Abiturprüfung – Linearen Algebra – online lernen

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Lineare Algebra — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Hier findest du Materialen zur Vorbereitung auf deine Abiturprüfung.

Wiki zum Thema Lineare Algebra — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Gaußverfahren

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren:

Eine Zeile wird übertragen und durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen dieselbe Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable bis man eine Dreiecksform erreicht hat.

Gaussverfahren 1
Abbildung1. - Thema: Gaussverfahren.

Bei mehr Gleichungen bzw. mehreren Variablen benötigt man entsprechend mehr Schritte. Dennoch versucht man untere Dreiecksform zu erhalten, um durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen zu erhalten. Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar. Entsteht eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispielaufgabe:

Gaussverfahren 2
Abbildung2. - Thema: Gaussverfahren.
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Gaußverfahren –∞-viele Lösungen

Ensteht bei einem Gleichungssystem eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Man darf eine Variable als Parameter wählen und muss die Verbleibenden in Abhängigkeit dieses Parameters ausdrücken.

Beispielaufgabe:

Gauss unendlich viele Lsg 1
Abbildung1. - Thema: Gauss unendlich viele Lsg.
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Matrix mit Vektor multiplizieren

Die Multiplikaton einer n × m-Matrix mit einem Vektor, ist nur dann möglich, wenn der Vektor m Zeilen besitzt. Der Vektor kann als m × 1-Matrix interpretiert werden, sodass ein Spezialfall der Matrizenmultiplikation entsteht. Das Ergebnis ist ein Vektor (eine n × 1-Matrix).

Beispielaufgabe:

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Matrizenmultiplikation

Zwei Matrizen können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Hat Matrix A die Dimension n × m und Matrix B die Dimension m × k, dann ist die Dimension von C = A.B n × k.

Die Einträge der Matrix C entstehen durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der enstprechende Zeile der ersten Matrix mit der entsprechenden Spalte der zweiten Matrix und Summation dieser Produkte. „Zeile mal Spalte“

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen ist A.B ≠ B.A (falls überhaupt möglich).

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Berechne C = A.B, D = E.F und G = F.E

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Matrixpotenz

Potenziert man eine Matrix A, so entspricht dies einer wiederholten Multiplikation der Matrix mit sich selbst. Da die Matrixmultiplikation nur bei passender Dimension definiert ist, kann man nur quadratische Matrizen (Dimension n × n; n ∈ N) potenzieren. Nur in Sonderfällen ist es sinnvoll, auch gebrochene n zuzulassen. Für invertierbare Matrizen kann ein negatives n zugelassen werden, denn A-n =(A-1)n

Potenzieren bedeutet also:

Beim Potenzieren von Matrizen können ungewohnte Fälle auftreten. Z.B. kann

ergeben. D.h., ab einer gewissen Potenz entsteht die Nullmatrix oder die ursprüngliche Matrix selbst. Matrizen mit Ak = 0 nennt man nilpotent und solche mit Ak = A idempotent.

Beispielaufgabe:

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Matrix invertieren

Die Inverse einer quadratischen Matrix A ist eine Matrix A-1, die multipliziert mit A die Einheitsmatrix ergibt.

Um die Inverse von A zu erhalten, erweitert man A mit der Einheitsmatrix

und formt nun durch elementare Zeilenumformungen soweit um, bis links die Einheitsmatrix entsteht. Rechts erhält man dadurch die Inverse A-1.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Invertiere die Matrizen A und B.


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Prozesse modellieren

Ein wesentlicher Bestandteil der linearen Algebra in der Oberstufe befasst sich mit dem Modellieren von Prozessen. Hierzu werden Matrizen gemäß eines gegebenen Sachverhalts aufgestellt, um diesen möglichst genau zu beschreiben.

