Vektoren

Vektoren sind in der linearen Algebra Elemente, die im Vektorraum anzeigen, auf welche Weise ein Punkt per Parallelverschiebung verschoben wird. Vektoren sind durch ihre Länge und durch ihre Richtung definiert, geben also an, um welchen Abstand und in welcher Richtung ein Punkt verschoben wird. 

Die Schreibweise von Vektoren sieht so aus:

a⃗ $\overrightarrow{a}$

Du liest: „Vektor a“. 

Im zweidimensionalen Raum R2${\mathbb{R}}^2$ brauchst du zwei Koordinaten, um einen Vektor zu definieren:

a⃗ =(a1a2)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$

a⃗ 1${\overrightarrow{a}}_1$ gibt dabei die Verschiebung entlang der x-Achse an, während a⃗ 2${\overrightarrow{a}}_2$ die Verschiebung entlang der y-Achse bezeichnet. In konkreten Zahlen sieht das zum Beispiel so aus:

a⃗ =(24)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$

Im dreidimensionalen Raum R3${\mathbb{R}}^3$ kommt noch eine weitere Koordinate hinzu, und zwar für die Verschiebung entlang der z-Achse. Deshalb musst du Vektoren hier mit drei Koordinaten angeben:

a⃗ =⎛⎝⎜247⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 7\end{array}\right)$

Vektoren können sich auf verschiedene Weise zueinander verhalten. Sie können zum Beispiel vollkommen parallel verlaufen. Im zweidimensionalen Raum sieht das dann so aus: 

Schließlich können Vektoren aber auch ganz unabhängig voneinander im Koordinatensystem liegen. Darüber erfährst du gleich noch mehr. 

Wenn du zwei Punkte im Koordinatensystem gegeben hast, kannst du den zugehörigen Vektor ganz einfach berechnen. Dieser Vektor heißt Verbindungsvektor. Die Regel dafür lautet:

„Endpunkt minus Anfangspunkt“

Oder mathematisch ausgedrückt:

AB−→−=⎛⎝⎜b1−a1b2−a2b3−a3⎞⎠⎟$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)$

Lass uns dazu ein Beispiel anschauen. 

Sagen wir, dein Vektor beginnt im Anfangspunkt A(2|5|7)$A(2|5|7)$ und endet im Endpunkt B(4|−3|1)$B(4|-3|1)$. Du kannst nun den Vektor AB→$\overrightarrow{AB}$ so berechnen:

AB−→−=⎛⎝⎜4−2−3−51−7⎞⎠⎟=⎛⎝⎜2−8−6⎞⎠⎟$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}4-2\\ -3-5\\ 1-7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -8\\ -6\end{array}\right)$

Man unterscheidet in der Vektorrechnung zwischen Ortsvektoren und Richtungsvektoren. 

Ortsvektor

Ein Ortsvektor beginnt immer im Ursprung. Der Ursprung hat im zweidimensionalen Raum die Koordinaten (0|0)$(0|0)$, im dreidimensionalen Raum (0|0|0)$(0|0|0)$. Du kannst für jeden Punkt im Koordinatensystem einen Ortsvektor bilden. Dieser verbindet den Ursprung mit dem jeweiligen Punkt. 

Der Ortsvektor eines Punkts hat dieselben Koordinaten wie dieser Punkt. 

Beispiel:

Gegeben sei der Punkt A(3|4)$A(3|4)$. Gesucht ist der Ortsvektor OA−→−$\overrightarrow{OA}$. Das O$O$ steht dabei für den Ursprung. Statt OA−→−$\overrightarrow{OA}$ kannst du aber auch einfach a⃗ $\overrightarrow{a}$ (Kleinbuchstaben des Punkts) schreiben. 

Der Ortsvektor für den Punkt A(3|4)$A(3|4)$ heißt also a⃗ =(34)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$.

