Abiturprüfung – Analytischen Geometrie – online lernen

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Analytische Geometrie — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Hier findest du Materialen zur Vorbereitung auf deine Abiturprüfung.

Wiki zum Thema Analytische Geometrie — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Parameterform von Geraden

Eine Gerade g kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

Geraden Parameterform 1
Abbildung1. - Thema: Geraden Parameterform.

Diese Darstellung heißt Parameterform. ist der Stützvektor und der Richtungsvektor. zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt der Geraden und zeigt in Richtung der Geraden.

Abbildung2. - Thema: Geraden Parameterform.

Sind zwei Punkte A und B der Geraden gegeben, so kann die Parameterform bestimmt werden.

Geraden Parameterform 3
Abbildung3. - Thema: Geraden Parameterform.

Skizze:

Geraden Parameterform 4
Abbildung4. - Thema: Geraden Parameterform.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Bestimme zwei verschiedene Parametergleichungen der Geraden durch A(1|2|3) und B(2|0|1).

Geraden Parameterform 5
Abbildung5. - Thema: Geraden Parameterform.
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Geraden – Punkte berechnen

Die Ortsvektoren von Punkten, die auf einer gegebenen Geraden

Geraden Punkte berechnen 1
Abbildung1. - Thema: Geraden Punkte berechnen.

liegen, erhält man, indem man für den Parameter r beliebige Werte einsetzt.

Beispielaufgabe:

Geraden Punkte berechnen 2
Abbildung2. - Thema: Geraden Punkte berechnen.
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Geraden – Punktprobe

Eine Punktprobe wird durchgeführt, indem man den Ortsvektor des Punktes für in die Parametergleichung der Geraden einsetzt. Anschließend löst man zeilenweise nach dem Parameter auf. Folgt aus allen drei Gleichungen kein Widerspruch, so liegt der Punkt auf der Geraden.

Abbildung1. - Thema: Geraden Punktprobe.

Beispielaufgabe:

Geraden Punktprobe 2
Abbildung2. - Thema: Geraden Punktprobe.
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Geraden – Spezialfall Geraden im R2 1

Abbildung1. - Thema: Geraden im R2.
Geraden im R2 2
Abbildung2. - Thema: Geraden im R2.

Skizze:

Geraden im R2 3
Abbildung3. - Thema: Geraden im R2.

Beispielaufgabe:

Geraden im R2 4
Abbildung4. - Thema: Geraden im R2.
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Ebenen – Parameterform

Ebene Parameterform 1
Abbildung1. - Thema: Ebene Parameterform.

Sind drei verschiedene Punkte A; B und C gegeben, die nicht auf einer Geraden liegen, so kann man durch sie eindeutig eine Ebene festlegen:

Ebene Parameterform 2
Abbildung2. - Thema: Ebene Parameterform.

Skizze:

Ebene Parameterform 3
Abbildung3. - Thema: Ebene Parameterform.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme zwei unterschiedliche Parametergleichungen einer Ebene, die durch A(1 | 2 | 3), B(-2 | 0 | 3) und C(10 | 10 | 9) festgelegt ist.

Ebene Parameterform 4
Abbildung4. - Thema: Ebene Parameterform.
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Ebenen – Koordinatenform

Ebenen im Raum können auch durch Koordinatenformen beschrieben werden:

E : n1x1 + n1x1 + n1x1 = b

wobei die Zahlen n1; n2 und n3 die Einträge des Normalenvektors ~n der Ebene sind. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Skizze:

Koordinatenform 1
Abbildung1. - Thema: Koordinatenform.

Punkte aus E bekommt man, wenn man die Koordinaten x1; x2 und x3 so wählt, dass die Ebenengleichung erfüllt ist. Umgekehrt können wir prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, indem wir seine Koordinaten in die Ebene einsetzen.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Gegeben ist die Ebene E : 2x1 + 4x2

Bestimme zwei Punkte A und B, die in E liegen.

Prüfe, ob die Punkte Q(2 | 2 | 0) und R( -2 | 1 | 4) in E enthalten sind.

