Gauß Verfahren in Gleichungssystemen – online lernen

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Gleichungssysteme lösen – 3x3

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren: Eine Zeile wird übertragen. Durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen die gleiche Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable, bis man Dreiecksform erreicht hat.

Gleichungssysteme loesen 1
Abbildung1. - Thema: Gleichungssysteme loesen.

Aus der letzten Zeile bestimmt man x3, das man in der vorletzten Zeile einsetzt um x2 zu bekommen. x2 und x3, eingesetzt in die erste Zeile, ergeben x1. Die Lösung gibt man als Vektor oder mithilfe der Lösungsmenge an:

Gleichungssysteme loesen 2
Abbildung2. - Thema: Gleichungssysteme loesen.

Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Löse die linearen Gleichungssysteme:

Gleichungssysteme loesen 3
Abbildung3. - Thema: Gleichungssysteme loesen.
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Die Bernoulli-Kette

Die Formel von Bernoulli oder Bernoulli-Kette ist ein Hilfsmittel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Die Voraussetzung für ihre Benutzung ist ein Zufallsexperiment, bei dem sich während des Experiments die Trefferwahrscheinlichkeit, also die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bei einer Durchführung, nicht ändert (Ziehen mit Zurücklegen).

Die Formel lautet:

Bernoullikette 1
Abbildung1. - Thema: Bernoullikette.
  • n bezeichnet die Länge der Kette, also die Anzahl der Versuche. „Wie oft wird das Experiment durchgeführt?“
  • k bestimmt die Anzahl der Erfolge. „Wie oft glückt das Experiment?“
  • p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit oder auch Trefferwahrscheinlichkeit.
  • das Experiment bei n Durchführungen k-fach, bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p, glückt?“
  • (nk)bezeichnet den sogenannten Binomialkoeffizienten. Er gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass bei einer Anzahl von n Durchführungen k Treffer erzielt werden.
  • pk ist die Erfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Anzahl der Erfolge.
  • (1-p)n-k ist die Misserfolgswahrscheinlichkeit. Diese folgt daraus, dass von n Versuchen das Experiment nur k mal Erfolg hat. Die restlichen Versuche sind damit Misserfolge.

Beispiel 1)

Ein Würfel wird 4-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dabei 3-mal die 6 zu würfeln?

Bernoullikette 2
Abbildung2. - Thema: Bernoullikette.
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Gaußverfahren

Lineare Gleichungssysteme (LGS) löst man mit dem Gauß-Verfahren:

Eine Zeile wird übertragen und durch sogenannte elementare Zeilenumformungen eliminiert man aus zwei Zeilen dieselbe Variable. Anschließend eliminiert man mit den zwei neuen Zeilen eine weitere Variable bis man eine Dreiecksform erreicht hat.

Gaussverfahren 1
Abbildung1. - Thema: Gaussverfahren.

Bei mehr Gleichungen bzw. mehreren Variablen benötigt man entsprechend mehr Schritte. Dennoch versucht man untere Dreiecksform zu erhalten, um durch Rückwärtseinsetzen die Lösungen zu erhalten. Entsteht durch Umformung eine falsche Aussage, so ist das LGS nicht lösbar. Entsteht eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen.

Beispielaufgabe:

Gaussverfahren 2
Abbildung2. - Thema: Gaussverfahren.
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Bisher hast du gelernt, wie man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen löst. Das funktioniert aber auch mit drei oder mehr Gleichungen und Variablen..
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