Hierbei unterscheidet man im Wesentlichen zwischen zwei Arten von Prozessen, nämlich den:

  1. Austausch- bzw. Übergangsprozessen
  2. Produktionsprozessen

Erstere zeichnen sich dadurch aus, dass die zugehörigen Matrizen stets quadratisch sind. Die Sachzusammenhänge beschreiben also Übergänge, die zwischen einer gewissen Menge von z. B. Unternehmen stattfinden, wobei stets alle Unternehmen beteiligt sind, sowohl aktiv (sie geben z. B. Kunden an andere Unternehmen ab), als auch passiv (sie gewinnen Kunden der anderen Unternehmen hinzu).

Bei den Produktionsprozessen hingegen müssen die Matrizen nicht quadratisch sein, was diese deutlich flexibler und oft schwieriger zu berechnen macht.

Zu beiden Arten von Prozessen und ihrer Modellierung findet sich in den Dokumentenreihen „Übergangsprozesse“ bzw. „Produktionsprozesse“ eine genauere Einführung mit ausführlichen Beispielen.

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Produktionsprozesse

Produktions- oder Fertigungsprozesse lassen sich sehr gut mit Hilfe von Matrizen beschreiben.

Die Grundidee dabei ist, dass die Matrix eine bestimmte Menge an Rohsto?en in eine bestimmte Menge an Produkten überführt.

Solche Produktionsprozesse können auch mehrstufig sein, d.h. zunächst gibt es eine Matrix, die eine bestimmte Menge an Rohstoffen in eine bestimmte Menge an Zwischenprodukten überführt und diese von einer weiteren Matrix in die Endprodukte (oder weitere Zwischenprodukte) überführt werden.

Eine solche Matrix wird Produktionsmatrix genannt.

Solche Prozesse lassen sich sowohl in Textform, als auch als Graph darstellen. Beide Darstellungen lassen sich in eine Matrix überführen, mit der dann gerechnet werden kann.

Einige allgemeine Punkte:

  • Eine Produktionsmatrix muss nicht quadratisch sein.
  • Sie hat so viele Zeilen, wie Ausgangsprodukte und...
  • ... so viele Spalten, wie Zielprodukte.

Beispiel 1) Ein Unternehmen stellt in einem ersten Produktionsschritt aus drei Rohsto?en vier Sorten Dünger her. Daraus werden dann in einem zweiten Schritt drei verschiedene Düngermischungen gemacht werden.

  • Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsschritt "Rohstoffe → Dünger" beschreibt?
  • Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsprozess "Dünger →Düngermischungen" beschreibt?t?
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Produktionsprozesse II

Im ersten Dokument der Reihe zu Produktionsprozessen wurde bereits ein Unternehmen Angesprochen, welches Düngermischungen herstellt. Auf Basis dieser Idee soll nun ein Produktionsprozess Stück für Stück untersucht werden.

Zunächst gehen wir genauer auf den Prozess ein:

Beispiel 1) Was sagt der folgende Graph über den Produktionsprozess aus?

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Produktionsprozesse III

Nun wollen wir den bereits bekannten Graphen, der die Produktion unserer Düngermischungen beschreibt, in eine Matrix überführen.

Wir beginnen damit, eine Matrix aufzustellen, die den Prozess ’Rohstoff → Dünger’ beschreibt, ehe wir auch die Matrix ’Dünger → Düngermischung’ erstellen. Diese Matrix nennen wir MRD bzw. MDM

Hierzu gehen wir wie folgt vor:

  • Die Zeilen stehen je für einen Rohstoff
  • Die Spalten für einen Dünger
  • Der Eintrag an der Stelle Zeile × Spalte gibt an, wie viel von dem Rohstoff der entsprechenden Zeile für den Dünger der zugehörigen Spalte benötogt werden.

Beispiel 1) Hier nocheinmal der Graph:

  • Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Rohstoff → Dünger’?
  • Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Dünger → Düngermischung’?
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Produktionsprozesse IV

In Teil III der Wiki Serie haben wir die Matrizen zum Darstellen der einzelnen Produktionsschritte hergeleitet.

