Gauß-Verfahren in der Qualifikationsphase – online lernen

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Lineare Algebra — Gleichungssysteme Lösen — Gauß-Verfahren

Ein besonderes Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen ist das sogenannte Gauß-Verfahren. Hier lernst du, wie du mit dessen Hilfe Gleichungssysteme lösen kannst, die 3 oder mehr Gleichungen beinhalten..

Wiki zum Thema Lineare Algebra — Gleichungssysteme Lösen — Gauß-Verfahren

Gleichungssysteme lösen – 3x3

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren: Eine Zeile wird übertragen. Durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen die gleiche Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable, bis man Dreiecksform erreicht hat.

Gleichungssysteme loesen 1
Abbildung1. - Thema: Gleichungssysteme loesen.

Aus der letzten Zeile bestimmt man x3, das man in der vorletzten Zeile einsetzt um x2 zu bekommen. x2 und x3, eingesetzt in die erste Zeile, ergeben x1. Die Lösung gibt man als Vektor oder mithilfe der Lösungsmenge an:

Gleichungssysteme loesen 2
Abbildung2. - Thema: Gleichungssysteme loesen.

Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Löse die linearen Gleichungssysteme:

Gleichungssysteme loesen 3
Abbildung3. - Thema: Gleichungssysteme loesen.
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Gaußverfahren

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren:

Eine Zeile wird übertragen und durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen dieselbe Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable bis man eine Dreiecksform erreicht hat.

Gaussverfahren 1
Abbildung1. - Thema: Gaussverfahren.

Bei mehr Gleichungen bzw. mehreren Variablen benötigt man entsprechend mehr Schritte. Dennoch versucht man untere Dreiecksform zu erhalten, um durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen zu erhalten. Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar. Entsteht eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispielaufgabe:

Gaussverfahren 2
Abbildung2. - Thema: Gaussverfahren.
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Aufgabenblätter zum Thema Lineare Algebra — Gleichungssysteme Lösen — Gauß-Verfahren

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  1. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

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  6. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

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