Lagebeziehungen Teil II – online lernen

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Vektoren — Lagebeziehungen Teil II

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Lagebeziehungen Teil II.
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9 ? Vektoren ? Lagebeziehungen Teil II

0:00 Einleitung Lagebeziehungen 2

0:17 Gerade & Ebene

1:28 Beispiel Gerade & Ebene (in Parameterform): Parallel

3:47 Beispiel Gerade & Ebene (in Parameterform): Schnittpunkt

5:17 Beispiel Gerade & Ebene (in Koordinatenform)

7:37 Ebene & Ebene

8:17 Beispiel Ebene & Ebene: Schnittgerade

10:03 Mögliche Lösungsmengen bei zwei Ebenen

11:50 Schlussworte



Willkommen zum Live Forum zum Thema Analytische Geometrie: Lagebeziehungen II. Wir werden uns anschauen, wie die Lagebeziehung zwischen Gerade & Ebene und Ebene & Ebene gelöst werden.

Beginnen wir mit dem Fall Gerade und Ebene. Dort gibt es drei Situationen, die entstehen können. Entweder die Gerade ist parallel zur Ebene, die Gerade liegt in der Ebene - sie ist also Teil von ihr - oder die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt. Wie überprüfen wir das? Zuerst fragen wir uns: "Ist der Richtungsvektor der Geraden von den Richtungsvektoren der Ebene linear abhängig?". Wenn dies der Fall ist, dann ist entweder Situation "Parallel" oder "Gerade liegt in Ebene" der Fall. Wir machen dann die Punktprobe, ob der Stützvektor von g in der Ebenen E liegt. Wenn die Punktprobe nicht erfolgreich ist, dann ist die Gerade parallel zur Ebene. Wenn die Punktprobe allerdings erfolgreich ist, dann ist die Gerade Teil der Ebene.

Wenn die Richtungsvektoren jedoch linear unabhängig sind, dann heißt es, dass es irgendwo einen Schnittpunkt gibt. Und den finden wir, indem wir die Gerade g und die Ebene E gleichsetzen.

Schauen wir uns einmal den Fall an, dass die Ebene in Parameterform gegeben ist. Hier haben wir eine Gerade und eine Ebene, beide in Parameterform gegeben. Zuerst überprüfen wir die lineare Abhängigkeit. Wir stellen fest, dass der Richtungsvektor der Geraden (1, 1, 1) durch die beiden Richtungsvektoren der Ebene gebildet werden kann. Nämlich indem wir einmal den ersten Richtungsvektor nehmen und ein halbes mal den zweiten Richtungsvektor. Also müssen wir nun die Punktprobe ausführen. Liegt der Stützvektor von g in der Ebene E? Wir setzen also den Stützvektor (1, 0, 2) der Geraden mit der Ebenen gleich. Wir bringen den Stützvektor der Ebenen auf die andere Seite und erhalten dadurch diese Gleichung, die wir als Gleichungssystem schreiben können. In diesem Fall ist das Gleichungssystem auch relativ simpel, da muss gar nicht mehr viel gelöst werden, und wir stellen fest, dass für s -2 und für t -½ gewählt werden müsste. Das bedeutet, dass die Gerade Teil der Ebene ist. Schauen wir uns einen weiteren Fall an. Wir haben wieder eine Gerade und eine Ebene in Parameterform gegeben. Wir überprüfen die lineare Abhängigkeit und auch hier ist es wieder möglich den einen Vektor aus den anderen beiden zu bilden. Wir machen also die Punktprobe und setzen den Stützvektor von g mit der Ebenen E gleich. Dazu bewegen wir wieder den Stützvektor der Ebene auf die andere Seite und erhalten ein Gleichungssystem. Wenn wir uns diese Gleichung ansehen stellen wir jedoch fest, dass wir für s und t keine eindeutige Lösung finden. Wenn wir uns nämlich die oberen beiden Gleichungen anschauen müsste s einmal -1 und einmal 3 sein. Aus diesem Grunde liegt die Gerade dann parallel zur Ebene.

Ein weiterer Fall. Wir haben wieder Gerade und Ebene in Parameterform gegeben und überprüfen zuerst die lineare Abhängigkeit. Hier stellen wir jedoch fest, dass wir an dieser Stelle für Lambda 1 und Lambda 2 keine Werte finden könnten, um den Richtungsvektor der Geraden aus den anderen beiden zu bilden. Also müssen wir Gerade und Ebene gleichsetzen und den Schnittpunkt suchen. Wir bewegen den Stützvektor (-1, 0, -3) auf die andere Seite, genauso wie wir den Richtungsvektor r (0, 1, 0) auf die andere Seite bringen. Nun können wir daraus ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Durch die vielen Nullen wird es uns hier etwas einfacher gemacht und wir können sehr schnell ablesen, dass s = 2 sein muss, r = 1 und t = 2. In der Regel reicht es hier, wenn wir den Wert für den Parameter der Geraden erhalten. Dieser genügt um gleich den Schnittpunkt zu finden. Wir setzen also den Parameter ein. Entweder r in die Gerade oder s und t in die Ebene. Beides sollte uns zum gleichen Schnittpunkt führen. In diesem Fall nehme ich die Gerade und setze dort für r = 1 ein. Daraus erhalte ich den Punkt (1, 2, 1) und dies ist dann der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene.