Zur Erinnerung noch einmal Graph und Matrizen:

Nun kann man sich die Frage stellen, ob es möglich ist, eine Matrix zu finden, die den Gesamtprozess beschreibt, also die Dünger auslässt und direkt von den Rohstoffen zum Endprodukt (den Düngermischungen) springt.

Da diese Matrix drei Ausgangsstoffe und 2 Zielstoffe hat, müsste es folglich eine 3 × 2-Matrix sein.

Durch die Matrizenmultiplikation wissen wir, dass das Produkt einer 3 × 4- Matrix mit einer 4 × 2-Matrix eine eben solche 3 × 2-Matrix sein muss.

Daher multipliziert man die Teilprozesse der Matrizen. Es ergibt sich:

Man benötigt also 7 Einheiten R1, 17 Einheiten R2 und 2 Einheiten R3 um eine Einheit M1 herzustellen. Man benötigt für M2 eine Einheit R1, drei Einheiten R2 und zwei Einheiten R3 .

Im Folge-Dokument wird noch eine typische Beispielaufgabe besprochen.

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Produktionsprozesse V

Wir haben nun also die Produktionsmatrix (oder auch Bedarfsmatrix) unseres Sachbeispiels herausgefunden.

bis zum Endprodukt (den Düngermischungen).

Mit dieser Matrix können wir z.B. leicht herausfinden, wie viele Rohstoffe wir benötigen, um eine bestimmte Menge an Endprodukten zu erhalten.

Beispiel 1) Wie viele Rohstoffe werden benötigt, um 200 Einheiten M1, sowie 300 Einheiten M2 herzustellen?

Vorüberlegung: Wir stellen unsere gewünschte Zielmenge als Vektor dar:

Diesen Vektor können wir mit der Matrix multiplizieren.

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Übergangsprozesse I

Ein Austauschprozess ist ein Prozess, der – stark vereinfacht ausgedrückt – den Wechsel von Zuständen oder auch Verteilungen beschreibt.

So könnte man z. B. betrachten, wie sich monatlich die Kunden zwischen verschiedenen Bekleidungsgeschäften hin und her verschieben. Denkbar wäre aber auch, den (voraussichtlichen) Aufenthaltsort z. B. einer Person zu beschreiben.

Solche Prozesse lassen sich stets durch Matrizen, sogenannte Übergangsmatrizen, beschreiben. Diese Matrizen sind stets quadratisch, also von der Form n * n.

Man unterscheidet zwischen:

  • Stochastischen Matrizen: Die Einträge einer solchen Matrix liegen stets zwischen 0 und 1, und die Zeilen-, oder Spaltensumme muss immer gleich Eins sein.
  • Allgemeinen Prozessmatrizen: Auch hier liegen die Einträge in der Regel (aber nicht immer) zwischen 0 und 1, jedoch ist es nicht vorgegeben, dass Zeilen- oder Spaltensumme gleich Eins sein müssen.

Die Allgemeinen Prozessmatrizen sind für den Schulunterricht jedoch nicht von Bedeutung.

Ein mögliches Beispiel für eine Matrix wie in 1. beschrieben wäre:

Man kann schnell ausrechnen, dass alle Zeilenvektoren der Matrix in der Summe 1 ergeben, womit es sich tatsächlich um eine stochastische Matrix handelt.

Unter „Übergangsprozesse II“ wird diese Matrix in einem Anwendungsbeispiel etwas genauer betrachtet.

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Übergangsprozesse III

sowie der zugehörige Adjazengraph bekannt. Nun soll erklärt werden, wie die Matrix aus dem Graphen hervorgeht und zu was für einem Sachzusammenhang dieser gehö- ren könnte. Wichtig ist es hierbei zu überlegen, wo die Werte des Adjazengraphen sich in der Matrix wiederfinden. Man sieht schnell, dass in der ersten Spalte(S1) und der ersten Zeile(Z1), mit dem Eintrag 0,05, offenbar der Wechsel von A nach A beschrieben wird. In S2, Z1 mit dem Eintrag 0,3 offenbar der von A nach B. In S3, Z1 mit dem Eintrag 0,65 wird der Wechsel von A nach C beschrieben. Die übrigen Zeilen funktionieren genauso. Insgesamt veranschaulicht folgende Tabelle das Schema des Adjazengraphen sehr gut:

Beispiel 1) Was sind mögliche Sachzusammenhänge?

