E Funktion – online lernen

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Analysis — Exponential- &Logarithmusfunktionen — Die E-Funktion

Die e-Funktion ist eine besondere Exponentialfunktion mit der Basis e. Im Vergleich zu anderen exponentiellen Funktionen hat sie besondere Eigenschaften, insbesondere bei der Ableitung..

Wiki zum Thema Analysis — Exponential- &Logarithmusfunktionen — Die E-Funktion

Die natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion f (x) = ex, mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718, heißt natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion.

E-Funktion Eigenschaften 1
Abbildung1. - Thema: E-Funktion Eigenschaften.

Obige Eigenschaften bedeuten:

  • Alle reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden.
  • f (x) > 0: f hat keine Nullstelle; ist immer positiv
  • f ′(x) > 0: f ′ hat keine Nullstelle; ist immer positiv
  • f″(x) > 0: f″hat keine Nullstelle; ist immer positiv
  • Wenn x größer wird, wird f (x) größer. Wird x kleiner, geht f (x) gegen 0.
  • Der Punkt (0 | 1) liegt auf dem Graphen von f .
  • Ableitungen und mögliche Stammfunktionen bleiben ex.
  • f (g(x)) = eln(x) = x, g(f (x)) = ln (ex) = x
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Variation der e-Funktion

Die Graphen folgender Exponentialfunktionen sollte man auswendig kennen.

Skizze:

eFunktion Spiegelung 1
Abbildung1. - Thema: eFunktion Spiegelung.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten:

eFunktion Spiegelung 2
Abbildung2. - Thema: eFunktion Spiegelung.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)   Beschreibe, wie die Graphen von g und h aus dem Graphen von

f mit f(x)=exentstehen.    g(x) = ex-2 - 1,    h(x) = 3e-x + 1

eFunktion Spiegelung 3
Abbildung3. - Thema: eFunktion Spiegelung.
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Funktionsuntersuchung e-Funktion

Die speziellen Eigenschaften der e-Funktion machen eine Kurvendiskussion an vielen Stellen einfacher.

Beispiel 1)    Untersuche die Funktion f mit f (x) = 2e-x-1 auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und linksgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

eFunktion Untersuchung 1
Abbildung1. - Thema: eFunktion Untersuchung.
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Ableitung der e-Funktion, Beispiele

Unter Berücksichtigung von f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex und der Kettenregeln, können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

Ableitung e-Funktion Beispiel 1
Abbildung1. - Thema: Ableitung e-Funktion Beispiel.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

Ableitung e-Funktion Beispiel 2
Abbildung2. - Thema: Ableitung e-Funktion Beispiel.
Ableitung e-Funktion Beispiel 3
Abbildung3. - Thema: Ableitung e-Funktion Beispiel.
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Ableitung der e-Funktion, Beweis

Für die e–Funktion gilt:

Ableitung e-Funktion Beweis 1
Abbildung1. - Thema: Ableitung e-Funktion Beweis.

Sie ist die einzig interessante Funktion, die beim Ableiten gleich bleibt.

Zum Beweis erinnern wir uns an die Definition der Zahl e und schauen kurz in den Differenzialquotienten:

Ableitung e-Funktion Beweis 2
Abbildung2. - Thema: Ableitung e-Funktion Beweis.

Insgesamt gilt also:

Ableitung e-Funktion Beweis 3
Abbildung3. - Thema: Ableitung e-Funktion Beweis.
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Aufgabenblätter zum Thema Analysis — Exponential- &Logarithmusfunktionen — Die E-Funktion

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  6. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

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