Koordinatenform 2
Abbildung2. - Thema: Koordinatenform.
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Ebenen – Normalenform

Die Normalenform ist eine weitere Möglichkeit eine Ebene im Raum zu beschreiben. Es ist:

Ebene Normalenform 1
Abbildung1. - Thema: Ebene Normalenform.

Skizze:

Ebene Normalenform 2
Abbildung2. - Thema: Ebene Normalenform.

Punkte aus E bekommt man, wenn man die Koordinaten x1; x2 und x3 so wählt, dass die Ebenengleichung erfüllt ist (Wähle z.B. x1 = x2 = 0 und löse nach x3 auf). Umgekehrt können wir prüfen, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, indem wir seine Koordinaten in die Gleichung einsetzen.

Beispielaufgabe:

Ebene Normalenform 3
Abbildung3. - Thema: Ebene Normalenform.

Bestimme einen Punkt A, der in E liegt.

Prüfe, ob die Punkte Q(5 | -6 | 20) und R(1 | 1 | -1) in E enthalten sind.

Ebene Normalenform 4
Abbildung4. - Thema: Ebene Normalenform.
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Ebenen umformen, Koordinatenform - Normalenform

Die Normalenform Koordinatenform-Normalenform 1 erhält man leicht aus der Koordinatenform

Abbildung1. - Thema: Koordinatenform-Normalenform.
E : n1x1 + n2x2 + n3x3 = b. Die Einträge eines Normalenvektors entsprechen den Koeffizienten in der Koordinatenform. Wählt man die Koordinaten eines beliebigen Punktes P so, dass er die Koordinatengleichung erfüllt, entspricht
der Ortsvektor dieses Punktes einem Stützvektor Koordinatenform-Normalenform 2

Abbildung2. - Thema: Koordinatenform-Normalenform.

Beispiel 1) Bestimme die Normalenform von E : 4x1 - x2 -x3 = 1

Koordinatenform-Normalenform 3
Abbildung3. - Thema: Koordinatenform-Normalenform.
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Ebenen umformen, Koordinatenform - Parameterform

Wenn eine Koordinatenform einer Ebene E : n1x1+n2x2+n3x2 = b gegeben ist, kommt man in die Parameterdarstellung, indem man drei beliebige Punkte A; B; C wählt, deren Koordinaten die Koordinatengleichung erfüllen und daraus eine Parametergleichung erstellt.

Koordinatenform-Parameterform 1
Abbildung1. - Thema: Koordinatenform-Parameterform.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme eine Parametergleichung von E : 4x1 +3x2

Koordinatenform-Parameterform 2
Abbildung2. - Thema: Koordinatenform-Parameterform.
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Ebenen umformen, Normalenform )⇒ Parameterform

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme die Parameterdarstellung von E

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Ebenen umformen

Parameterform → Normalenform → Koordinatenform

Gegeben ist die Parameterform Zur Umwandlung in die Koordinatenform kann man folgende Schritte verfolgen:

  1. Normalenvektor bestimmen: (Kreuzprodukt)
  2. Normalenform aufstellen:
  3. Normalenform vereinfachen:
    Vereinfachen:

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Wandle E in Normalenform und Koordinatenform um.

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Ebenen umformen, Parameterform ⇒ Koordinatenform

Von einer Parameterform einer Ebene kommt man direkt in die Koordinatenform indem man einen

Normalenvektor mithilfe des Kreuzprodukts bestimmt:

Die Einträge n1,n2, n3 sind die Koeffizienten in der Koordinatenform. b erhält man, indem man die Koordinaten eines Punktes der Ebene in die Koordinatenform einsetzt.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Wandle in Koordinatenform um.

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Koordinatenform – Punktprobe

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform E : n1x1 + n2x2 + n3x3 = b und ein Punkt A(a1 | a2 | a3 ), von dem man wissen möchte, ob er in der Ebene liegt. Man setzt die Koordinaten von A in die Ebene ein. Entsteht eine wahre Aussage gilt A ∈ E, ansonsten A ∉ E.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Prüfe, ob die Punkte A(10 | -1 | -6), B(0 | 0 | 17), C(2 | 1 | 6) in E : 3x1 + 6x2 + x3 = 18 enthalten sind.