Im Folge-Dokument wird das Katzenbeispiel nochmals ausgearbeitet dargestellt.

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Übergangsprozesse IV - Sachbeispiel Katze Teil 2a

Beispiel 1) Ausgehend vom Sachverhalt des Vorgänger-Dokuments: Die Katze befindet sich momentan in ihrer Hängematte. Wo befindet sie sich vermutlich in 3 Stunden?

ACHTUNG: Es ist auch möglich Tabelle und Matrix spaltenweise aufzubauen. Dies wird im Dokument “Übergangsprozesse IV - Sachbeispiel Katze Teil 2b” erklärt.

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Gleichgewichtsverteilung

Zu Übergangsprozessen und den dazugehörenden Matrizen lassen sich Gleichgewichtsverteilungen berechnen.

Dies funktioniert derart, dass man die einem Übergangsprozess zugeordnete Übergangsmatrix in eine so hohe Potenz erhebt, dass sie konstant wird.

Für die Übergangsmatrix Ab erechnet man also An mit einem extrem großen n.

Im weitesten Sinn ist das vergleichbar mit dem Konvergenzverhalten einer Funktion (bekannt aus der Analysis).

Die dabei entstehende Matrix An nennt man auch die Grenzmatrix und bezeichnet sie mit G.

Näheres zur Grenzmatrix und ihrer Berechnung findet sich im gleichnamigen Wiki.

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Prozessmatrizen

Unter Prozessmatrizen versteht man eine besondere Gattung der Matrizen, nämlich solche, die einen Prozess (z. B.: Produktion von Gütern, Kaufverhalten von Kunden usw.) beschreiben.

Im Wesentlichen unterscheidet man zwischen zwei Prozessen:

  1. Austausch- bzw. Übergangsprozessen,
  2. Produktionsprozessen.

Beide Prozesstypen haben bestimmte Eigenschaften, die sich auf die Matrix übertragen. Bei Übergangsprozessen sind die Matrizen z. B. immer quadratisch, bei Produktionsprozessen kann das auch passieren, muss es aber nicht.

Ein Sonderfall der Übergangsmatrizen sind die sogenannten stochastischen Matrizen. Hier liegen alle Einträge zwischen 0 und 1. Außerdem ist die Summe jeder Zeile (oder Spalte) immer gleich 1.

Innerhalb der Prozesstypen wird z. T. noch weiter unterschieden. Hierzu sei auf die Dokumentenreihen zu Übergangsprozessen, bzw. Produktionsprozessen verwiesen.

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Prozesse – Sachaufgaben

Sachaufgaben zu Prozessen sind grundsätzlich so angelegt, dass ein sehr greifbarer Prozess modelliert und berechnet werden soll.

Bei den Übergangsprozessen handelt es sich meist um Aufenthaltsorte von Personen oder Tieren (Übergänge zwischen den Aufenthaltsorten) oder um das Kaufverhalten von Kunden („Wer kauft bei welchem Kaufhaus und wie verschieben sich die Kunden zwischen den Kaufhäusern?“).

Bei den Produktionsprozessen steht der Prozess der Herstellung von Gütern im Vordergrund. Hier kann z. B. betrachtet werden, wie aus verschiedenen Holzsorten erst Bretter hergestellt werden, aus denen dann in einem zweiten Produktionsschritt Schränke gefertigt werden.

Genau ausgearbeitete Sachbeispiele finden sich in den Dokumentenreihen zu Übergangsprozessen bzw. Produktionsprozessen.

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Aufgabenblätter zum Thema Lineare Algebra — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

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  1. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  2. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

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