Kombinatorik üben Klasse 10 – online lernen

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  Wiki zum Thema Kombinatorik — Kombinatorik

Fakultäten

Die Fakultät, seltener Faktorielle genannt, bezeichnet eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu eben dieser zuordnet.

Man schreibt für die Fakultät einer natürlichen Zahl n: n!

Dabei gilt: n!=1·2·3·····n

Beispiel 1) Wie lauten die Fakultäten von

Fakultaeten 1
Abbildung1. - Thema: Fakultaeten.
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Urnenmodell I Geordnetes Ziehen mit Zurucklegen

Anschaulich: Es sind n Kugeln in der Urne, also gibt es beim ersten Zug n Moglichkeiten. Beim zweiten Zug (die Kugel wurde zuruckgelegt) sind es wieder n Moglichkeiten, usw. bis zum k-ten Zug, daher gibt es nk Moglichkeiten.

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, mit den Zahlen von 0 bis 9 eine 4-stellige Vorwahl zu entwickeln?

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Urnenmodell II Geordnetes Ziehen ohne Zurücklegen

Fur die Anzahl der Moglichkeiten k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt (es also z.B. wichtig ist, ob erst blau und dann rot gezogen wird oder umgekehrt), eine gezogene Kugel aber nicht wieder gezogen werden kann, also nicht zurückgelegt wird, gilt:

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, die Buchstaben SPORT anzuordnen?

Voruberlegung: Da SPORT funf verschiedene Buchstaben beinhaltet, gilt: n = 5. Da das Wort auch 5 Buchstaben lang ist, gilt auch k = 5.

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Urnenmodell III Ungeordnetes Ziehen ohne Zurucklegen

MI I I ergibt sich sehr einfach aus MI I . Der einzige Unterschied ist die Berucksichtigung der Ziehungsreihenfolge. Jedes Element aus MI I I ist daher k!-mal in MI I enthalten, namlich in all seinen moglichen Permutationen (Vertauschungen). Das heibt, die k! vielen Permutationen mussen ’herausdividiert’ werden.

Beispiel 1) Auf 15 Personen werden 3 Karten fur das Kino verteilt. Auf wie viele Arten konnen die Karten verteilt werden, wenn jeder hochstens eine Karte erhält und sich die Karten auf nicht nummerierte Sitzplätze beziehen?

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Urnenmodell IV Ungeordnetes Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel 1) In einer Bäckerei werden vier verschiedene Kuchensorten, die in ausreichender Menge vorhanden sind (daher mit Zurücklegen), verkauft. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn man sieben Stücke kaufen möchte?

Vorüberlegung: Es gibt vier Kuchensorten, daher gilt n = 4; sieben Stücke sollen gekauft werden, also folgt k = 7.

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Urnenmodelle - ein erster Einblick

Oft ist es in der Stochastik nötig, Kardinalitäten (Mächtigkeiten) von Mengen zu betrachten, oft als Anzahl von Möglichkeiten.

Erklärung: Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment. Man stellt sich eine Urne vor, in der Kugeln liegen. Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, und alle Kugeln sind voneinander unterscheidbar. Davon ausgehend, dass in der Urne n (eine beliebige Menge) Kugeln liegen, von denen man k (wiederum eine beliebige Menge, die aber nicht größer sein darf als n) zieht, gibt es nun einige Dinge, die variieren können.

1. Die Verfahren, mit denen gezogen wird, sind:

  • a) nach jedem Zug wird die Kugel zurückgelegt.
  • b) die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.

2. die Betrachtung der Ziehungsergebnisse:

  • a) die Ziehungsreihenfolge soll für das Ziehungsergebnis berücksichtigt werden.
  • b) die Ziehungsreihenfolge spielt für das Ziehungsergebnis keine Rolle.

Die Mengen, welche alle möglichen Ziehungsergebnisse enthalten, nennen wir MI , MI I , MI I I , und MIV nach folgendem Schema:

Jedes dieser möglichen Modelle hat ein eigenes Wiki mit entsprechendem Namen.

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Mehrstufig, rechnerisch

Hier soll nochmal ein Wahrscheinlichkeitsexperiment mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in einer mehrstufigen Variante betrachtet und per Baumdiagramm nachvollzogen werden.

Beispiel 1)     Ausgehend von einer Klasse mit 30 Kindern (18 Mädchen, 12 Jungen), ruft der Lehrer nacheinander drei (Wiederholungen möglich) Kindern an die Tafel, wobei jedes Kind die gleiche Chance hat dran zu kommen. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er:

  • Genau 2 Jungen an die Tafel müssen.
  • Es mindestens 2 Mädchen trifft.

Vorüberlegung 1:     Der Ergebnisraum lautet:

Ω = {JJJ ,JJM ,JMJ ,JMM;MJJ ,MJM ,MMJ ,MMM}, wobei nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Aufgrund der Kommutativität der Multiplikation gilt aber, dass alle Ergebnisse mit genau zwei Jungen (2J) gleich wahrscheinlich sind. Gleiches gilt für alle Ergebnisse mit genau zwei Mädchen (2M).

Vorüberlegung 1 Es gilt für die Wahrscheinlichkeiten: P(JJJ ) = 0,064, P(2J ) = 0,096, P(2M) = 0,144 und P({MMM} = 0,216

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  Aufgabenblätter zum Thema Kombinatorik — Kombinatorik

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Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1
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Zu deinem Thema gibt es weitere Lernhilfen

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1 Lernvideos zum Thema Kombinatorik — Kombinatorik

Die Kombinatorik ist ein Zweig der Stochastik, in dem es um kompliziertere Wahrscheinlichkeitsrechnungen geht. Hier wirst du lernen, welche das sind und wie du diese anwendest..
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Thema: Kombinatorik

00:00 Einleitung: Kombinatorik

00:16 Die Notwendigkeit und Unterteilung der Kombinatorik

01:47 Beispiel zu einer einfachen Permutation

02:51 Beispiel zu einer komplizierteren Permutation

03:55Übersicht Kombinationsmöglichkeiten (4-Fälle)

04:25 Formeln zu den 4 Urnenmodellen



Herzlich willkommen! Mein Name ist Kevin und in diesem Video erkläre ich alle wichtigen Formeln aus dem Bereich Kombinatorik.

Worum geht es eigentlich in der Kombinatorik? Um Wahrscheinlichkeiten in der Stochastik zu bestimmen, benötigen wir immer die Gesamtheit aller möglichen Fälle. Dies kann einerseits eine in der Aufgabe schon bekannte Zahl sein, anderseits muss diese Größe erst bestimmt werden. Falls es sich um den letzteren Fall handelt, können wir diesen in drei Unterthemen der Stochastik unterteilen: Die Permutation. Hier geht es darum, die Anzahl aller Möglichkeiten einer festen Menge zwecks ihrer Sortierung herauszufinden. Ein Beispiel, das wir gleich noch genauer beleuchten werden: Die Sitzplatzvergabe am Tisch. Die zweite Art nennt sich Variation. Hier geht es prinzipiell darum, wie viele Möglichkeiten einer geordneten bzw. ungeordneten Unterverteilung einer Teilmenge von N Elementen möglich sind. Ein Beispiel: Eine Anzahl Sportler nimmt an einem Wettbewerb mit Gold-, Silber-, und Bronzeplatzierung teil. Im dritten Bereich geht es generell um Kombinationsmöglichkeiten, die sich faktisch auf das bekannte Urnenmodell beziehen. Grundlegend kann gesagt werden, dass immer die Anzahl aller Möglichkeiten gesucht ist, bei der aus einer N elementigen Menge, k Elemente entzogen werden. Ein Beispiel: Wie oft hört man es klirren, wenn sich 10 Leute einander zuprosten?

Fangen wir nun mit einer Permutationsaufgabe an. An einem Tisch stehen fünf Stühle für fünf Personen. Wie viele Möglichkeiten der Verteilung sind möglich? Die allgemeine Formel für Aufgaben dieser Art ist ziemlich einfach, sie lautet Fakultät n. Falls du nicht mehr weißt, was eine Fakultät ist, dann höre gut zu: Bei der Fakultät werden alle Zahlen bis n aneinander multipliziert. Fakultät 10 lautet beispielweise: 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 8.373.120. Hier in dieser Aufgabe müssen wir natürlich Fakultät 5 berechnen. Das Ergebnis lautet also: 5*4*3*2*1 = 120. Antwort: Für die Verteilung gibt es genau 120 Möglichkeiten. Diese Aufgabe war noch einigermaßen einfach, schauen wir uns doch mal eine etwas kompliziertere an:

Hier lautet die Aufgabe folgendermaßen:Auf wie viele Arten können 20 Kugeln angeordnet werden von denen 7 blau, 10 rot und 3 grün sind?Wir benutzen dieselbe Formel aus der Aufgabe davor, Fakultät n! Da die Gesamtzahl wiederum in 3weiteren Kategorien eingeteilt ist (blau, rot, grün), müssen wir diese durch das Produkt der Teilfakultäten der einzelnen Anordnungen dividieren. So entsteht also diese Formel. In unserem Beispiel müssen wir also rechnen:Fakultät 20 geteilt durch Fakultät 7-mal Fakultät 10-mal Fakultät 3 = 931.170.240 Möglichkeiten. WOW, dabei sind es eigentlich nur 20 Kugeln ?Beachte, dass es sich hier um ungeordnete Kugeln handelt, heißt, dass wir die blauen Kugeln untereinander nicht weiter unterschieden haben.

Kommen wir nun zu den Kombinationsmöglichkeiten.Das tolle an dieser Thematik ist es, dass wir alle Aufgaben dieser Art auf einheitliche Urnenmodelle zurückführen können. Dabei unterscheiden wir folgende Fälle:Ziehung mit zurücklegen. Zum einen mit Beachtung der Reihenfolge, zum anderen ohne Beachtung der Reihenfolge.Analog gelten dieselben Urnenmodelle ohne Zurücklegen. Fangen wir mit diesen direkt an:

Im Fall 1.1 schauen wir uns die Ziehung ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge an.Am besten kannst du dir den Sachverhalt anhand eines klassischen Lottospiels vorstellen, bei dem die korrekt gezogene Zahl in richtiger Reihenfolge zum Hauptgewinn folgt.Wir sagen verallgemeinert: Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln insgesamt k Kugeln und beachtet die Reihenfolge der Ziehung, so gibt es hierfür n Fakultät dividiert durch (n-k) Fak. Möglichkeiten.

In dem zweiten Fall bleiben wir bei der Ziehung ohne Zurücklegen, allerdings schenken wir nun der Reihenfolge Beachtung.Als Beispiel nehmen wir erneut das Lotto-Spiel, allerdings die Variante 6 aus 49. Hierbei geht es darum, so viele Treffer in beliebiger Reihenfolge zu ergattern.Wir können die verallgemeinerte Regel aufstellen: Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln insgesamt k Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge, so gibt es hierfür n über kMöglichkeiten. Die meisten Taschenrechner besitzen diese vereinfachte Funktion, sodass du diesen langen Fakultätsausdruck nicht eintippen brauchst.

Jetzt schauen wir uns den anderen Zweig an, nämlich die Ziehung mit zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge. Ein schönes Beispiel ist ein 8-stelliges Zahlenschloss, bei denen die Ziffern 0 bis 9 vorkommen, also gibt es pro Einrastelement 10 Möglichkeiten. Möchten wir nun die Kombinationsmöglichkeiten bestimmen, rechnen wir 10 hoch 8 = 100.000.000 Möglichkeiten.Allgemein können wir festhalten: Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln k-mal eine Kugel mit Zurücklegen, so gibt es hierfür mit Beachtung der Reihenfolge n hoch k Möglichkeiten.

Zum Abschluss beschäftigen wir uns mit einer Variation, die sehr selten vorkommt: Die Ziehung mit Zurücklegen aber ohne Beachtung der Reihenfolge.Stell dir vor: Aus vier verschiedenen Briefmarkenserien mit ? 2,00-Marken sollen alle Möglichkeiten zusammengestellt werden, mit denen man einen 10 ?-Brief frankieren kann, wobei die Reihenfolge der Marken keine Rolle spielt.Wir berechnen die Anzahl der Möglichkeiten mit dieser Formel:Wir erhalten bei einer Urne mit n Elementen bei k-maligem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (n+k ? 1) über k Arten.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Kombinatorik? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

Nun musst du nur das Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen, kannst aber auch unter der angegebenen Rufnummer direkt Kontakt mit uns aufnehmen.

Wir freuen uns auf dich.

Kombinatorik – Wir machen euch fit für die nächsten Prüfungen. Behandelt werden Themen, die für jeden von Interesse sind. Schulische Erfolge erreichen.