Volumen einer quadratischen Pyramide

Die Volumen V einer quadratischen Pyramide wird aus dem Flächeninhalt der Grundfläche G und der Höhe h der Pyramide berechnet. Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Spitze zur Grundfläche. Allgemein lautet die Formel:

Im Fall der quadratischen Pyramide gilt G = a², wobei a die Kantenlänge des Quadrats ist. Damit gilt

Skizze:

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Eine quadratische Pyramide besitzt die Grundkante a = 7cm und die Höhe h = 12cm. Wie groß ist ihr Volumen?

Oberfläche einer quadratischen Pyramide

Die Oberfläche O einer quadratischen Pyramide setzt sich aus zwei Flächen zusammen: aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M. Die allgemeine Formel lautet:

Die Mantelfläche setzt sich aus vier gleich großen gleichschenkligen Dreiecken zusammen. Mit der Dreieckshöhe h_s ergibt sich dann:

Skizze:

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Eine Pyramide besitzt die Grundkante a = 8cm. Die Höhe einer Seitenfläche beträgt h_s = 13cm. Berechne ihre Oberfläche.

Mantelfläche einer quadratischen Pyramide

Die Mantelfläche M einer quadratischen Pyramide ist die Fläche der dreieckigen Seitenflächen. Das sind vier gleich großen Dreiecke. Da die Berechnung der Mantelfläche eine Berechnung von Dreiecken ist, kann sie auch von der Formel für die Berechnung von Flächeninhalten von Dreiecken abgeleitet werden. Diese lautet damit wie folgt:

Dabei ist a die Länge der Grundkante und h_s die Länge der Höhe eines Dreiecks.

Skizze:

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Eine Pyramide besitzt die Grundkante a = 9cm und die Höhe der Seitenfläche h_s = 11cm. Berechne ihre Mantelfläche.

Volumen einer regelmäßigen n-eckigen Pyramide

Eine n-eckige Pyramide ist eine Pyramide, die beliebig viele Ecken auf der Grundfläche hat (z. B. Fünfeck, Siebeneck, usw.). Allgemein spricht man von einer n-eckigen Pyramide, um alle Pyramidenformen zusammen zu fassen. Die allgemeine Formel für das Volumen einer Pyramide lautet:

wobei G die Grundfläche der Pyramide ist und h ihre Höhe.

Es gibt keine fertige Formel für alle Pyramidenformen. Je nach Grundfläche muss diese gesondert berechnet werden. Bei regelmäßigen Vielecken wird die Grundfläche üblicherweise in eine entsprechende Anzahl von Dreiecken zerlegt (fünf bei einem Fünfeck, acht bei einem Achteck usw.).

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Eine regelmäßige fünfeckige Pyramide hat die Grundkante a = 5cm und die Höhe h = 8cm. Die Höhe eines der Dreiecke der Grundfläche beträgt ha = 3;6cm. Berechne das Volumen der Pyramide.

Oberfläche einer n-eckigen Pyramide

Die Oberfläche O einer n-eckigen Pyramide setzt sich aus zwei Flächen zusammen: aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M. Beide werden in der Regel mit Hilfe von Dreiecken berechnet. Die allgemeine Formel lautet

Mit der Anzahl der Ecken n, der Grundkantenlänge a, der Bodendreieckshöhe h_a und der Seitendreieckshöhe h_s ergibt sich damit die folgende Formel:

Hin und wieder sieht man die Formel auch in dieser Form:

Skizze einer Fünfeckspyramide:

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Eine sechseckige Pyramide hat die Grundkante a = 6cm, die Grunddreickshöhe h_a = 5,2cm und die Seitendreieckshöhe h_s = 9cm. Berechne ihre Oberfläche.

Mantelfläche einer regelmäßigen n-eckigen Pyramide

Die Mantelfläche einer regelmäßigen n-eckigen Pyramide setzt sich aus n Dreiecken zusammen. Somit ergibt sich die Formel für den Mantel M:

Dabei ist n die Anzahl der Ecken der Grundfläche, a ist die Länge der Grundkante und h_s ist die Höhe einer Seitenfläche.

Skizze einer fünfeckigen Pyramide:

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Eine regelmäßige siebeneckige Pyramide hat die Grundkante a = 7cm und die Höhe der Seitenfläche h_s = 12cm. Berechne ihre Mantelfläche.