Symmetrie – online lernen

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Potenzfunktionen / ganzrationale Funktionen — Symmetrie

Bei manchen Potenzfunktionen liegt eine Symmetrie vor. Wie du diese erkennen kannst und ob diese Funktionen punkt- oderachsensymmetrisch sind, das lernst du hier..

Wiki zum Thema Potenzfunktionen / ganzrationale Funktionen — Symmetrie

Symmetrie von Funktionen

Die Schaubilder von Funktionen können symmetrisch sein. Wenn nach Symmetrie gefragt ist, sind vor allem zwei Arten Symmetrie gemeint:

  • Achsensymmetrie zur y-Achse und
  • Punktsymmetrie zum Ursprung O(0 j 0).

Symmetrien zu anderen Punkten oder Achsen sind möglich, werden aber selten untersucht.

Wenn eine Funktion zur y-Achse symmetrisch ist, dann ist ihr Funktionswert bei -x der gleiche wie bei x, es gilt also:

Ist eine Funktion zum Ursprung symmetrisch, dann ist der Funktionswert bei -x die Gegenzahl zum Funktionswert bei x, es gilt also:

Für ganzrationale Polynomfunktionen ergibt sich eine einfache Überprüfungsmöglichkeit:

Hat eine Funktion nur Variable mit geraden Exponenten, dann ist sie achsensymmetrisch. Ein konstanter Term zählt dabei als Term mit geradem Exponenten (0).

Hat eine Funktion nur Variable mit ungeraden Exponenten, dann ist sie punktsymmetrisch.

Beispiel 1) Untersuche die Symmetrie der Funktion f (x) = 3x3 - 6x.

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Ganzrationale Funktionen – Symmetrie

Man unterscheidet zwei einfache Symmetriearten:

Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung

Folgende Bedingungen müssen gelten, damit einfache Symmetrie vorliegt:

Achsensymmetrie (AS): f(-x)= f(x)
Punktsymmetrie (PS): f(-x)=-f(x)

Skizze:

gerade Exponenten 1
Abbildung1. - Thema: gerade Exponenten.

Bei ganzrationalen Funktionen vereinfachen sich die Bedingungen:

Enthält der Funktionsterm nur gerade Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.

Enthält der Funktionsterm nur ungerade Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zu O(0|0).

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Untersuche folgende Funktionen auf Symmetrie:

f(x)= x3-3x, g(x)=2+x4-2x2, h(x)= x5-9x3 +3

gerade Exponenten 2
Abbildung2. - Thema: gerade Exponenten.
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Ganzrationale Funktionen - Symmetrie

Man unterscheidet zwei einfache Symmetriearten: Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung Folgende Bedingungen müssen gelten, damit einfache Symmetrie vorliegt:

Achsensymmetrie (AS): f (..x) = f (x) Punktsymmetrie (PS): f (..x) = ..f (x)

Skizze:

ungerade Exponenten 1
Abbildung1. - Thema: ungerade Exponenten.

Bei ganzrationalen Funktionen vereinfachen sich die Bedingungen: Enthält der Funktionsterm nur gerade Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Enthält der Funktionsterm nur ungerade Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zu O(0 j 0).

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Untersuche folgende Funktionen auf Symmetrie:

ungerade Exponenten 2
Abbildung2. - Thema: ungerade Exponenten.
ungerade Exponenten 3
Abbildung3. - Thema: ungerade Exponenten.
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Ganzrationale Funktionen – Symmetrie

Man unterscheidet zwei einfache Symmetriearten:

Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung
Folgende Bedingungen müssen gelten, damit einfache Symmetrie vorliegt:

Achsensymmetrie (AS): f(-x)= f(x)
Punktsymmetrie (PS): f(-x)=-f(x)

Skizze:

ganzrationale Funktionen Symmetrie 1
Abbildung1. - Thema: ganzrationale Funktionen Symmetrie.

Bei ganzrationalen Funktionen vereinfachen sich die Bedingungen:

Enthält der Funktionsterm nur gerade Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.

Enthält der Funktionsterm nur ungerade Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zu O(0|0).

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Untersuche folgende Funktionen auf Symmetrie:

f(x)= x3-3x, g(x)=2+x42x2, h(x)= x5-9x3 +3

ganzrationale Funktionen Symmetrie 2
Abbildung2. - Thema: ganzrationale Funktionen Symmetrie.
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Aufgabenblätter zum Thema Potenzfunktionen / ganzrationale Funktionen — Symmetrie

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  6. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

Symmetrie – Wir machen euch fit für die nächsten Prüfungen. Behandelt werden Themen, die für jeden von Interesse sind. Schulische Erfolge erreichen.