Richtungsvektor

Der Richtungsvektor beginnt nicht im Ursprung, sondern in einem beliebigen Punkt im Koordinatensystem. Keine Sorge, du kennst ihn bereits: Weiter oben hast du schon den Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten berechnet. Die Begriffe Richtungsvektor und Verbindungsvektor bedeuten im Prinzip dasselbe. Wenn du speziell davon sprichst, zwei Punkte zu verbinden, dann kannst du vom Verbindungsvektor sprechen. Willst du mit dem Vektor hingegen die Richtung angeben, kannst du ihn Richtungsvektor nennen. Beide Begriffe sind aber korrekt.

Ein Vektor hat eine bestimmte Länge. Diese Länge nennt man auch Betrag. Man schreibt ihn so:

|a⃗ |$|\overrightarrow{a}|$

Um den Betrag eines Vektors zu berechnen, kannst du die folgende Formel nutzen:

a⃗ =a21+a22+a23−−−−−−−−−−√$\overrightarrow{a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Beispiel:

Der Betrag des Vektors a⃗ =⎛⎝⎜4312⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\\ 12\end{array}\right)$ ist:

|a⃗ |=42+32+122−−−−−−−−−−−√$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{4^2+3^2+{12}^2}$

|a⃗ |=16+9+144−−−−−−−−−−√$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{16+9+144}$

|a⃗ |=169−−−√$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{169}$

|a⃗ |=13$|\overrightarrow{a}|=13$

Und im zweidimensionalen Raum? Dort verfährst du genauso, nur musst du dann eben nicht drei, sondern nur zwei Komponenten quadrieren, addieren und daraus die Wurzel ziehen. 

Vektoren kannst du addieren und subtrahieren. Das ist gar nicht schwierig. Du gehst dabei einfach komponentenweise vor: 

a⃗ +b⃗ =(a1+b1a2+b2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)$

Beispiel:

(24)+(35)=(2+34+5)=(59)$\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+3\\ 4+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 9\end{array}\right)$

Ebenso kannst du auch Vektoren subtrahieren. Das nennt man dann Vektorsubtraktion. 

Beispiel:

(3−1)−(72)=(3−7−1−2)=(−4−3)$\left(\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}7\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3-7\\ -1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)$

Hast du Vektoren im dreidimensionalen Raum? Dann rechnest du genauso, nur eben mit drei statt mit zwei Komponenten. 

Du hast es noch nicht ganz verstanden? Hier erfährst du mehr über die verschiedenen Möglichkeiten der Vektorrechnung.

Die Skalarmultiplikation oder auch skalare Multiplikation meint die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Ein Skalar ist ganz einfach eine reelle Zahl. Indem du einen Vektor mit einem Skalar multiplizierst, kannst du

• den Vektor stauchen (verkürzen), wenn der Skalar kleiner als 1 ist,
• den Vektor strecken (verlängern), wenn der Skalar größer als 1 ist, oder
• die Richtung des Vektors ändern und den Gegenvektor bilden, wenn der Skalar negativ ist.

Beispiel:

Du möchtest den Vektor a⃗ =(37)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)$ mit dem Skalar 3$3$ multiplizieren. Dadurch wird er dreimal so lang, du streckst also den Vektor. Für die Skalarmultiplikation multiplizierst du einfach jede Komponente des Vektors mit dem Skalar:

3⋅(37)=(3⋅33⋅7)=(921)$3\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 3\\ 3\cdot 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 21\end{array}\right)$

Auch dazu findest du weitere Beispiel auf unserer Seite zur Skalarmultiplikation.

