Matrizen berechnen – online lernen

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  Wiki zum Thema Lineare Algebra — Austauschprozesse / Stochastischematrix / Übergangsmatrix / Prozessmatrix — Prozesse berechnen

Produktionsprozesse

Produktions- oder Fertigungsprozesse lassen sich sehr gut mit Hilfe von Matrizen beschreiben.

Die Grundidee dabei ist, dass die Matrix eine bestimmte Menge an Rohsto?en in eine bestimmte Menge an Produkten überführt.

Solche Produktionsprozesse können auch mehrstufig sein, d.h. zunächst gibt es eine Matrix, die eine bestimmte Menge an Rohstoffen in eine bestimmte Menge an Zwischenprodukten überführt und diese von einer weiteren Matrix in die Endprodukte (oder weitere Zwischenprodukte) überführt werden.

Eine solche Matrix wird Produktionsmatrix genannt.

Solche Prozesse lassen sich sowohl in Textform, als auch als Graph darstellen. Beide Darstellungen lassen sich in eine Matrix überführen, mit der dann gerechnet werden kann.

Einige allgemeine Punkte:

  • Eine Produktionsmatrix muss nicht quadratisch sein.
  • Sie hat so viele Zeilen, wie Ausgangsprodukte und...
  • ... so viele Spalten, wie Zielprodukte.

Beispiel 1) Ein Unternehmen stellt in einem ersten Produktionsschritt aus drei Rohsto?en vier Sorten Dünger her. Daraus werden dann in einem zweiten Schritt drei verschiedene Düngermischungen gemacht werden.

  • Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsschritt "Rohstoffe → Dünger" beschreibt?
  • Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsprozess "Dünger →Düngermischungen" beschreibt?t?
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Produktionsprozesse II

Im ersten Dokument der Reihe zu Produktionsprozessen wurde bereits ein Unternehmen Angesprochen, welches Düngermischungen herstellt. Auf Basis dieser Idee soll nun ein Produktionsprozess Stück für Stück untersucht werden.

Zunächst gehen wir genauer auf den Prozess ein:

Beispiel 1) Was sagt der folgende Graph über den Produktionsprozess aus?

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Produktionsprozesse III

Nun wollen wir den bereits bekannten Graphen, der die Produktion unserer Düngermischungen beschreibt, in eine Matrix überführen.

Wir beginnen damit, eine Matrix aufzustellen, die den Prozess ’Rohstoff → Dünger’ beschreibt, ehe wir auch die Matrix ’Dünger → Düngermischung’ erstellen. Diese Matrix nennen wir MRD bzw. MDM

Hierzu gehen wir wie folgt vor:

  • Die Zeilen stehen je für einen Rohstoff
  • Die Spalten für einen Dünger
  • Der Eintrag an der Stelle Zeile × Spalte gibt an, wie viel von dem Rohstoff der entsprechenden Zeile für den Dünger der zugehörigen Spalte benötogt werden.

Beispiel 1) Hier nocheinmal der Graph:

  • Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Rohstoff → Dünger’?
  • Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Dünger → Düngermischung’?
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Produktionsprozesse IV

In Teil III der Wiki Serie haben wir die Matrizen zum Darstellen der einzelnen Produktionsschritte hergeleitet.

Zur Erinnerung noch einmal Graph und Matrizen:

Nun kann man sich die Frage stellen, ob es möglich ist, eine Matrix zu finden, die den Gesamtprozess beschreibt, also die Dünger auslässt und direkt von den Rohstoffen zum Endprodukt (den Düngermischungen) springt.

Da diese Matrix drei Ausgangsstoffe und 2 Zielstoffe hat, müsste es folglich eine 3 × 2-Matrix sein.

Durch die Matrizenmultiplikation wissen wir, dass das Produkt einer 3 × 4- Matrix mit einer 4 × 2-Matrix eine eben solche 3 × 2-Matrix sein muss.

Daher multipliziert man die Teilprozesse der Matrizen. Es ergibt sich:

Man benötigt also 7 Einheiten R1, 17 Einheiten R2 und 2 Einheiten R3 um eine Einheit M1 herzustellen. Man benötigt für M2 eine Einheit R1, drei Einheiten R2 und zwei Einheiten R3 .

Im Folge-Dokument wird noch eine typische Beispielaufgabe besprochen.

