Extremstellen – online lernen

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Extrem- & Wendepunkte — Extremstellen / Hoch- &Tiefpunkte

Potenzfunktionen haben oftmals ein paar charakteristische Punkte. Einer dieser Punkte ist die sogenannten Extremstelle. Weitere soclher Punkte können Hoch- oder Tiefpunkte sein. Diese erkennst du leicht am Schaubild der Funktion..

Wiki zum Thema Extrem- & Wendepunkte — Extremstellen / Hoch- &Tiefpunkte

Extrem– und Wendepunkte

Beispiel

Bestimme Extrem– und Wendepunkte der Funktion f mit f(x)=6x4 +8x3 +2. Bestimme gegebenenfalls die Sattelpunkte.

Skizze:

Extremstellen 1
Abbildung1. - Thema: Extremstellen.
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Extremstellen f''

Ein Punkt eines Funktionsgraphen heißt Hochpunkt oder Maximum (Tiefpunkt oder Minimum), wenn es in einer Umgebung keinen anderen Punkt gibt, der höher (tiefer) ist. Gleicheit ist also zugelassen.

Skizze:

Extremstellen f'' 1
Abbildung1. - Thema: Extremstellen f''.

Zur Berechnung von Extremstellen kann man folgendermaßen vorgehen:

Extremstellen f'' 2
Abbildung2. - Thema: Extremstellen f''.

Beispielaufgabe:

Extremstellen f'' 3
Abbildung3. - Thema: Extremstellen f''.
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Extremstellen – Kriterium VZW

Ein Punkt eines Funktionsgraphen heißt Hochpunkt oder Maximum (Tiefpunkt oder Minimum), wenn es in einer Umgebung keinen anderen Punkt gibt, der höher (tiefer) ist. Gleicheit ist also zugelassen.

Skizze:

Extremstellen VZW 1
Abbildung1. - Thema: Extremstellen VZW.

Zur Berechnung von Extremstellen geht man folgendermaßen vor:

Extremstellen VZW 2
Abbildung2. - Thema: Extremstellen VZW.

Beispielaufgabe:

Extremstellen VZW 3
Abbildung3. - Thema: Extremstellen VZW.
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Extremwertprobleme

Vorgehensweise beim Lösen von Extremwertproblemen:

  • Skizze anfertigen, Variablen benennen und einzeichnen
  • Zielgröße bestimmen
  • Nebenbedingung aufstellen
  • Nebenbedingung in die Zielgröße einsetzen
  • Extremum der Zielfunktion bestimmen; Kontrolle der Randwerte

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-x3 +6x2-9x+4. Für 1< u <4 bilden die Punkte A(1|0), B(u|0) und C(u|f(u)) ein Dreieck. Bestimme u so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.

Extremwertprobleme 1
Abbildung1. - Thema: Extremwertprobleme.

Beispiel 2) Ein Rechteck mit Umfang U = 20cm soll einen maximalen Flächeninhalt erhalten. Wie müssen die Maße gewählt werden?

Extremwertprobleme 2
Abbildung2. - Thema: Extremwertprobleme.
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Extremwertprobleme – Sachaufgaben

Beispielaufgabe:

Beispiel 1) Ein rechteckiges Stück Pappe (20cm×40cm) soll zu einer nach oben offenen Schachtel geformt werden, indem an jeder Seite Quadrate mit der Seitenlänge x abgeschnitten werden (siehe Skizze). Wie muss x gewählt werden, sodass das Volumen der Schachtel maximal wird?

Extremwertprobleme Sachaufgaben 1
Abbildung1. - Thema: Extremwertprobleme Sachaufgaben.

Extremwertprobleme Sachaufgaben 2
Abbildung2. - Thema: Extremwertprobleme Sachaufgaben.

Beispiel 2) Eine zylinderförmige Dose soll ein Volumen von V =1l aufweisen. Wie müssen Radius r und Höhe h gewählt werden, sodass die Oberfläche – bei Vernachlässigung der Wandstärke – der Dose minimal wird?

Extremwertprobleme Sachaufgaben 3
Abbildung3. - Thema: Extremwertprobleme Sachaufgaben.
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Aufgabenblätter zum Thema Extrem- & Wendepunkte — Extremstellen / Hoch- &Tiefpunkte

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  1. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 1

  2. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 2

  3. Aufgabenblatt Schwierigkeitsgrad 3

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