Parameterform in Koordinatenform – online lernen

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  Wiki zum Thema Analytische Geometrie — Ebenen — Ebenen in andere Form bringen

Ebenen umformen, Koordinatenform - Normalenform

Die Normalenform Koordinatenform-Normalenform 1 erhält man leicht aus der Koordinatenform

Abbildung1. - Thema: Koordinatenform-Normalenform.
E : n1x1 + n2x2 + n3x3 = b. Die Einträge eines Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten in der Koordinatenform. Wählt man die Koordinaten eines beliebigen Punktes P so, dass er die Koordinatengleichung erfüllt, entspricht
der Ortsvektor dieses Punktes einem Stützvektor Koordinatenform-Normalenform 2

Abbildung2. - Thema: Koordinatenform-Normalenform.

Beispiel 1) Bestimme die Normalenform von E : 4x1 - x2 -x3 = 1

Koordinatenform-Normalenform 3
Abbildung3. - Thema: Koordinatenform-Normalenform.
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Ebenen umformen, Koordinatenform - Parameterform

Wenn eine Koordinatenform einer Ebene E : n1x1+n2x2+n3x2 = b gegeben ist, kommt man in die Parameterdarstellung, indem man drei beliebige Punkte A; B; C wählt, deren Koordinaten die Koordinatengleichung erfüllen und daraus eine Parametergleichung erstellt.

Koordinatenform-Parameterform 1
Abbildung1. - Thema: Koordinatenform-Parameterform.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme eine Parametergleichung von E : 4x1 +3x2

Koordinatenform-Parameterform 2
Abbildung2. - Thema: Koordinatenform-Parameterform.
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Ebenen umformen, Normalenform )⇒ Parameterform

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme die Parameterdarstellung von E

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Ebenen umformen

Parameterform → Normalenform → Koordinatenform

Gegeben ist die Parameterform Zur Umwandlung in die Koordinatenform kann man folgende Schritte verfolgen:

  1. Normalenvektor bestimmen: (Kreuzprodukt)
  2. Normalenform aufstellen:
  3. Normalenform vereinfachen:
    Vereinfachen:

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Wandle E in Normalenform und Koordinatenform um.

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Ebenen umformen, Parameterform ⇒ Koordinatenform

Von einer Parameterform einer Ebene kommt man direkt in die Koordinatenform indem man einen

Normalenvektor mithilfe des Kreuzprodukts bestimmt:

Die Einträge n1,n2, n3 sind die Koeffizienten in der Koordinatenform. b erhält man, indem man die Koordinaten eines Punktes der Ebene in die Koordinatenform einsetzt.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Wandle in Koordinatenform um.

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