Urnenmodell – online lernen

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Mehrstufige Zufallsexperimente — Urnenmodell

Stelle dir vor du bist auf einem Rummelplatz. Dort gibt es ein Spiel, bei dem du Kugeln ziehen kannst und dann Gewinne erhältst. Da du aber wissen willst, wie groß die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist, kannst du das nun mit Hilfe des Urnenmodells berechnen..

Wiki zum Thema Mehrstufige Zufallsexperimente — Urnenmodell

Mehrstufige Zufallsexperimente

Als mehrstufiges Zufallsexperiment bezeichnet man im Allgemeinen das nacheinander mehrfache Ausführen von Zufallsexperimenten, die zu einem einzigen Zufallsexperiment zusammengefasst werden.

So könnte man beispielsweise einen Münzwurf mehrfach hintereinander ausführen und sich dann fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für eine bestimme Konstellation ist.

Ausgehend von einem 3 -fachen Münzwuf, muss man zunächst einige Vorüberlegungen treffen:

  • Was sind die Ergebnisse dieses Experiments?
  • Was sind die Ereignisse dieses Experiments?

Möchte man nun die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses angeben, so muss man sich klarmachen, dass es sich hier noch immer um einen Laplace-Raum handelt.

Der Münzwurf ist ein Laplace Experiment, also haben Kopf und Zahl bei jedem der drei Würfe die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich 0,5 bzw. ½ .

Zur Bestimmung derWahrscheinlichkeit eines der Ergebnisse dieses Raumes betrachtet man also entweder das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten der drei Münzwürfe, was bei allen Ergebnissen Ei zu P(Ei ) = 0,53 = 0,125 führt, oder aber man nutzt die Formel für die Wahrscheinlichkeit in Laplace-

Räumen:

Hier also:

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Urnenmodell I Geordnetes Ziehen mit Zurucklegen

Anschaulich: Es sind n Kugeln in der Urne, also gibt es beim ersten Zug n Moglichkeiten. Beim zweiten Zug (die Kugel wurde zuruckgelegt) sind es wieder n Moglichkeiten, usw. bis zum k-ten Zug, daher gibt es nk Moglichkeiten.

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, mit den Zahlen von 0 bis 9 eine 4-stellige Vorwahl zu entwickeln?

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Urnenmodell II Geordnetes Ziehen ohne Zurücklegen

Fur die Anzahl der Moglichkeiten k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt (es also z.B. wichtig ist, ob erst blau und dann rot gezogen wird oder umgekehrt), eine gezogene Kugel aber nicht wieder gezogen werden kann, also nicht zurückgelegt wird, gilt:

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, die Buchstaben SPORT anzuordnen?

Voruberlegung: Da SPORT funf verschiedene Buchstaben beinhaltet, gilt: n = 5. Da das Wort auch 5 Buchstaben lang ist, gilt auch k = 5.

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Urnenmodell III Ungeordnetes Ziehen ohne Zurucklegen

MI I I ergibt sich sehr einfach aus MI I . Der einzige Unterschied ist die Berucksichtigung der Ziehungsreihenfolge. Jedes Element aus MI I I ist daher k!-mal in MI I enthalten, namlich in all seinen moglichen Permutationen (Vertauschungen). Das heibt, die k! vielen Permutationen mussen ’herausdividiert’ werden.

Beispiel 1) Auf 15 Personen werden 3 Karten fur das Kino verteilt. Auf wie viele Arten konnen die Karten verteilt werden, wenn jeder hochstens eine Karte erhält und sich die Karten auf nicht nummerierte Sitzplätze beziehen?

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Urnenmodell IV Ungeordnetes Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel 1) In einer Bäckerei werden vier verschiedene Kuchensorten, die in ausreichender Menge vorhanden sind (daher mit Zurücklegen), verkauft. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn man sieben Stücke kaufen möchte?

Vorüberlegung: Es gibt vier Kuchensorten, daher gilt n = 4; sieben Stücke sollen gekauft werden, also folgt k = 7.

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Urnenmodelle - ein erster Einblick

Oft ist es in der Stochastik nötig, Kardinalitäten (Mächtigkeiten) von Mengen zu betrachten, oft als Anzahl von Möglichkeiten.

Erklärung: Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment. Man stellt sich eine Urne vor, in der Kugeln liegen. Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, und alle Kugeln sind voneinander unterscheidbar. Davon ausgehend, dass in der Urne n (eine beliebige Menge) Kugeln liegen, von denen man k (wiederum eine beliebige Menge, die aber nicht größer sein darf als n) zieht, gibt es nun einige Dinge, die variieren können.

1. Die Verfahren, mit denen gezogen wird, sind:

  • a) nach jedem Zug wird die Kugel zurückgelegt.
  • b) die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.

2. die Betrachtung der Ziehungsergebnisse:

  • a) die Ziehungsreihenfolge soll für das Ziehungsergebnis berücksichtigt werden.
  • b) die Ziehungsreihenfolge spielt für das Ziehungsergebnis keine Rolle.

Die Mengen, welche alle möglichen Ziehungsergebnisse enthalten, nennen wir MI , MI I , MI I I , und MIV nach folgendem Schema:

Jedes dieser möglichen Modelle hat ein eigenes Wiki mit entsprechendem Namen.

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Aufgabenblätter zum Thema Mehrstufige Zufallsexperimente — Urnenmodell

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  1. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  2. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  3. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

  4. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

  5. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

  6. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

Urnenmodell – Wir machen euch fit für die nächsten Prüfungen. Behandelt werden Themen, die für jeden von Interesse sind. Mit dem Online-LernCenter zum Erfolg.