Baumdiagramm Aufgaben – online lernen

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Mehrstufige Zufallsexperimente — Baumdiagramme

Du kannst bestimmt Bäume zeichnen. Dabei entstehen immer mehr Abzweigungen und Äste. Dies kannst du auch für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten benutzen..

Wiki zum Thema Mehrstufige Zufallsexperimente — Baumdiagramme

Baumdiagramme

Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines mehrstufigen Zufallsversuchs finden, so eignen sich Baumdiagramme sehr gut.

Als Beispiel betrachten wir das 3-malige Werfen einer Münze. Im Diagramm steht k für Kopf und z für Zahl. Die Zahlen im Diagramm beschreiben jeweils die Wahrscheinlichkeit.

Baumdiagramme Unterstufe 1
Abbildung1. - Thema: Baumdiagramme Unterstufe.

Folgt man einem der Pfade (seltener Äste) des Baumdiagramms, so erhält man am Ende immer einen möglichen Ausgang des Experiments. Außerdem erhält man die dazugehörige Wahrscheinlichkeit des Ausgangs.

Hier gilt es zwei Regeln zu merken, die sogenannten Pfadregeln.

  • Pfadmultiplikationsregel: Diese Regel liefert die Wahrscheinlichkeit eines Ausgangs und lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ausgangs in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.
  • Pfadadditionsregel: Diese Regel gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass einer von mehreren erlaubten Ausgängen eintritt. Sie lautet: Die Wahrscheinlichkeit mehrerer Ausgänge in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller erlaubten Ausgänge.
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Baumdiagramme

Mehrstufige Wahrscheinlichkeitsexperimente lassen sich besonders gut mit Hilfe von Baumdiagrammen darstellen.

Zunächst wollen wir uns den bereits bekannten 3-fachen Münzwurf anschauen.

Ein zugehöriges Baumdiagramm, kann z. B. so aussehen: k

Baumdiagramme 1
Abbildung1. - Thema: Baumdiagramme.

Folgt man einem der Pfade (seltener Äste) des Baumdiagramms, so gelangt man letztendlich zu einem der Ergebnisse des Wahrscheinlichkeitsraumes, samt der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

Möchte man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses angeben, so muss die Wahrscheinlichkeit der zugehörigen Ergebnisse addiert werden.

Hier sollte man sich zwei Regeln merken, die sogenannten Pfadregeln.

  • Pfadmultiplikationsregel: Diese Regel liefert die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses und lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.
  • Pfadadditionsregel: Diese Regel gibt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an, sie lautet: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu diesem Ereignis gehörenden Pfade (Ergebnisse).
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Urnenmodell I Geordnetes Ziehen mit Zurucklegen

Anschaulich: Es sind n Kugeln in der Urne, also gibt es beim ersten Zug n Moglichkeiten. Beim zweiten Zug (die Kugel wurde zuruckgelegt) sind es wieder n Moglichkeiten, usw. bis zum k-ten Zug, daher gibt es nk Moglichkeiten.

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, mit den Zahlen von 0 bis 9 eine 4-stellige Vorwahl zu entwickeln?

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Urnenmodell II Geordnetes Ziehen ohne Zurücklegen

Fur die Anzahl der Moglichkeiten k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt (es also z.B. wichtig ist, ob erst blau und dann rot gezogen wird oder umgekehrt), eine gezogene Kugel aber nicht wieder gezogen werden kann, also nicht zurückgelegt wird, gilt:

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, die Buchstaben SPORT anzuordnen?

Voruberlegung: Da SPORT funf verschiedene Buchstaben beinhaltet, gilt: n = 5. Da das Wort auch 5 Buchstaben lang ist, gilt auch k = 5.

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Urnenmodell III Ungeordnetes Ziehen ohne Zurucklegen

MI I I ergibt sich sehr einfach aus MI I . Der einzige Unterschied ist die Berucksichtigung der Ziehungsreihenfolge. Jedes Element aus MI I I ist daher k!-mal in MI I enthalten, namlich in all seinen moglichen Permutationen (Vertauschungen). Das heibt, die k! vielen Permutationen mussen ’herausdividiert’ werden.

Beispiel 1) Auf 15 Personen werden 3 Karten fur das Kino verteilt. Auf wie viele Arten konnen die Karten verteilt werden, wenn jeder hochstens eine Karte erhält und sich die Karten auf nicht nummerierte Sitzplätze beziehen?

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Urnenmodell IV Ungeordnetes Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel 1) In einer Bäckerei werden vier verschiedene Kuchensorten, die in ausreichender Menge vorhanden sind (daher mit Zurücklegen), verkauft. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn man sieben Stücke kaufen möchte?

Vorüberlegung: Es gibt vier Kuchensorten, daher gilt n = 4; sieben Stücke sollen gekauft werden, also folgt k = 7.

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Urnenmodelle - ein erster Einblick

Oft ist es in der Stochastik nötig, Kardinalitäten (Mächtigkeiten) von Mengen zu betrachten, oft als Anzahl von Möglichkeiten.

Erklärung: Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment. Man stellt sich eine Urne vor, in der Kugeln liegen. Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, und alle Kugeln sind voneinander unterscheidbar. Davon ausgehend, dass in der Urne n (eine beliebige Menge) Kugeln liegen, von denen man k (wiederum eine beliebige Menge, die aber nicht größer sein darf als n) zieht, gibt es nun einige Dinge, die variieren können.

1. Die Verfahren, mit denen gezogen wird, sind:

  • a) nach jedem Zug wird die Kugel zurückgelegt.
  • b) die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.

2. die Betrachtung der Ziehungsergebnisse:

  • a) die Ziehungsreihenfolge soll für das Ziehungsergebnis berücksichtigt werden.
  • b) die Ziehungsreihenfolge spielt für das Ziehungsergebnis keine Rolle.

Die Mengen, welche alle möglichen Ziehungsergebnisse enthalten, nennen wir MI , MI I , MI I I , und MIV nach folgendem Schema:

Jedes dieser möglichen Modelle hat ein eigenes Wiki mit entsprechendem Namen.

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Mehrstufige nicht-Laplace-Experimente in Baumdiagrammen

Hier soll nochmal ein Wahrscheinlichkeitsexperiment mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in einer mehrstufigen Variante betrachtet und per Baumdiagramm nachvollzogen werden.

Beispiel 1)     Ausgehend von einer Klasse mit 30 Kindern (18 Mädchen, 12 Jungen), ruft der Lehrer nacheinander drei (Wiederholungen möglich) Kinder an die Tafel, wobei jedes Kind die gleiche Chance hat dran zu kommen. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass:

  • Genau 2 Jungen an die Tafel müssen.
  • Es mindestens 2 Mädchen trifft.
    • Vorüberlegung: Ein mögliches Baumdiagramm könnte so aussehen.

      Die türkisen Ergebnisse sind hierbei für a) relevant, die roten für b). Die Pfadadditionsregel liefert:

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Aufgabenblätter zum Thema Mehrstufige Zufallsexperimente — Baumdiagramme

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  1. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  2. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  3. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

  4. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

  5. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

  6. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

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