Abiturprüfung – Analysis – online lernen

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Analysis — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Hier findest du Materialen zur Vorbereitung auf deine Abiturprüfung.

Wiki zum Thema Analysis — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

Ableitung – Produktregel

Funktionen, die aus einem Produkt bestehen, dürfen nicht gliedweise abgeleitet werden – hier benötigt man die Produktregel.

Ist f (x) = u(x) . v(x), dann gilt für die Ableitung:

Beweis:

Sei f (x) = u(x) . v(x) gegeben, müssen wir den Differentialquotienten hernehmen und versuchen, einen Ausdruck zu erhalten, den wir kennen.

Geschickt ausklammern und zusammenfassen:

Beispiel 1) Bestimme die Ableitung.

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Ableitung – Kettenregel

Verkettungen von Funktionen werden nach der Kettenregel abgeleitet. Ist f also eine verkettete Funktion f (x) = u(v(x)), dann gilt:

f'(x) = u'(v(x)) . v'(x)

Merkregel: außen ableiten; innen stehen lassen; mit der inneren Ableitung multiplizieren.

Beweis:

Kettenregel 1
Abbildung1. - Thema: Kettenregel.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme die Ableitung.

Kettenregel 2
Abbildung2. - Thema: Kettenregel.
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Ableitung – Quotientenregel

Besteht eine Funktion aus einem Quotienten zweier Funktionen, so bildet sich die Ableitung mittels der Quotientenregel:

Beweis:

Wir benutzen die Ketten- und Produktregel.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme die Ableitung.

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Integral: Ober– und Untersumme

Gegeben sei eine stetige Funktion f mit vorerst f (x) ≥ 0. Ziel ist es die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x–Achse auf einem vorgegebenen Intervall [a;b] zu berechnen.

Dazu zerleget man das Intervall in n äquidistante (gleichbreite) Teilstücke und berechnet den Flächeninhalt von Rechtecken, die einmal unterhalb des Graphen und einmal oberhalb des Graphen eingepasst werden.

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Orientierte Flächeninhalte

Bei der Berechnung von Flächen zwischen einem Graphen und der x-Achse kann es vorkommen, dass die Fläche unterhalb der x-Achse verläuft. Solche Flächen werden beim Integral mit einem negativen Vorzeichen versehen. Selbstverständlich gibt es keine negativen Flächeninhalte. Deshalb spricht man von Orientierten Flächeninhalten.

Skizze:

Befindet sich die eingeschlossene Fläche sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse, treten Auslöschungseffekte auf. Möchte man den Flächeninhalt berechnen, so muss man das Integral in den Teil der Fläche, der oberhalb der x-Achse verläuft, und den Teil der Fläche, der unterhalb verläuft, aufteilen.

Beispiel 1) Berechne die markierten Flächeninhalte.

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Integrale und Stammfunktionen

Integrale kann man mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) bestimmen:

Hauptsatz der Integralrechnung 1
Abbildung1. - Thema: Hauptsatz der Integralrechnung.

D.h. man berechnet den Wert dieses bestimmten Integrals, indem man eine Stammfunktion bildet und die Differenz der Stammfunktion an der oberen Grenze und der Stammfunktion an der unteren Grenze berechnet.

Bei Potenzfunktionen findet man eine Stammfunktion mit folgender Regel:

Hauptsatz der Integralrechnung 2
Abbildung2. - Thema: Hauptsatz der Integralrechnung.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Berechne folgende Integrale:

Hauptsatz der Integralrechnung 3
Abbildung3. - Thema: Hauptsatz der Integralrechnung.
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Volumen von Rotationskörpern, Rotation um x-Achse

Skizze:

Beispielaufgabe:

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Volumen von Rotationskörpern, Rotation um y-Achse

Bei der Rotation des Graphen einer Funktion f um die y–Achse auf dem Intervall [a;b]; a < b, können wir das Volumen des entstehenden Körpers mit folgender Formel berechnen:

Skizze:

Beispielaufgabe:

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Integral – Sachaufgaben

Beliebte Anwendungsaufgaben bei Integralen sind Aufgaben, bei denen eine Änderungsrate (z.B. Zufluss, Abfluss, Geschwindigkeit, Schneefallrate,...) gegeben ist.

