Quadratische Gleichungen lösen

Quadratische Gleichungen sind, einfach ausgedrückt, Gleichungen, die eine Variable mit der Potenz zwei (z. B. x2$x^2$) enthalten. Höhere Potenzen dürfen nicht vorkommen: Eine Gleichung mit x3$x^3$ wäre beispielsweise eine kubische, aber keine quadratische Gleichung. So kann eine quadratische Gleichung zum Beispiel aussehen:

3x2+2x–5=0$3x^2+2x–5=0$

Diese Gleichung enthält

• den quadratischen Teil 3x2$3x^2$,
• den linearen Teil 2x$2x$ und
• das Absolutglied –5$–5$.

Es müssen nicht zwingend immer alle diese Teile in einer quadratischen Gleichung vorkommen. Sie könnte zum Beispiel auch so aussehen:

3x2–6=0$3x^2–6=0$ (ohne linearen Teil)

Oder so:

3x2+2x=0$3x^2+2x=0$ (ohne Absolutglied)

Auf jeden Fall muss aber immer ein x2$x^2$ enthalten sein.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Schauen wir uns diese genauer an.

Reinquadratische Gleichungen haben keinen linearen Teil. Das bedeutet, du findest in der Gleichung nur ein x2$x^2$ (eventuell auch mit einem Faktor multipliziert) und eine oder mehrere Zahlen, also Absolutglieder. Das hier sind Beispiele für reinquadratische Gleichungen:

Reinquadratische Gleichungen kannst du durch einfache Äquivalenzumformungen lösen. Du benötigst dazu keine speziellen Formeln. Lass uns die obenstehenden Gleichungen doch gleich einmal berechnen: 

Wenn deine Gleichung einen quadratischen und einen linearen Teil sowie ein Absolutglied enthält, findest du die Lösung meist am einfachsten mit einer Formel. Dafür stehen zwei zur Auswahl. Eine davon ist die p-q-Formel. Du kannst sie verwenden, wenn deine Gleichung folgende Form hat:

x2+px+q=0$x^2+px+q=0$

Die Buchstaben p und q stehen hier einfach für Zahlen:

x2+3x+9=0$x^2+3x+9=0$

Damit du die p-q-Formel verwenden kannst, musst du zunächst sicherstellen, dass deine Gleichung in der allgemeinen Form (auch Normalform genannt) x2+px+q=0$x^2+px+q=0$ steht. Ist das nicht der Fall, musst du die Gleichung zuerst noch umformen.

Dann kannst du p und q ablesen und in die p-q-Formel einsetzen. So sieht die p-q-Formel aus:

x1,2=−p2±(p2)2−q−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2}{)}^2-q}$

Und so findest du p und q und setzt sie in die Formel ein:

x2+px+q=0$x^2+px+q=0$

x2+3x+9=0$x^2+3x+9=0$

p=3$p=3$

q=9$q=9$

x1,2=−p2±(p2)2−q−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2}{)}^2-q}$

x1,2=−32±(32)2−9−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{(\frac{3}{2}{)}^2-9}$

Jetzt kannst du die Gleichung auflösen. Sehr häufig wirst du die p-q-Formel verwenden, um die Nullstellen quadratischer Funktionen zu berechnen. Wie das genau geht, erfährst du in unserer ausführlichen Erklärung zur p-q-Formel. 

Die Mitternachtsformel wird auch abc-Formel genannt. Welchen Begriff du verwendest, ist dir überlassen. Die Mitternachtsformel funktioniert ganz ähnlich wie die p-q-Formel. Der Unterschied ist, dass du die Mitternachtsformel nicht nur für Gleichungen der Form x2+px+q=0$x^2+px+q=0$ verwenden kannst, sondern auch dann, wenn vor dem x²$x²$ noch ein Faktor steht. Die allgemeine Form bzw. Normalform der Gleichung lautet dann:

ax+bx+c=0$ax+bx+c=0$

Beispiel:

3x2+4x+9=0$3x^2+4x+9=0$

Aus dieser Normalform kannst du die Werte für a, b und c ablesen. Daraus erklärt sich, warum die Mitternachtsformel auch abc-Formel heißt. So findest du a, b und c:

ax+bx+c=0$ax+bx+c=0$

3x2+4x+9=0$3x^2+4x+9=0$

a=3$a=3$

b=4$b=4$

c=9$c=9$

Die gefundenen Werte kannst du jetzt in die Mitternachts- bzw. abc-Formel einsetzen. So sieht sie aus:

x1,2=−b±b2−4ac√2a$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Und so setzt du die Werte für die Aufgabe aus unserem Beispiel ein:

x1,2=−4±42−4⋅3⋅9√2⋅3$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 3\cdot 9}}{2\cdot 3}$

Nun kannst du die Lösung berechnen. Wie das genau geht, zeigen wir dir anhand von Beispielen auf unserer Seite zur Mitternachtsformel.

Wenn es in deiner Gleichung kein Absolutglied, dafür aber quadratische und lineare Glieder (also Terme mit x2$x^2$ bzw. x$x$) gibt, dann kannst du Lösungen für die Gleichung finden, indem du x$x$ausklammerst. Das schauen wir uns am besten direkt an einem Beispiel an.

Nehmen wir folgende Aufgabe:

3x2+6x=0$3x^2+6x=0$

Hier können wir x ausklammern:

x(3x+6)=0$x(3x+6)=0$

Wie die Gleichung zeigt, suchen wir Lösungen, für die unsere Gleichung gleich Null ist. Auf der linken Seite der Gleichung steht nun ein Produkt aus zwei Faktoren: zum einen x$x$ und zum anderen (3x+6)$(3x+6)$. Wenn einer dieser beiden Faktoren Null wird, wird auch das gesamte Produkt Null. Das ist genau das, was wir erreichen wollen.

Der erste Faktor, x$x$, ist genau dann gleich Null, wenn gilt: x=0$x=0$. Du weißt also direkt, dass eine Lösung für deine Gleichung auf jeden Fall x1=0$x_1=0$ lauten wird.

Als zweite Möglichkeit können wir noch versuchen, in der Klammer 0 zu erzeugen. Wir schreiben also:

3x+6=0$3x+6=0$

Hier helfen uns wieder einfache Äquivalenzumformungen weiter:

3x+6=0|–6$3x+6=0|–6$

3x=–6|:3$3x=–6|:3$

x2=–2$x2=–2$

Und schon bist du fertig!

Oft wirst du – zum Beispiel im Rahmen der Kurvendiskussion, die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen müssen. Die Nullstellen zu berechnen heißt nichts anderes, als die entsprechende Gleichung gleich Null zu setzen – also genau das, was wir bisher in unseren Beispielen getan haben.

Für dich bedeutet das: Wenn du quadratische Gleichungen lösen kannst, dann kannst du auch problemlos die Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen. Du gehst ganz genauso vor: Schau dir deine Funktionsgleichung an, wähle das passende Verfahren aus und ermittle die Nullstellen, indem du die quadratische Gleichung nach Null auflöst. Fertig!