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Differenzenquotient / Steigung in einem Punkt

Differenzenquotient – online lernen

Wenn du nicht einen Abschnitt deiner Funktion, sondern genau an einem Punkt die Steigung der Funktion bestimmen willst, dann wird dir das hier sicherlich helfen.

Wiki zum Thema: Differenzenquotient / Steigung in einem Punkt

Differentialquotient in einem Punkt

Verwendet man den Differenzenquotienten mit zwei verschiedenen Punkten einer Funktion, erhält man − analog zum Steigungsdreieck − die durchschnittliche Steigung zwischen diesen Punkten.

Wenn wir jedoch die Steigung in genau einem Punkt berechnen wollen, schlägt diese Rechnung fehl.

Nehmen wir

f (x) = 2 x^{2} - 2 x + 1

an der Stelle

x_{0} = 3

Dann ergibt der Differenzenquotient

\frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{f (3) - f (3)}{3 - 3} = \frac{0}{0}

Durch die Null im Nenner können wir hier nicht weiterrechnen. Wir lösen dieses Problem, indem wir einen weiteren Punkt zur Stelle

x_{0}

hinzuziehen, welchen wir immer näher an

x_{0}

„heranziehen“. Dieser Punkt liegt an der Stelle

x_{0} + h

, also im Koordinatensystem ein bisschen weiter rechts (wenn

h

positiv ist). Wir errechnen also die durchschnittliche Steigung zwischen dem Punkt bei

x_{0}

und diesem Hilfspunkt, welcher aber immer näher an

x_{0}

heranrückt – indem wir

h

immer kleiner werden lassen. Für

h = 0

wären diese Punkte dann identisch, die durchschnittliche Steigung zwischen

x_{0}

und

x_{0} + h

wird sich dabei ebenfalls immer weiter der Steigung an der Stelle

x_{0}

annähern.

Wir bilden den Differenzenquotienten zwischen diesen beiden Punkten

x_{0}

und

x_{0} + h

, von dem wir den Grenzwert für

h \to 0

bilden. Deshalb bezeichen wir ihn als Differentialquotienten.

Er lautet

f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{(x_{0} + h) - x_{0}} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

Eingesetzt erhalten wir für die Funktion

f

an der Stelle

x_{0} = 3

\begin{aligned} f^{'} (3) & = lim_{h \to 0} \frac{f (3 + h) - f (3)}{h} | Funktionswerte berechnen \\ = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot (3 + h)^{2} - 2 \cdot (3 + h) + 1 - 13}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{2 \cdot (9 + 6 h + h^{2}) - 6 + 2 h + 1 - 13}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{18 + 12 h + 2 h^{2} - 6 - 2 h + 1 - 13}{h} \\ = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 10 h}{h} | h ausklammern \\ = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot (2 h + 10)}{h} | h kürzen \\ = lim_{h \to 0} (2 h + 10) \\ = 10 \end{aligned}

Arbeitsblätter

Differenzenquotient - Steigung in einem Punkt

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 865

Differentialrechnung

Differenzenquotient - Steigung in einem Punkt

Schwierigkeitsgrad 1 / Serie 01

Aufgabe 1

Berechne wie im Beispiel mit Hilfe des Differenzenquotienten die Ableitung im Punkt x₀= 3.

Beispiel:

f(x) = x²

Differenzenquotient aufstellen und vereinfachen:

m_s= $\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}$ = $\frac{{(3 + h)}^{2} - 3^{2}}{h}$ = $\frac{9 + 6 h + h^{2} - 9}{h}$ = $\frac{6 h + h^{2}}{h}$ = $6 + h$

Grenzwert ermitteln:

$f^{'} (3) = lim_{h \to 0} m_{s} = lim_{h \to 0} 6 + h = 6$

a)	g(x) = 2x²	b)	h(x) = x² + x	c)	i(x) = x³	d)	j(x) = x² – 5
e)	k(x) = 3x	f)	m(x) = x³ – 1	g)	u(x) = -3x²	h)	v(x) = -x³

Aufgabe 2

Berechne für die Funktion f(x) = (x – 2)²+ x
mit Hilfe des Differenzenquotienten die Tangentensteigungen für:
a) x₀= 0
b) x₁= 1
c) x₂= 1,5
d) x₃= 2
e) x₄= 3,5

Zeichne dann die Funktion und die Tangenten in das Koordinatensystem ein.

Aufgabe 3

a) Die zurückgelegte Strecke eines Schlittens (in Metern) beim Anfahren bergab kann mit der Funktion

s₁(t) = t²+ t angenähert werden. Tom braucht auf diesem Schlitten 4 Sekunden, um seine Mutter zu überholen, welche schon voraus gegangen ist. Wie schnell ist er in dem Moment, in dem er an ihr vorbei fährt?

Berechne die Geschwindigkeit mit Hilfe des Differenzenquotienten.

b) Nachdem er 5 Sekunden gefahren ist, ist der Berg bereits zu Ende und Toms Schlitten wird immer langsamer. Der zurückgelegte Weg kann von dem Moment an durch die Funktion s₂(t) = 11t – t² angenähert werden.

Wie schnell ist er nach weiteren 5 Sekunden? Berechne die Geschwindigkeit v₂wieder mit Hilfe des Differenzenquotienten.

Differenzenquotient / Steigung in einem Punkt

Schwierigkeitsgrad 1

Arbeitsblatt-Nr. 6918

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 6919

Schwierigkeitsgrad 2

Arbeitsblatt-Nr. 866

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 6920

Schwierigkeitsgrad 3

Arbeitsblatt-Nr. 867

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