesucht ist also die Anzahl aller möglichen Vertauschungen (Permutationen) von 5 Objekten: 

|M|II=5!(5−5)!=5⋅4⋅3⋅2⋅11=120${|M|}_{II}=\frac{5!}{(5-5)!}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1}=120$

Daher gibt es 120 verschiedene Anordnungen der Buchstaben SPORT.

Das Modell |M|II${|M|}_{II}$ passt deshalb zu dieser Aufgabe, weil die Reihenfolge bei der Bildung der Wörter eine Rolle spielt und weil kein Buchstabe öfter verwendet werden darf, als er bereits vorkommt.

Beachte: 0!=1$0!=1$, die Fakultät der 0 ist mit 1 definiert.

Urnenmodell III 

Ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen

Es gilt: |M|III=|MII|k!=n!k!(n−k)!=nk${|M|}_{III}=\frac{{|M}_{II}|}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\begin{array}{cc}n& \\ k& \end{array}$

Anschaulich:

|M|III${|M|}_{III}$ ergibt sich einfach aus |M|II${|M|}_{II}$. Der einzige Unterschied ist die Berücksichtigung der Ziehungsreihenfolge. Jedes Element aus |M|III${|M|}_{III}$ ist daher k!$k!$-mal in |M|II${|M|}_{II}$ enthalten, nämlich in all seinen möglichen Vertauschungen (Permutationen). Das heißt, die k!$k!$. Vielen Permutationen müssen ‚herausdividiert‘ werden. Das Ergebnis ist der Binomialkoeffizient n$n$ über k$k$.

Beispiel: Auf 15 Personen werden 3 Karten für das Kino verteilt. Auf wie viele Arten können die Karten verteilt werden, wenn jeder höchstens eine Karte erhält und sich die Karten auf nicht nummerierte Sitzplätze beziehen?

15 Karten werden verteilt, daher gilt n=15$n=15$. Sie werden auf 3 Personen verteilt, also gilt k=3$k=3$. Mit oben genannter Formel folgern wir:

153=15!3!(15−3)!=15!3!12!=455$\begin{array}{cc}15& \\ 3& \end{array}=\frac{15!}{3!(15-3)!}=\frac{15!}{3!12!}=455$

Daher gibt es 455 verschiedene Anordnungen die Karten zu verteilen.

Das Modell |M|III${|M|}_{III}$ passt deshalb zu dieser Aufgabe, weil die Reihenfolge bei der Verteilung der Karten keine Rolle spielt (die Sitze sind nicht nummeriert, legen also keine Sitzreihenfolge fest) und weil keine Person mehr als ein Ticket erhalten kann.

Urnenmodell IV

Ungeordnetes Ziehen mit Zurücklegen

Es gilt: |M|IV=(n+k−1)!k!(n−1)!=n+k−1k${|M|}_{IV}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}=\begin{array}{cc}n+k-1& \\ k& \end{array}$

Beispiel: In einer Bäckerei werden vier verschiedene Kuchensorten, die in ausreichender Menge vorhanden sind (daher „mit Zurücklegen“), verkauft. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn man sieben Stücke kaufen möchte?

Es gibt vier Kuchensorten, daher gilt n=4$n=4$; sieben Stücke sollen gekauft werden, also folgt k=7$k=7$.

Da Wiederholungen möglich sind, man also z. B. mehrere Stücke Erdbeerkuchen kaufen kann, es aber egal ist, in welcher Reihenfolge man sie kauft, kann man hier das Urnenmodell IV mit Ergebnismenge |M|IV${|M|}_{IV}$ wählen:

4+7−17=(4+7−1)!7!(4−1)!=(10)!7!3!=8⋅9⋅101⋅2⋅3=7206=120$\begin{array}{cc}4+7-1& \\ 7& \end{array}=\frac{(4+7-1)!}{7!(4-1)!}=\frac{(10)!}{7!3!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=\frac{720}{6}=120$

Urnenmodelle 

Ein erster Einblick

Oft ist es in der Stochastik nötig, die Kardinalität (Mächtigkeit) von Mengen zu betrachten, oft als Anzahl von Möglichkeiten.

Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment. Man stellt sich eine Urne vor, in der n$n$ Kugeln liegen. Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden und alle Kugeln sind voneinander unterscheidbar. Will man nun eine Anzahl von k$k$ Kugeln ziehen (k≤n)$(k\le n)$, gibt es vier Möglichkeiten das Experiment durchzuführen:

1. Was passiert nach dem Ziehen einer Kugel?
   1. Sie wird zurückgelegt
   2. Sie wird nicht zurückgelegt
2. Wie betrachten wir die gezogenen Kugeln (k≥2)$(k\ge 2)$:
   1. Die Ziehungsreihenfolge wird berücksichtigt: (a,b)≠(b,a)$(a,b)\ne (b,a)$
   2. Die Ziehungsreihenfolge spielt keine Rolle: {a,b$a,b$} = {b,a$b,a$}

Die Mengen, welche alle möglichen Ziehungsergebnisse enthalten, nennen wir MI,MII,MIII$M_I,M_{II},M_{III}$ und MIV$M_{IV}$ mit folgendem Schema:

Jedes dieser möglichen Modelle hat ein eigenes Wiki mit entsprechendem Namen.

Mehrstufige Zufallsexperimente

Als mehrstufiges Zufallsexperiment bezeichnet man im Allgemeinen das mehrfache Ausführen von Zufallsexperimenten, die zu einem einzigen Zufallsexperiment zusammengefasst werden. So kann man beispielsweise einen Münzwurf mehrfach hintereinander ausführen und sich dann fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine bestimme Konstellation ist.

Beispiel:

Ausgehend von einem 3-fachen Münzwurf, muss man zunächst einige Vorüberlegungen treffen:

Was sind die Ergebnisse dieses Experiments?

Die Ergebnisse sind die möglichen Ausgänge nach allen 3 Würfen, also nicht bloß Kopf
(k$k$) oder Zahl (z$z$), sondern alle 3er-Kombinationen daraus:
Ω={kkk,kkz,kzk,kzz,zkk,zkz,zzk,zzz}$\mathrm{\Omega }=\{kkk,kkz,kzk,kzz,zkk,zkz,zzk,zzz\}$

Was sind die Ereignisse dieses Experiments?

Die Ereignisse sind Teilmengen aus Ω$\mathrm{\Omega }$, z.B.

• Es fällt zwei Mal Kopf: {kkz,kzk,zkk}⊂Ω$\{kkz,kzk,zkk\}\subset \mathrm{\Omega }$
• Es fällt drei Mal Kopf: {kkk}⊂Ω$\{kkk\}\subset \mathrm{\Omega }$

Möchte man nun die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses angeben, so muss man sich klarmachen, dass es sich hier noch immer um einen Laplace-Raum handelt. Der Münzwurf ist ein Laplace-Experiment, also haben Kopf und Zahl bei jedem der drei Würfe die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich 12$\frac{1}{2}$. Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit eines der Ergebnisse dieses Raumes betrachtet man also entweder das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten der drei Münzwürfe, was bei allen Ergebnissen Ei$E_i$ zu P(Ei)=(12)3=18=0,125$P(E_i)=(\frac{1}{2}{)}^3=\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$ führt. Alternativ kann man die Formel für die Wahrscheinlichkeit in Laplace-Räumen nutzen:

Da es insgesamt acht verschiedene Ergebnisse gibt, gilt hier
P(Ei)=18=0,125$P(E_i)=\frac{1}{8}=\mathrm{0,125}$