Abiturprüfung – Stochastik – online lernen

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Stochastik — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Hier findest du Materialen zur Vorbereitung auf deine Abiturprüfung.

Wiki zum Thema Stochastik — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Erwartungswerte

Der Erwartungswert ist ein Merkmal der Zufallsvariablen. Er gibt an, wie groß eine Zufallsvariable erwartungsgemäß , oder ’im Durchschnitt’ ist.

Der Erwartungswert E( X ) einer Zufallsvariable X ist definiert durch:

Erwartungswerte 1
Abbildung1. - Thema: Erwartungswerte.

Diese sehr formale Formel lässt sich leicht etwas anschaulicher beschreiben: Jeder Wert x, den X annehmen kann, wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet. Die so erhaltenen Werte werden dann addiert.

Achtung:

Bei einem Laplace Experiment mit n vielen Ausgängen, kann man sich leicht überlegen, dass der Erwartungswert dort einfach:

Erwartungswerte 2
Abbildung2. - Thema: Erwartungswerte.

Beispiel

Sei die Zufallsvariable X die Augensumme eines fairen 6-seitigen Würfels, wie groß ist dann ihr Erwartungswert E ( X ) (d.h. die erwartete Augenzahl)?

Erwartungswerte 3
Abbildung3. - Thema: Erwartungswerte.

Bei Laplace Experimenten ist es also sehr einfach den Erwartungswert anzugeben. Haben die Werte der Zufallsvariable unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten, ist das nichtmehr ganz so einfach, wie folgendes Beispiel zeigt:

Beispiel

Sei X wieder die Augenzahl. Thomas hat einen Trick-Würfel, der statt einer 1 eine zweite 6 zeigt. Wie hoch ist der Erwartungswert seines Würfels?

Erwartungswerte 4
Abbildung4. - Thema: Erwartungswerte.
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Zufallsvariablen

In vielen Beispielen haben wir schon mit Dingen wie der Anzahl von gezoge- nen Kugeln oder der Augenzahl von Würfeln gearbeitet.

Solche Kenngrößen nennt man auch Zufallsvariable oder Zufallsgröße.

Beispiel:
Ausgehend von einem fairen, 6-seitigen Würfel, der 2-mal gewor- fen wird, könnte man unter anderen folgende Zufallsvariablen definie-

ren:
• Die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen
• Die Augenzahl beim ersten (oder zweiten) Wurf
• Die kleinere Augenzahl (oder die einzige, falls beide gleich sind)
• Die größere Augenzahl (oder die einzige, falls beide gleich sind)
• Das Produkt der beiden Augenzahlen
• usw

Wir erkennen, dass eine Zuvallsvariable nichts anderes ist, als eine Funk- tion auf dem Ergebnisraum. Meist werden diesen die Buchstaben X, Y, Z zugeordnet.
Dabei wird jedem Wert x einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit zu- geordnet, die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x annimmt. Diese Wahr- scheinlichkeit bezeichnen wir mit P(X = x).

Beispiel 1) Wir werfen einen fairen Würfel einmal und definieren die Zu- fallsvariable X als die Augenzahl, x kann hier offenbar für jede Augenzahl des Würfels stehen.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass x=1, x=2 ... eintritt?

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Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit 1
Abbildung1. - Thema: Bedingte Wahrscheinlichkeit.

(*) P(B) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit von B.

Man kann etwas weniger formal auch sagen: Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist.

Beispiel 1) Ausgehend von einem 6-seitigen Würfel mit Ω = {1,2,3,4,5,6} sei B = {4,5,6} und A = {4}: Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit von:

Bedingte Wahrscheinlichkeit 2
Abbildung2. - Thema: Bedingte Wahrscheinlichkeit.
Bedingte Wahrscheinlichkeit 3
Abbildung3. - Thema: Bedingte Wahrscheinlichkeit.