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Produktionsprozesse V

Wir haben nun also die Produktionsmatrix (oder auch Bedarfsmatrix) unseres Sachbeispiels herausgefunden.

bis zum Endprodukt (den Düngermischungen).

Mit dieser Matrix können wir z.B. leicht herausfinden, wie viele Rohstoffe wir benötigen, um eine bestimmte Menge an Endprodukten zu erhalten.

Beispiel 1) Wie viele Rohstoffe werden benötigt, um 200 Einheiten M1, sowie 300 Einheiten M2 herzustellen?

Vorüberlegung: Wir stellen unsere gewünschte Zielmenge als Vektor dar:

Diesen Vektor können wir mit der Matrix multiplizieren.

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Übergangsprozesse I

Ein Austauschprozess ist ein Prozess, der – stark vereinfacht ausgedrückt – den Wechsel von Zuständen oder auch Verteilungen beschreibt.

So könnte man z. B. betrachten, wie sich monatlich die Kunden zwischen verschiedenen Bekleidungsgeschäften hin und her verschieben. Denkbar wäre aber auch, den (voraussichtlichen) Aufenthaltsort z. B. einer Person zu beschreiben.

Solche Prozesse lassen sich stets durch Matrizen, sogenannte Übergangsmatrizen, beschreiben. Diese Matrizen sind stets quadratisch, also von der Form n * n.

Man unterscheidet zwischen:

  • Stochastischen Matrizen: Die Einträge einer solchen Matrix liegen stets zwischen 0 und 1, und die Zeilen-, oder Spaltensumme muss immer gleich Eins sein.
  • Allgemeinen Prozessmatrizen: Auch hier liegen die Einträge in der Regel (aber nicht immer) zwischen 0 und 1, jedoch ist es nicht vorgegeben, dass Zeilen- oder Spaltensumme gleich Eins sein müssen.

Die Allgemeinen Prozessmatrizen sind für den Schulunterricht jedoch nicht von Bedeutung.

Ein mögliches Beispiel für eine Matrix wie in 1. beschrieben wäre:

Man kann schnell ausrechnen, dass alle Zeilenvektoren der Matrix in der Summe 1 ergeben, womit es sich tatsächlich um eine stochastische Matrix handelt.

Unter „Übergangsprozesse II“ wird diese Matrix in einem Anwendungsbeispiel etwas genauer betrachtet.

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Übergangsprozesse III

sowie der zugehörige Adjazengraph bekannt. Nun soll erklärt werden, wie die Matrix aus dem Graphen hervorgeht und zu was für einem Sachzusammenhang dieser gehö- ren könnte. Wichtig ist es hierbei zu überlegen, wo die Werte des Adjazengraphen sich in der Matrix wiederfinden. Man sieht schnell, dass in der ersten Spalte(S1) und der ersten Zeile(Z1), mit dem Eintrag 0,05, offenbar der Wechsel von A nach A beschrieben wird. In S2, Z1 mit dem Eintrag 0,3 offenbar der von A nach B. In S3, Z1 mit dem Eintrag 0,65 wird der Wechsel von A nach C beschrieben. Die übrigen Zeilen funktionieren genauso. Insgesamt veranschaulicht folgende Tabelle das Schema des Adjazengraphen sehr gut:

Beispiel 1) Was sind mögliche Sachzusammenhänge?

Im Folge-Dokument wird das Katzenbeispiel nochmals ausgearbeitet dargestellt.

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Übergangsprozesse IV - Sachbeispiel Katze Teil 2a

Beispiel 1) Ausgehend vom Sachverhalt des Vorgänger-Dokuments: Die Katze befindet sich momentan in ihrer Hängematte. Wo befindet sie sich vermutlich in 3 Stunden?

ACHTUNG: Es ist auch möglich Tabelle und Matrix spaltenweise aufzubauen. Dies wird im Dokument “Übergangsprozesse IV - Sachbeispiel Katze Teil 2b” erklärt.

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Übergangsprozesse IV - Sachbeispiel Katze Teil 2b

Kommen wir nun zur spaltenweisen Vorgehensweise, die bereits im Vorgänger- Dokument angekündigt wurde.

Wir erhalten also den gleichen Lösungsvektor wie bei der anderen Methode, allerdings ist auch dieser einmal gedreht bzw. transponiert.

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Über einen bereits mathematisch modellierten Prozess kann man durch bestimmte Berechnungen näherungsweise Vorhersagen treffen..
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