Die erste binomische Formel

Die binomischen Formeln sind eine Verkürzung der Multiplikation von zwei Klammertermen.

Die erste binomische Formel lautet allgemein:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dies sieht man folgendermaßen:

(a + b)² = (a + b).(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Beispiel 1)    Berechne (x + 3)².

Beispiel 2)    Berechne (4x + 7y)².

Die zweite binomische Formel

Die binomischen Formeln sind eine Verkürzung der Multiplikation von zwei Klammertermen.

Die zweite binomische Formel lautet allgemein:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Dies sieht man folgendermaßen:

(a - b)² = (a - b)^.(a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

Beispiel 1)    Berechne (x - 5)².

Beispiel 2) Berechne (4x - 7y)².

Die dritte binomische Formel

Die binomischen Formeln sind eine Verkürzung der Multiplikation von zwei Klammertermen.

Die dritte binomische Formel lautet allgemein:

(a + b^.(a - b) = a² + b²

Dies sieht man folgendermaßen:

(a + b)^.(a - b) = a² + ab - ab + b² = a² - b²

Man erkennt, dass die beiden mittleren Glieder wegfallen.

Beispiel 1)    Berechne (2x + 9y)(2x - 9y).

Beispiel 2)    Berechne (x - 4)(x + 4).

Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck zeigt auf, wie die Koeffizienten der ausmultiplizierten ersten binomischen Formel höheren Grades bestimmt werden können. Man kennt die Schreibweise für die erste binomische Formel zweiten Grades, aber man kann auch binomische Formeln dritten, vierten etc. Grades bestimmen.

Dies kann mithilfe des Pascal’schen Dreiecks bestimmt werden:

Die Zahlen in der nächsten Zeile erhält man durch Addition der beiden Zahlen darüber.

So gilt für die vierte Zeile „1331“:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Ausführliche Rechnung:

(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Für die fünfte Zeile „14641“:

(a + b)⁵ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks kann man jede erste binomische Formel bestimmen.