Wir sehen also deutlich, dass das Eintreten eines Ereignisses, die Wahrscheinlichkeit eines anderen Ereignisses signifikant beeinflussen kann.

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Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Nachdem nun Ergebnisse, Experimente, Ergebnisräume und auch die Laplace- Eigenschaft betrachtet wurden, kann man sich einen ersten anschaulichen Wahrscheinlichkeitsbegiff überlegen.

Zunächst sollte man sich klar machen, auf was sich der Wahrscheinlich- keitsbegriff beziehen soll. Die Antwort hierauf fällt leicht.

Auf Ergebnisse bzw. Ereignisse.

So weit, so gut: Aber wie wollen wir die Wahrscheinlichkeit definieren und wie soll sie angegeben werden?

Aus dem realen Leben sind die vertrautesten Angaben wohl die Prozentan- gabe, sowie die Angabe als Verhältnis (eins zu zehn).

Beispiel 1)    Wie hoch ist die Regenwahrscheinlichkeit?

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff 1
Abbildung1. - Thema: Der Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Diese Anschauungen sind sicherlich ausreichend um einfachste Probleme zu betrachten, aber um eine fundierte Stochastik betreiben zu können, muss derWahrscheinlichkeitsbegriff auf ein abstrakteres Level gehoben werden.

Hierzu ist es nötig sich zunächst mit ein wenig Mengenlehre vertraut zu machen.

Die nötigen Informationen können den Wikis zur Mengenlehre entnommen werden.

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Der Wahrscheinlichkeitsbegriff II

Der erste, sehr anschauliche Wahrscheinlichkeitsbegriff, der in dem gleichnamigen Wiki behandelt wurde, soll nun etwas formaler werden.

Zunächst einige Punkte über den Wahrscheinlichkeitsbegriff.

Die Wahrscheinlichkeit soll ein Wert sein, der Ergebnissen oder Ereignissen einen Grad von Gewissheit zuordnet.

Hierzu wird folgende Notation eingeführt: Sei E ein Ereignis, dann bezeichnet P(E) = p die Wahrscheinlichkeit von E, die p beträgt

  • Die Wahrscheinlichkeit soll dabei zwischen 0 und 1 liegen, wobei gelten soll:
    0 ist der dem unmöglichen Ereignis (Ø) zugeordnete Wert (d. h. das Ereignis tritt zu 0% ein).
    ist der dem sicheren Ereignis ( Ω ) zugeordnete Wert (d.h. das Ereignis tritt zu 100% ein).
    Hierbei bezeichnet Ω den gesamten Ergebnisraum, welcher als Gesamtheit aller Ereignisse aufgefasst werden kann. Es ist also egal, welches Ergebnis eintritt, da in diesem Fall ja alle Ergebnisse günstig sind.
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei disjunkten (getrennten) Ereignissen eintritt, soll der Summe der einzelnen Ereignisse entsprechen.

Beispiel 1) Betrachte wieder den 6-seiten Würfel mit Ergebnisraum ] = {1;2;3;4;5;6}, dann gilt:

  • Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 oder eine 2 gewürfelt wird, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten einer 1 bzw. einer 2.
  • Als Formel bedeutet das: P({1,2}) = P({1}) + P({2})
  • Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl beträgt ⅙ . Also beträgt unsere Wahrscheinlichkeit ⅙ + ⅙ = 2/6;
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Ereignisse

Unter einem Ereignis versteht man im Allgemeinen eine Teilmenge des Ergebnisraumes, also eine Menge von Ergebnissen. Oft ist es so, dass ein Ereignis als Menge derjenigen Ergebnisse definiert ist, die eine bestimmte Eigenschaft teilen.

Beispiel

  • Man würfle einen x-seitigen Würfel.
  • Wie lautet der zugehörige Ergebnisraum?
  • Wie lässt sich das Ereignis A darstellen, dessen Bedingung lautet:„Alle gewürfelten Zahlen sind gerade.“?
Ereignisse 1
Abbildung1. - Thema: Ereignisse.