Möchte man die absolute Größe erhalten, so muss man integrieren.

Beispiel 1)     f mit f(t) =-20t3 +60t2 gibt die Niederschlagsrate während eines 3 Stunden andauernden Gewitters wieder(t: Zeit in Stunden, f(t) in l /m2h).

Wie viele l /m2 sind in einer Dreiviertelstunde gefallen? Wie viele in den ersten 2 Stunden?

Integral Sachaufgaben 1
Abbildung1. - Thema: Integral Sachaufgaben.
Integral Sachaufgaben 2
Abbildung2. - Thema: Integral Sachaufgaben.
Integral Sachaufgaben 3
Abbildung3. - Thema: Integral Sachaufgaben.
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Wichtige Integrale

Einige wichtige Integrale:

Besondere bzw. wichtige Integrale 1
Abbildung1. - Thema: Besondere bzw. wichtige Integrale.

Beispielaufgabe:

Besondere bzw. wichtige Integrale 2
Abbildung2. - Thema: Besondere bzw. wichtige Integrale.
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Integration der Exponentialfunktion

Für die natürliche Exponentialfunktion ex gilt:

Integration der Exponentialfunktion 1
Abbildung1. - Thema: Integration der Exponentialfunktion.
Integration der Exponentialfunktion 2
Abbildung2. - Thema: Integration der Exponentialfunktion.

Beispielaufgaben:

Beispiel 1)     Bestimme eine Stammfunktion von f, g und h.

Integration der Exponentialfunktion 3
Abbildung3. - Thema: Integration der Exponentialfunktion.
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Partielle Integration

Die partielle Integration ermöglicht es, bestimmte Produkte zu integrieren. Es gilt für stetige Funktionen f und g im Intervall [a;b]:

Kennt man also eine Stammfunktion von f oder g und kann man das Integral auf der rechten Seite bestimmen, so kann man auch das Produkt integrieren.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Berechne mithilfe partieller Integration.

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Partialbruchzerlegung (PBZ)

Wir haben eine gebrochenrationale Funktion gegeben, bei der der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Ziel ist es, einen Ansatz zu finden, der f in eine Summe zerlegt, die wir integrieren können.

  1. Bestimmung der Nullstellen xi des Nennerpolynoms q(x).
  2. Ist die Nullstelle xi einfach, erhält der Ansatz den Summanden ist die Nullstelle xi n-fach: A1
  3. Ansatz mit der Funktion gleichsetzen; mit dem Nennerpolynom durchmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich durchführen.
  4. Integration der Zerlegungsfunktion.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Berechne

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Die natürliche Exponentialfunktion

Die Funktion f (x) = ex, mit der Eulerschen Zahl e ≈ 2,718, heißt natürliche Exponentialfunktion oder auch e-Funktion.

E-Funktion Eigenschaften 1
Abbildung1. - Thema: E-Funktion Eigenschaften.

Obige Eigenschaften bedeuten:

  • Alle reellen Zahlen dürfen eingesetzt werden.
  • f (x) > 0: f hat keine Nullstelle; ist immer positiv
  • f ′(x) > 0: f ′ hat keine Nullstelle; ist immer positiv
  • f″(x) > 0: f″hat keine Nullstelle; ist immer positiv
  • Wenn x größer wird, wird f (x) größer. Wird x kleiner, geht f (x) gegen 0.
  • Der Punkt (0 | 1) liegt auf dem Graphen von f .
  • Ableitungen und mögliche Stammfunktionen bleiben ex.
  • f (g(x)) = eln(x) = x, g(f (x)) = ln (ex) = x
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Variation der e-Funktion

Die Graphen folgender Exponentialfunktionen sollte man auswendig kennen.

Skizze:

eFunktion Spiegelung 1
Abbildung1. - Thema: eFunktion Spiegelung.

Die allgemeine Darstellung enthält mehrere Konstanten:

eFunktion Spiegelung 2
Abbildung2. - Thema: eFunktion Spiegelung.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)   Beschreibe, wie die Graphen von g und h aus dem Graphen von

f mit f(x)=exentstehen.    g(x) = ex-2 - 1,    h(x) = 3e-x + 1

eFunktion Spiegelung 3
Abbildung3. - Thema: eFunktion Spiegelung.
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Funktionsuntersuchung e-Funktion

Die speziellen Eigenschaften der e-Funktion machen eine Kurvendiskussion an vielen Stellen einfacher.

Beispiel 1)    Untersuche die Funktion f mit f (x) = 2e-x-1 auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und linksgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

eFunktion Untersuchung 1
Abbildung1. - Thema: eFunktion Untersuchung.
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Ableitung der e-Funktion, Beispiele

Unter Berücksichtigung von f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex und der Kettenregeln, können wir auch die allgemeine Exponentialfunktion

Ableitung e-Funktion Beispiel 1
Abbildung1. - Thema: Ableitung e-Funktion Beispiel.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

Ableitung e-Funktion Beispiel 2
Abbildung2. - Thema: Ableitung e-Funktion Beispiel.
Ableitung e-Funktion Beispiel 3
Abbildung3. - Thema: Ableitung e-Funktion Beispiel.
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Ableitung der e-Funktion, Beweis

Für die e–Funktion gilt:

Ableitung e-Funktion Beweis 1
Abbildung1. - Thema: Ableitung e-Funktion Beweis.

Sie ist die einzig interessante Funktion, die beim Ableiten gleich bleibt.

Zum Beweis erinnern wir uns an die Definition der Zahl e und schauen kurz in den Differenzialquotienten:

Ableitung e-Funktion Beweis 2
Abbildung2. - Thema: Ableitung e-Funktion Beweis.

Insgesamt gilt also:

Ableitung e-Funktion Beweis 3
Abbildung3. - Thema: Ableitung e-Funktion Beweis.
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Variation von ln(x)

Die Graphen folgender ln-Funktionen sollte man auswendig kennen.

Skizze:

Logarithmusfunktion Spiegelungen 1
Abbildung1. - Thema: Logarithmusfunktion Spiegelungen.

Weitere Konstanten bewirken Streckungen oder Verschiebungen:

f (x) = a  ln(b(x -c))+ d

wobei diese hier so gewählt werden müssen, dass b(x - c) > 0 gilt.

Beispiel 1) Skizziere die Graphen von g und h und beschreibe, wie sie aus dem Graphen von f (x) = ln(x) entstehen.

g(x) = ln(2x) + 1; Logarithmusfunktion Spiegelungen 2

Abbildung2. - Thema: Logarithmusfunktion Spiegelungen.
Logarithmusfunktion Spiegelungen 3
Abbildung3. - Thema: Logarithmusfunktion Spiegelungen.
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Funktionsuntersuchung ln(x)

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Untersuche die Funktion f mit f(x) = 1 5·ln(3-x) auf Achsenschnittpunkte, Extrempunkte, Wendepunkte und Globalverhalten. Zeige, dass f monoton fallend und rechtsgekrümmt ist. Fertige eine Skizze an.

Funktionsuntersuchung 1
Abbildung1. - Thema: Funktionsuntersuchung.
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Ableitung der e-Funktion, Beispiele

Ableitung der E-Funktion 1
Abbildung1. - Thema: Ableitung der E-Funktion.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

Ableitung der E-Funktion 2
Abbildung2. - Thema: Ableitung der E-Funktion.
Ableitung der E-Funktion 3
Abbildung3. - Thema: Ableitung der E-Funktion.
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e-Funktionsscharen

Eine Funktionsschar erhält man, wenn bei einer Funktion eine zusätzliche Unbekannte (z.B. k, t, a, . . .), der Parameter, enthalten ist. Funktionsuntersuchungen an der Schar folgen den gleichen Regeln wie bei Funktionen. Man behandelt den Parameter als feste Zahl.

