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Systeme linearer Gleichungen — Lösungsverfahren

Du hast zwei Gleichungen und möchtest prüfen, ob diese einen gemeinsamen Schnittpunkt haben? Dies kannst du mit den verschiedenen Lösungsverfahren für "Lineare Gleichungssysteme" bewerkstelligen..

Wiki zum Thema Systeme linearer Gleichungen — Lösungsverfahren

Lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen sind die Gleichungen, die oft auch „ganz normale Gleichungen“ genannt werden. Bei ihnen wird die Variable (meistens x) nach dem Zusammenfassen und Sortieren nicht mit sich selbst malgenommen. Man löst sie in der Regel nach dem folgenden Schema:

  • Wenn Klammern vorhanden sind, erst einmal Klammern auflösen.
  • Wenn man Terme zusammenfassen kann, dann zusammenfassen.
  • Terme mit x auf eine Seite vom Gleichheitszeichen sortieren, Terme ohne x auf die andere Seite.
  • Eventuell noch durch den Faktor von x teilen.

Am besten sieht man das an einem Beispiel:

lineare Gleichungen 1
Abbildung1. - Thema: lineare Gleichungen.

Die Lösungsmenge der Gleichung beträgt lineare Gleichungen 2.

Abbildung2. - Thema: lineare Gleichungen.
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Lineare Gleichungssysteme (LGS) – Additionsverfahren

Beim Additionsverfahren wird durch Addition der beiden Gleichungen eine neue Gleichung erzeugt. Die Addition muss so geschehen, dass eine der beiden Variablen dabei verschwindet. Dazu sollte man die beiden Gleichungen übereinander schreiben, und zwar so, dass jeweils gleichartige Terme (die mit x, die mit y und die ohne Variable) übereinanderstehen:

LGS Additionsverfahren 1
Abbildung1. - Thema: LGS Additionsverfahren.

Dann muss man in der Regel die beiden Gleichungen so multiplizieren, dass entweder die x-Terme oder die y-Terme den gleichen Faktor mit verschiedenem Vorzeichen haben:

LGS Additionsverfahren 2
Abbildung2. - Thema: LGS Additionsverfahren.

Nun muss man das Ergebnis in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um die zweite Variable zu berechnen:

LGS Additionsverfahren 3
Abbildung3. - Thema: LGS Additionsverfahren.

Die Lösungsmenge beträgt dann im Beispiel LGS Additionsverfahren 4.

Abbildung4. - Thema: LGS Additionsverfahren.
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Lineare Gleichungssysteme (LGS) – Gleichsetzungsverfahren

Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen (wenn nötig) zuerst so umgeformt, dass eine Seite der Gleichung bei beiden Gleichungen gleich aussieht und eine der Variablen enthält. Dann werden die jeweils anderen Seiten einander gleichgesetzt. Am besten sieht man das an einem Beispiel:

LGS Gleichsetzungsverfahren 1
Abbildung1. - Thema: LGS Gleichsetzungsverfahren.

DieLGS Gleichsetzungsverfahren 2 Seiten sind jetzt gleich und enthalten die x-Variable. Nun kann man

Abbildung2. - Thema: LGS Gleichsetzungsverfahren.
dieLGS Gleichsetzungsverfahren 3 Seiten einander gleichsetzen. Damit erhält man eine Gleichung,
Abbildung3. - Thema: LGS Gleichsetzungsverfahren.
aus der man y berechnen kann:

LGS Gleichsetzungsverfahren 4
Abbildung4. - Thema: LGS Gleichsetzungsverfahren.

Jetzt setzt man das Ergebnis für y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhält x:

LGS Gleichsetzungsverfahren 5
Abbildung5. - Thema: LGS Gleichsetzungsverfahren.

Die Lösungsmenge beträgt dann im Beispiel LGS Gleichsetzungsverfahren 6.

Abbildung6. - Thema: LGS Gleichsetzungsverfahren.
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Lineare Gleichungssysteme (LGS) – Einsetzungsverfahren

Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen auf eine der Variablen umgestellt. Der erhaltene Ausdruck wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. Damit erhält man eine Gleichung, die nur noch eine Variable enthält, die man dann berechnen kann.

LGS Einsetzungsverfahren 1
Abbildung1. - Thema: LGS Einsetzungsverfahren.

Der eingekreiste Teil kann jetzt für das x in die andere Gleichung eingesetzt werden:

LGS Einsetzungsverfahren 2
Abbildung2. - Thema: LGS Einsetzungsverfahren.

Jetzt setzt man das Ergebnis für y in eine der ursprünglichen Gleichungen ein und erhält x:

LGS Einsetzungsverfahren 3
Abbildung3. - Thema: LGS Einsetzungsverfahren.

Die Lösungsmenge beträgt dann im Beispiel LGS Einsetzungsverfahren 4.

Abbildung4. - Thema: LGS Einsetzungsverfahren.
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Aufgabenblätter zum Thema Systeme linearer Gleichungen — Lösungsverfahren

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  6. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

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