Eigenschaften von Potenzfunktionen – online lernen

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  Wiki zum Thema Potenzfunktionen / ganzrationale Funktionen — Eigenschaften

Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen höheren Grades

Man spricht von (ganzrationalen) Polynomfunktionen höheren Grades, wenn die Variable mindestens zur dritten Potenz im Funktionsterm enthalten ist. Anders gesagt: die Funktion enthält x3 oder höher. Die größte Exponent ist dann gleich dem Grad der Funktion. Ihren Schnittpunkt mit der y-Achse berechnet man wie üblich durch Einsetzen von x = 0. Das Berechnen der Nullstellen (der Schnittpunkte mit der x-Achse) hängt vom konkreten Fall ab. Man sollte sich merken, dass eine ganzrationale Funktion höchstens so viele Nullstellen haben kann, wie der Wert ihres Grads. Funktionen mit ungeradem Grad haben mindestens eine Nullstelle.

Durch Nullsetzen der Funktion erhält man eine Polynomgleichung höheren Grades. Für sie hat man mehrere Strategien parat:

  • Einfache Gleichungen, die nur einen Potenzterm enthalten, kann man direkt nach x umstellen, z. B. 0 = x5 - 12.
  • Wann immer es geht, versucht man die Gleichung durch Ausklammern der Variable zu vereinfachen und den Satz vom Nullprodukt anzuwenden:
  • Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen 1
    Abbildung1. - Thema: Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen.
  • Wenn die vorigen Möglichkeiten nicht funktionieren, versucht man, die Gleichung durch Substitution zu vereinfachen:
  • Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen 2
    Abbildung2. - Thema: Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen.

    Substituiere x2 = u:

    Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen 3
    Abbildung3. - Thema: Achsenschnittpunkte von Polynomfunktionen.
  • Wenn alles vorige scheitert kann man bei Kenntnis einer Lösung die Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision (oder dem Horner-Schema) durch faktorisieren vereinfachen.
  • Darf man einen gtr (einen grafikfähigen Taschenrechner) verwenden, lassen sich damit die Nullstellen natürlich direkt bestimmen.
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Ganzrationale Funktionen – Globalverhalten

Das Globalverhalten einer ganzrationalen Funktion wird nur durch den Grad n und den Leitkoeffzienten an bestimmt. Es gilt:

ganzrationale Funktionen Globalverhalten 1
Abbildung1. - Thema: ganzrationale Funktionen Globalverhalten.

Beispielaufgabe:

Beispiel 1)     Bestimme das Globalverhalten von f und g.

ganzrationale Funktionen Globalverhalten 2
Abbildung2. - Thema: ganzrationale Funktionen Globalverhalten.
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1 Lernvideos zum Thema Potenzfunktionen / ganzrationale Funktionen — Eigenschaften

Du kennst bisher Potenzfunktionen mit geraden oder ungeraden Hochzahlen. Hier mischen wir jetzt gerade und ungerade Hochzahlen. Welche Eigenschaften diese Funktionen nun haben, lernst du hier..
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