Das Skalarprodukt ist nicht zu verwechseln mit der skalaren Multiplikation. Es wird nämlich ganz anders berechnet, nämlich so:

a⃗ ⋅b⃗ =⎛⎝⎜a1a2a3⎞⎠⎟∘⎛⎝⎜b1b2b3⎞⎠⎟=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$

Beispiel:

⎛⎝⎜2−14⎞⎠⎟∘⎛⎝⎜347⎞⎠⎟=2⋅3+(−1)⋅4+4⋅7=6−4+28=30$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 4\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 7\end{array}\right)=2\cdot 3+(-1)\cdot 4+4\cdot 7=6-4+28=30$

Wozu ist das Skalarprodukt gut? Du kannst es nutzen, um herauszufinden, ob zwei Vektoren senkrecht zueinanderstehen. Das tun sie nämlich immer dann, wenn das Skalarprodukt gleich Null ist. Wie du siehst, ist das in unserem Beispiel nicht der Fall – diese Vektoren stehen also nicht senkrecht. 

Tipp: Du brauchst das Skalarprodukt auch, um die Winkel zwischen Vektoren zu berechnen. 

Das Kreuzprodukt brauchst du, wenn du zwei Vektoren gegeben hast und einen Vektor finden möchtest, der zu diesen beiden senkrecht steht. Das sieht im dreidimensionalen Raum dann so aus:

Die Formel für das Kreuzprodukt sieht ein wenig kompliziert aus, doch wenn du die Koordinaten deiner Vektoren einfach konsequent einsetzt, kommst du damit auf jeden Fall ans Ziel:

⎛⎝⎜a1a2a3⎞⎠⎟×⎛⎝⎜b1b2b3⎞⎠⎟=⎛⎝⎜a2⋅b3−a3⋅b2a3⋅b1−a1⋅b3a1⋅b2−a2⋅b1⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3\\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1\end{array}\right)$

Beispiel:

⎛⎝⎜502⎞⎠⎟×⎛⎝⎜−327⎞⎠⎟=⎛⎝⎜0⋅7−2⋅22⋅(−3)−5⋅75⋅2−0⋅(−3)⎞⎠⎟=⎛⎝⎜0−4−6−3510−0⎞⎠⎟=⎛⎝⎜−4−4110⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ 2\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\cdot 7-2\cdot 2\\ 2\cdot (-3)-5\cdot 7\\ 5\cdot 2-0\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-4\\ -6-35\\ 10-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-4\\ -41\\ 10\end{array}\right)$

Möchtest du dazu mehr erfahren? Dann schau dir unsere Seite zum Thema Kreuzprodukt genauer an.

Die Linearkombination ist eine Möglichkeit, aus zwei oder mehr Vektoren einen neuen Vektor, die sogenannte Linearkombination, zu bilden. Dazu kannst du folgende Verfahren der Vektorrechnung nutzen:

• die Vektoraddition und die Vektorsubtraktion
• die skalare Multiplikation

So sieht die Linearkombination mathematisch aus:

v⃗ =k1⋅v⃗ 1+k2⋅v⃗ 2$\overrightarrow{v}=k_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+k_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2$

Dabei stehen v⃗ 1${\overrightarrow{v}}_1$ und v⃗ 2${\overrightarrow{v}}_2$ für die Vektoren, die kombiniert werden, und k1$k_1$ und k2$k_2$ für Skalare, also für reelle Zahlen. Du kannst theoretisch beliebig viele Vektoren zu einer Linearkombination zusammenfügen. 

Möchtest du mehr wissen? Hier erfährst du alles Wichtige über die Linearkombination.

Um zu verstehen, wie Vektoren im Vektorraum sich zueinander verhalten, ist es wichtig zu untersuchen, ob sie linear abhängig oder linear unabhängig sind. 

Linear abhängige Vektoren im zweidimensionalen Raum zeigen in exakt dieselbe Richtung. Sie können allerdings unterschiedlich lang sein. 

Linear abhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum liegen in derselben Ebene im Vektorraum. Man kann sie als Linearkombinationen voneinander darstellen. Wenn das nicht möglich ist, heißen die Vektoren linear unabhängig – sie liegen dann auch nicht auf derselben Ebene im Raum. 

Eine ausführliche Erklärung dazu und mehrere Beispiele findest du auf unserer Seite zum Thema lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit.