Kombinatorik üben Klasse 10 – online lernen

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Kombinatorik — Kombinatorik

Die Kombinatorik ist ein Zweig der Stochastik, in dem es um kompliziertere Wahrscheinlichkeitsrechnungen geht. Hier wirst du lernen, welche das sind und wie du diese anwendest..

Wiki zum Thema Kombinatorik — Kombinatorik

Fakultäten

Die Fakultät, seltener Faktorielle genannt, bezeichnet eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen bis zu eben dieser zuordnet.

Man schreibt für die Fakultät einer natürlichen Zahl n: n!

Dabei gilt: n!=1·2·3·····n

Beispiel 1) Wie lauten die Fakultäten von

Fakultaeten 1
Abbildung1. - Thema: Fakultaeten.
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Urnenmodell I Geordnetes Ziehen mit Zurucklegen

Anschaulich: Es sind n Kugeln in der Urne, also gibt es beim ersten Zug n Moglichkeiten. Beim zweiten Zug (die Kugel wurde zuruckgelegt) sind es wieder n Moglichkeiten, usw. bis zum k-ten Zug, daher gibt es nk Moglichkeiten.

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, mit den Zahlen von 0 bis 9 eine 4-stellige Vorwahl zu entwickeln?

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Urnenmodell II Geordnetes Ziehen ohne Zurücklegen

Fur die Anzahl der Moglichkeiten k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln zu ziehen, wobei die Reihenfolge eine Rolle spielt (es also z.B. wichtig ist, ob erst blau und dann rot gezogen wird oder umgekehrt), eine gezogene Kugel aber nicht wieder gezogen werden kann, also nicht zurückgelegt wird, gilt:

Beispiel 1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, die Buchstaben SPORT anzuordnen?

Voruberlegung: Da SPORT funf verschiedene Buchstaben beinhaltet, gilt: n = 5. Da das Wort auch 5 Buchstaben lang ist, gilt auch k = 5.

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Urnenmodell III Ungeordnetes Ziehen ohne Zurucklegen

MI I I ergibt sich sehr einfach aus MI I . Der einzige Unterschied ist die Berucksichtigung der Ziehungsreihenfolge. Jedes Element aus MI I I ist daher k!-mal in MI I enthalten, namlich in all seinen moglichen Permutationen (Vertauschungen). Das heibt, die k! vielen Permutationen mussen ’herausdividiert’ werden.

Beispiel 1) Auf 15 Personen werden 3 Karten fur das Kino verteilt. Auf wie viele Arten konnen die Karten verteilt werden, wenn jeder hochstens eine Karte erhält und sich die Karten auf nicht nummerierte Sitzplätze beziehen?

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Urnenmodell IV Ungeordnetes Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel 1) In einer Bäckerei werden vier verschiedene Kuchensorten, die in ausreichender Menge vorhanden sind (daher mit Zurücklegen), verkauft. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es, wenn man sieben Stücke kaufen möchte?

Vorüberlegung: Es gibt vier Kuchensorten, daher gilt n = 4; sieben Stücke sollen gekauft werden, also folgt k = 7.

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Urnenmodelle - ein erster Einblick

Oft ist es in der Stochastik nötig, Kardinalitäten (Mächtigkeiten) von Mengen zu betrachten, oft als Anzahl von Möglichkeiten.

Erklärung: Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment. Man stellt sich eine Urne vor, in der Kugeln liegen. Jede Kugel hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden, und alle Kugeln sind voneinander unterscheidbar. Davon ausgehend, dass in der Urne n (eine beliebige Menge) Kugeln liegen, von denen man k (wiederum eine beliebige Menge, die aber nicht größer sein darf als n) zieht, gibt es nun einige Dinge, die variieren können.

1. Die Verfahren, mit denen gezogen wird, sind:

  • a) nach jedem Zug wird die Kugel zurückgelegt.
  • b) die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.

2. die Betrachtung der Ziehungsergebnisse:

  • a) die Ziehungsreihenfolge soll für das Ziehungsergebnis berücksichtigt werden.
  • b) die Ziehungsreihenfolge spielt für das Ziehungsergebnis keine Rolle.

Die Mengen, welche alle möglichen Ziehungsergebnisse enthalten, nennen wir MI , MI I , MI I I , und MIV nach folgendem Schema:

Jedes dieser möglichen Modelle hat ein eigenes Wiki mit entsprechendem Namen.

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Mehrstufig, rechnerisch

Hier soll nochmal ein Wahrscheinlichkeitsexperiment mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in einer mehrstufigen Variante betrachtet und per Baumdiagramm nachvollzogen werden.

Beispiel 1)     Ausgehend von einer Klasse mit 30 Kindern (18 Mädchen, 12 Jungen), ruft der Lehrer nacheinander drei (Wiederholungen möglich) Kindern an die Tafel, wobei jedes Kind die gleiche Chance hat dran zu kommen. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er:

  • Genau 2 Jungen an die Tafel müssen.
  • Es mindestens 2 Mädchen trifft.

Vorüberlegung 1:     Der Ergebnisraum lautet:

Ω = {JJJ ,JJM ,JMJ ,JMM;MJJ ,MJM ,MMJ ,MMM}, wobei nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben.

Aufgrund der Kommutativität der Multiplikation gilt aber, dass alle Ergebnisse mit genau zwei Jungen (2J) gleich wahrscheinlich sind. Gleiches gilt für alle Ergebnisse mit genau zwei Mädchen (2M).

Vorüberlegung 1 Es gilt für die Wahrscheinlichkeiten: P(JJJ ) = 0,064, P(2J ) = 0,096, P(2M) = 0,144 und P({MMM} = 0,216

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Aufgabenblätter zum Thema Kombinatorik — Kombinatorik

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  1. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  2. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  3. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

  4. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

  5. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

  6. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

Kombinatorik – Wir machen euch fit für die nächsten Prüfungen. Behandelt werden Themen, die für jeden von Interesse sind. Schulische Erfolge erreichen.