Es seien noch zwei wichtige Spezialfälle von Ereignissen genannt:

  • Ω: das sichere Ereignis (hierbei ist jedes Ereignis günstig, daher ganz Ω).
  • Ø: das unmögliche Ereignis (hierbei ist kein Ereignis günstig, daherØ).
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Ergebnisräume und Laplace

Sind bei einem Experiemt alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment.

Ein solches Experiment hat dann die sogenannte Laplace-Eigenschaft.

Ohne es zu wissen, haben wir in dem bereits genannten Wiki genau ein solches Experiment betrachtet: Das Würfeln eines 6-seitigen (fairen) Würfels.

Hier tritt jede Zahl mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf, daher wird ein solcher Würfel auch Laplace-Würfel genannt.

ACHTUNG:

Ein Laplace-Würfel muss nicht zwingend zu einem Laplace Experiment führen.Es kommt auf den Ergebnisraum an, welchen wir zugrunde legen!

Beispiel

Entscheide begründet, ob der genannte, einem 6-seitigen Laplace-Würfel zugrunde liegende Ergebnisraum, zu einem Laplace-Experiment gehört.

Ergebnisraeume und Laplace 1
Abbildung1. - Thema: Ergebnisraeume und Laplace.
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Experimente und Ergebnisräume

Der Wahrscheinlichkeitsberechnung liegt stets ein Experiment zugrunde. Prägnante Beispiele sind hier der Münzwurf, das Rollen eines Würfels oder das Drehen eines Glücksrads. Aber auch exotischere Sachverhalte wie radioaktiver Zerfall sind möglich.

Ein solches Experiment hat eine bestimmte Menge möglicher Ereignisse, deren Gesamtheit Ergebnisraum genannt wird. Die gängigste Bezeichnung für den Ergebnisraum lautet Ω.

Dieser Ergebnisraum muss für jedes Experiment einzeln und auf den jeweiligen Sachverhalt abgestimmt aufgestellt werden.

In der Regel (in der Schule immer) ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse, die dieser Raum enthält, endlich.

Die Elemente des Ergebnisraumes müssen, wie wir an den Beispielen sehen, keine Zahlen sein, sondern eben auf das jeweilige Experiment abgestimmte Ausdrücke.

Beispiel

  • Gib den Ergebnisraum der folgenden Experimente an:
  • Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit r roten, b blauen und w weißen Kugeln.
  • Das Würfeln mit einem 6-seitigen Würfel.
  • Das Werfen einer Münze.
Experimente und Ergebnisraeume 1
Abbildung1. - Thema: Experimente und Ergebnisraeume.

Bemerkung:

Man kann sich in Beispiel a) überlegen, dass die Ereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind, da die Anzahl der verschiedenfarbigen Kugeln unterschiedlich ist. Bei b) und c) hingegen sind alle Ereignissegleichwahrscheinlich,man spricht dann von einem Laplace Experiment (siehe dazu auch das Wiki „Ergebnisräume und Laplace“)

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Differenzen von Mengen

Auch auf Mengen kann man eine Differenz oder Subtraktion definieren.

Diese zieht alle Elemente einer Menge von denen einer Anderen ab. Man schreibt A \ B oder A - B und liest: A ohne B

Diese Differenz ist folgendermaßen definiert: A \ B = { x |(x ∈ A)^(x ∉ B)}

Die Differenzmenge ist diejenige Menge, die alle Elemente aus A enthält, die nicht gleichzeitig in B liegen.

Beispiel 1) Wie lauten die Differenzen A \ B von:

a) A = { 1,2,3 } und B = { 1,2 }

b) A = { 7, 9, 19 } und B = { 1 ,2 ,3 }

c) A = N und B = A

Differenzen von Mengen 1
Abbildung1. - Thema: Differenzen von Mengen.