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Parameterform – Punktprobe

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Prüfe, ob die Punkte A(10 | -1 | -6), B(0 | 0 | 17), C(2 | 1 | 6) in enthalten sind.

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Normalenform – Punktprobe

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Gegeben sind die Ebene und die Punkte

A(10 | -1 | -6) B(0 | 0 | 17), C(2 | 1 | 6). Welche Punkte liegen in E?

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Lagebeziehung Gerade – Gerade

Zwei Geraden können auf vier verschiedene Arten zueinander liegen:

Gerade-Gerade 1
Abbildung1. - Thema: Gerade-Gerade.

Vorgehensweise beim Untersuchen der gegenseitigen Lage von g und h:

Gerade-Gerade 2
Abbildung2. - Thema: Gerade-Gerade.

Beispiel 1)     Untersuche die gegenseitige Lage von g und h sowie g und k.

Gerade-Gerade 3
Abbildung3. - Thema: Gerade-Gerade.
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Lagebeziehung Gerade – Ebene

Geraden und Ebenen können auf drei verschiedene Arten zueinander liegen:

Gerade-Ebene 1
Abbildung1. - Thema: Gerade-Ebene.

Je nach Darstellungsform der Ebene muss man unterschiedlich vorgehen:

  1. E in Parameterform: g und E gleichsetzen und das LGS lösen.
  2. E inKoordinatenform: g koordinatenweisein E einsetzen und auflösen.
  3. E in Normalenform: E in Koordinatenform umwandeln, dann wie in 2. vorgehen.

Beispiel 1)     Untersuche die gegenseitige Lage von g und E sowie g und H.

Gerade-Ebene 2
Abbildung2. - Thema: Gerade-Ebene.
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Lagebeziehung Ebene – Ebene, Koordinatenformen

Zwei Ebenen E, und H können auf drei verschiedene Arten und Weisen zueinander liegen:

Skizze:

Ebene-Ebene Koordinatenform 1
Abbildung1. - Thema: Ebene-Ebene Koordinatenform.

Liegen beide Ebenen in Koordinatenform vor, so löst man das LGS.

Beispiel 1) Untersuche die gegenseitige Lage von E und F sowie E und H.

E : x1 + 2x2 - 5x3 = 3, F : -1x1 + x3 = 1, H : 5x1 + 10x2 - 25x3 = 4

Ebene-Ebene Koordinatenform 2
Abbildung2. - Thema: Ebene-Ebene Koordinatenform.
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Lagebeziehung Ebene – Ebene, Parameterformen

Ebene-Ebene Parameterform 1
Abbildung1. - Thema: Ebene-Ebene Parameterform.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Untersuche die gegenseitige Lage von E und F und E und H.

Ebene-Ebene Parameterform 2
Abbildung2. - Thema: Ebene-Ebene Parameterform.
Ebene-Ebene Parameterform 3
Abbildung3. - Thema: Ebene-Ebene Parameterform.
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Lagebeziehung Ebene – Ebene, Mischform

Ebene-Ebene Mischform 1
Abbildung1. - Thema: Ebene-Ebene Mischform.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme die gegenseitige Lage von E und F und E und H.

Ebene-Ebene Mischform 2
Abbildung2. - Thema: Ebene-Ebene Mischform.
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Lageparameter

Lageparameter werden genutzt um die Lage der Stichprobenelemente bzw. der Elemente der Grundgesamtheit in Bezug auf die Messskala zu setzen, sie ordnen einer einer Anzahl vonWerten oder einer vom Zufall abhängigen Größe eine einzelne Zahl zu, der zentralen Tendenz, welche die Ausgangswerte möglichst gut repräsentiert.

In der beschreibenden Statistik nutzt man als Lageparameter einer Verteilung vor allem:

  • Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
  • Median
  • Quantile

Als Lageparameter einer (diskreten) Zufallsvariable nutzt man den Erwartungswert der Zufallsvariable.

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Aufgabenblätter zum Thema Analytische Geometrie — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

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