Doch was ist, wenn wir die Ebene in Koordinatenform gegeben haben? So wie hier. Dann kann ich direkt die Gerade in E einsetzen. Das bedeutet: Ich nehme mir die erste Zeile der Geraden, also 1 + r · 1 und setze es für x in die Ebene ein. Dann nehme ich die zweite Gleichung, 2 + r · 0 und setze es für y in die Ebene ein und 3 + r · 1 und setze es für z in die Ebene ein. Nun kann diese Gleichung langsam aufgelöst werden und zwar nach r. Dazu müssen wir ausmultiplizieren, ein wenig zusammenfassen, Äquivalenzumformungen ausführen und am Ende landen wir bei r = 2. Diesen Parameter können wir wieder einsetzen, und zwar in die Gerade, und erhalten einen Schnittpunkt (3, 2, 3). Bei dieser Gleichung, die wir dabei erhalten haben, können mehrere Fälle auftreten. Entweder wir erhalten eine Lösung, so wie hier, dann setzen wir den errechneten Parameter in die Gerade ein um den Schnittpunkt zu errechnen. Es kann aber auch sein, dass wir unendlich viele Lösungen erhalten, zum Beispiel wenn wir immer weiter auflösen, dass r irgendwann wegfällt und dort etwas steht wie 0 = 0 oder 10 = 10, also eine wahre Aussage. Dann ist die Gerade Teil der Ebene. Es kann aber auch sein, dass wir gar keine Lösung erhalten, wenn wieder beim Auflösen das r wegfällt aber am Ende eine falsche Aussage dort steht, zum Beispiel 0 = 9. Dann liegt die Gerade parallel zur Ebene. Insgesamt ist diese Verfahren etwas kürzer. Das bedeutet, wenn wir eine Ebene in Koordinatenform gegeben haben ist dort diese Probe oder diese Überprüfung der Lagebeziehung etwas einfacher und etwas schneller und wenn man zum Beispiel mehrere Geraden mit einer Ebenen ausprobieren sollte, dann lohnt es sich meistens diese Ebene vorher in Koordinatenform umzuwandeln, damit die einzelnen Überprüfungen etwas schneller gehen.

Wie sieht es mit der Lagebeziehung zwischen zwei Ebene aus? Die Ebenen können entweder parallel sein, identisch sein oder eine Schnittgerade besitzen. Um zu überprüfen welcher Fall vorliegt, gehen wir wie eben bei Gerade und Ebene in Koordinatenform um. Also, wenn eine der Ebenen nicht bereits in Koordinatenform gegeben ist, wandeln wir sie in diese um und setzen die andere Ebene in Parameterform dort ein. Im Allgemeinen ist es immer zu empfehlen, die zwei Ebenen so zu vergleichen, indem wir eine in Koordinatenform und die andere in Parameterform haben.

Schauen wir uns an wie das aussieht.

Hier haben wir eine Ebene in Parameterform und eine in Koordinatenform. Wir setzen Ebene 1 in Ebene 2 ein. Also, wir nehmen die erste Zeile von Ebene 1 und setzen sie für x ein, die zweite Zeile setzen wir für y ein und die dritte Zeile setzen wir für z ein. Immer darauf achten, dass wir Klammern setzen müssen, da die Koeffizienten aus der Koordinatenform hier mit allen Elementen der einzelnen Zeilen mal genommen werden müssen. Nun lösen wir diese Gleichung nach und nach auf und zwar nach einem der Parameter. Wir können uns aussuchen welchen. In diesem Fall haben wir nach und nach zusammengefasst und ein bisschen umgeformt bis wir s = 3r haben. Nun können wir diesen Parameter einsetzen und noch ein paar Vektoren zusammenfassen. Bedeutet also wir gehen wieder in unsere Ebenengleichung in Parameterform und setzen für s 3r ein. Was passiert daraufhin? Naja, wir können zuerst die 3 mal nehmen, dass bedeutet wir bringen die 3 in den Vektor, dadurch wird aus dem Vektor (0, 1, 1) der Vektor (0, 3, 3). Nun können wir beide Richtungsvektoren mit dem Parameter r zusammenfassen indem wir die Einträge addieren. Dadurch einsteht der Richtungsvektor (1, 11, 3). Somit erhalten wir unsere Schnittgerade. Die Schnittgerade übernimmt in diesem Fall den Stützvektor (1, 0, 1) und hat den Richtungsvektor (1, 11, 3).

Es können noch ein paar andere Fälle entstehen, wenn wir zum Parameter auflösen. Zum Beispiel können wir erhalten, dass s = 0 ist, ohne weitere Informationen was mit r ist, da r zum Beispiel beim Einsetzen wegfällt. Das bedeutet, wir setzen für s nun 0 ein, dadurch fällt der komplette Richtungsvektor weg und das was übrig bleibt ist bereits die Schnittgerade. Genauso könnte es sein, dass wir zum Beispiel eine Summe erhalten, s = 2+r. Das gleiche würde auch mit Minus funktionieren. Dann setzen wir 2 + r für s ein und multiplizieren diesen Vektor dann aus. Dadurch erhalten wir einmal den Vektor (0, 2, 2), nachdem wir mit 2 mal genommen haben, und r mal (0, 1, 1), wenn mit r malgenommen wird. Nun können wir (1, 0, 1) und (0, 2, 2) zusammenfassen und r (1, 4, 0) mit r (0, 1, 1) zusammenfassen. Auch hier wieder: Alle Einträge ganz einfach addieren. Dann erhalten wir die Schnittgerade (1, 2, 3) + r(1, 5, 1). Es kann genauso an dieser Stelle passieren, dass wir unendlich viele Lösungen erhalten, indem s und r beide wegfallen und am Ende so etwas wie 0 = 0 dort steht. Dann bedeutet das, dass die Ebenen identisch sind. Im Grunde bedeutet es: Egal was wir für r und s einsetzen, wir können immer einen Punkt von der einen Ebene mit der anderen Ebene bilden. Genauso kann es natürlich auch passieren, das r und s beide wegfallen, aber dort eine falsche Aussage übrig bleibt, wie zum Beispiel 0 = 9. Dann sind die Ebenen parallel.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Lagebeziehungen? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

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