Bemerkung: Man kann anhand der Beispiele einige Punkte festhalten:

  • Ist B eine echte Teilmenge von A, so werden die Elemente von B einfach aus A entfernt. In diesem Fall nennt man A \ B auch das Komplement von B in Bezug auf A.
  • Ist B disjunkt (getrennt) zu A, so ändert sich durch die Mengensubtraktion nichts.
  • Ist B = A, so bleibt die leere Menge.
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Elemente und Teilmengen

Anders, als der erste Eindruck glauben lässt, handelt es sich bei Elementen und Teilmengen nicht zwangsläufig um das Gleiche.

Eine Teilmenge ist eine Ansammlung von Elementen, die in einer Menge enthalten sind.

Ein Element ist einfach nur in der Menge enthalten.

Beispiel 1)     Betrachten wir die Menge A = {1;2;3;4}

a) Wie verhält sich 1 zu A?

b) Wie verhält sich {1} zu A?

Elemente und Teilmengen 1
Abbildung1. - Thema: Elemente und Teilmengen.

Bemerkung:    Fälle, in denen ein Objekt sowohl Teilmenge, als auch Element einer Menge ist, wollen wir hier nicht betrachten.

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Kardinalität einer Menge

Als Kardinalität oder auch Mächtigkeit einer Menge bezeichnet man den Wert, welcher angibt, wie viele Elemente sie enthält. Man sagt auch, wie mächtig die Menge ist. .

Dieser Wert ist für alle endlichen Mengen eine natürliche Zahl. Für unendliche Mengen ist der Kardinalitätsbegriff etwas schwieriger zu erfassen, was hier nicht thematisiert werden soll.

Die Kardinalität einer Menge spielt immer dann eine Rolle, wenn eben die Anzahl an Elementen der Menge wichtig wird. Betrachtet man beispielsweise einen Ergebnisraum und möchte Wahrscheinlichkeiten erfassen, so wird die Kardinalität des Raumes wichtig.

Man schreibt, um die Kardinalität einer Menge A (A soll hier 3 Elemente enthalten) anzugeben: #A =3 oder|A|=3.

Beispiel 1)     Wie mächtig sind die folgenden Mengen?

Kardinalitaet einer Menge 1
Abbildung1. - Thema: Kardinalitaet einer Menge.
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Schittmengen

Als Schnitt oder Schnittmenge zweier oder mehrerer Mengen bezeichnet man die Menge, welche all jene Elementen enthält, die schon Elemente der Ausgangsmengen waren.

Man schreibt und ließt A geschnitten mit B.

Beispiel 1) Wie lauten die Schnittmengen von:

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Teilmengen

Eine Teilmenge ist, wie der Name schon sagt ein Teil einer Menge.

Beispiel 1) Wie verhalten sich die folgenden Mengen zueinander?

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Vereinigungen von Mengen

Unter der Vereinigung zweier Mengen versteht man die Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält.

Die Vereinigung von mehreren Mengen enthält alle Elemente der Ausgangsmengen.

Man schreibt A [ B und ließt A vereinigt mit B.

Beispiel 1) Wie lauten die Vereinigungen von:

a) A = f1;2;3;4g und B = f1;5g

b) A = fxjx ist gerade} und B = f1;3;6;8;9;11g,

c) A = N und B = R

Vereinigungen von Mengen 1
Abbildung1. - Thema: Vereinigungen von Mengen.

Wichtig: In Beispiel a) ist zu sehen, dass ein ’doppeltes’ Element in der Vereinigung nur einmal auftaucht. Kein Element kommt doppelt vor!

Außerdem: Das Beispiel c) zeigt, dass die Vereinigung zweier Mengen einfach eine der Ausgangsmengen sein kann. Und zwar dann, wenn die eine Menge die andere bereits komplett enthält.

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Aufgabenblätter zum Thema Stochastik — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

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