Beispiel 1)     Gegeben ist ft mit ft(x)=(x-t) . e-x, t∈R

Bestimme die Anzahl der Null- und Extremstellen in Abhängigkeit von t.

Bestimme t so, dass das Schaubild von ft durch (-1 | 2e ) verläuft.

e Funktionsscharen 1
Abbildung1. - Thema: e Funktionsscharen.
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Ortskurve

Die Ortskurve einer Funktionenschar ist eine Kurve, die durch spezielle Punkte (Extrempunkte, Wendepunkte) der Graphen der Schar verläuft. In der Skizze ist die Ortskurve durch die Tiefpunkte einer Funktionenschar dargestellt.

Skizze:

Man bestimmt die Ortskurve, indem man die Koordinaten des benannten Punktes in Abängigkeit des Parameters bestimmt. Anschließend löst man die x–Koordinate nach dem Parameter auf und setzt sie in den y–Wert ein.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Bestimme die Ortskurve durch die Tiefpunkte von

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Funktionsscharen – Sachaufgaben

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Für k <0 stellt die Funktionsschar fk mit

Funktionsscharen Sachaufgaben 1
Abbildung1. - Thema: Funktionsscharen Sachaufgaben.

die Fontänen eines Springbrunnens dar. k hängt dabei vom Wasserdruck ab. Der Springbrunnen ist kreisförmig (r = 7m) und die Fontänen starten 1m von der Mitte des Brunnens (y-Achse) entfernt.

Wie muss k gewählt werden, sodass die Fontäne höchstens 1m vom Rand des Brunnens entfernt auftritt? Wie hoch ist dann der höchste Punkt der Fontäne?

Zur Reinigung der Düsen wird der Brunnen mit Überdruck betrieben, sodass das Wasser 25m hoch spritzt. Wie weit vom Rand des Brunnens entfernt, trifft es auf den Boden?

Für welches k ist der höchste Punkt genau über dem Rand des Brunnens?

Funktionsscharen Sachaufgaben 2
Abbildung2. - Thema: Funktionsscharen Sachaufgaben.
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Definitionslücken

Definitionsluecken 1
Abbildung1. - Thema: Definitionsluecken.

xi Definitionslücke ) ⇒ q(xi) = 0

Man findet sie, indem man den Nenner Null setzt. Es gibt zwei Arten von Definitionslücken: hebbare Definitionslücken und Polstellen.

Bei einer hebbaren Lücke xi ist zusätzlich zum Nenner auch der Zähler 0 und die Lücke wird zum „Loch“. Bei einer Polstelle xi ist der Zähler ungleich 0.

Skizze:

Definitionsluecken 2
Abbildung2. - Thema: Definitionsluecken.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Bestimme die Definitionslücken und die Art bei f und g.

Definitionsluecken 3
Abbildung3. - Thema: Definitionsluecken.
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Gebrochenrationale Funktionen – Globalverlauf, Asymptoten

Eine gebrochenrationale Funktion f ist eine Funktion, die sich als Quotient zweier Polynome p, q schreiben lässt.

Globalverlauf Asymptoten 1
Abbildung1. - Thema: Globalverlauf Asymptoten.

n und m stehen dabei für den Zähler- bzw. Nennergrad.

n und m entscheiden über das Globalverhalten der gebrochenrationalen Funktion. Es gilt:

Globalverlauf Asymptoten 2
Abbildung2. - Thema: Globalverlauf Asymptoten.

Beispielaufgabe:

Globalverlauf Asymptoten 3
Abbildung3. - Thema: Globalverlauf Asymptoten.
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Aufgabenblätter zum Thema Analysis — Abiturvorbereitung — Abiturprüfung

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  1. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

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