Lagebeziehungen Teil I – online lernen

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Vektoren — Lagebeziehungen Teil I

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Lagebeziehungen Teil I.
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8 ? Vektoren ? Lagebeziehungen Teil I

0:00 Einleitung Lagebeziehungen 1

0:12 Punkt & Gerade

0:54 Beispiel Punktprobe 1: Punkt liegt auf Geraden

1:54 Beispiel Punktprobe 2: Punkt liegt nicht auf Geraden

2:30 Gerade & Gerade

4:15 Beispiel Gerade & Gerade 1: Geraden sind identisch

5:07 Beispiel Gerade & Gerade 2: Geraden sind parallel

5:50 Vergleich: Identisch und Parallel

6:06 Beispiel Gerade & Gerade 3: Geraden schneiden sich

9:04 Beispiel Gerade & Gerade 4: Geraden sind windschief

11:04 Schlussworte



Willkommen zum Live Forum zum Thema Analytische Geometrie: Lagebeziehungen 1. Heute schauen wir uns an, wie die Lagebeziehungen zwischen Punkt & Gerade und Gerade & Gerade gelöst werden.

Fangen wir an mit Punkt & Gerade, also der sogenannten Punktprobe.

Hier können eigentlich zwei Fälle eintreten: Entweder der Punkt ist Teil der Geraden, oder der Punkt ist nicht Teil der Geraden. Um das herauszufinden nehmen wir uns den Ortsvektor des Punktes und setzen ihn mit der Parameterform der Geraden gleich. Dabei entsteht ein Gleichungssystem was wir lösen müssen. Diese Gleichungssystem hat drei Gleichungen und eine Variable, nämlich den Parameter der Geraden. Ist der Punkt nun Teil der Geraden wird aus dem Gleichungssystem eine eindeutige Lösung für diesen Parameter der Geraden entstehen. Und wenn der Punkt eben nicht darauf liegt, dann liefer es keine eindeutige Lösung für den Parameter der Geraden.

Schauen wir uns ein Beispiel an. Hier haben wir den Punkt (1, 1, 2) und die Gerade (0, 3, 1) + t(1, -2, 1). Wir setzen nun den Punkt als Ortsvektor mit der Geraden gleich. Dies können wir nun als Gleichungssystem schreiben. 1 = 0 + 1t ist sozusagen die obere Zeile aus dieser Gleichung. Wir fangen nun an dieses Gleichungssystem zu lösen. Dazu nehmen wir uns erstmal eine Gleichung vor, am besten die erste, und sehen dort direkt: t muss ja 1 sein. Wenn wir uns also die oberste Gleichung anschauen, dort müssten wir für t 1 einsetzen damit die Gleichung stimmt. Nun müssen wir noch überprüfen, ob das auch mit allen anderen Gleichungen funktioniert. Und es stimmt auch: Wenn wir in die anderen Gleichungen für t 1 einsetzen, kommen dort auch wahre Aussagen heraus.

Das bedeutet also: Der Punkt ist Teil der Geraden.

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Und zwar nehmen wir uns die gleiche Gerade, allerdings den Punkt (2, -1, 0), der wurde hier schon als Ortsvektor gleichgesetzt. Auch hier stellen wir das Gleichungssystem auf und stellen fest, dass wir bei den Gleichungen teilweise verschiedene Ergebnisse für t erhalten. In die erste Gleichung müssten wir 2 einsetzen, in die zweite Gleichung müssten wir auch 2 einsetzen, aber in die dritte Gleichung müssten wir t = -1 einsetzen.

Da wir also keine eindeutige Lösung für t bekommen haben, ist der Punkt nicht Teil der Geraden.

Schauen wir uns an wie das bei zwei Geraden aussieht.

Zwei Geraden können entweder parallel zueinander sein, identisch sein, einen Schnittpunkt haben oder - und das geht erstmal nur im Dreidimensionalen - sie können windschief sein. Wie gehen wir nun vor? Als allererstes überprüfen wir die Richtungsvektoren beider Geraden und schauen ob diese linear abhängig sind, bedeutet also in diesem Fall ob der eine Richtungsvektor ein Vielfaches vom anderen Richtungsvektor ist. Wenn dies der Fall ist, könnten die Geraden entweder parallel oder identisch sein. Um diese Fälle nun zu unterscheiden nehmen wir uns den Stützvektor von der einen Gerade und machen die Punktprobe mit der anderen Gerade. Die Überlegung dahinter ist: Wenn die Geraden schon in die gleiche Richtung gehen und mindestens einen Punkt gemeinsam haben, dann müssen sie alle ihre Punkte gemeinsam haben. Deswegen genügt es dort einen Punkt zu überprüfen. Wenn die Punktprobe nicht erfolgreich ist, dann bedeutet das, dass die Geraden parallel sind. Denn umgekehrt, wenn ein Puntk schon nicht darauf liegt, dann können alle nicht darauf liegen. Wenn ein Punkt der einen Gerade nicht auf der anderen Geraden liegt, dann kann gar kein Punkt der einen Gerade auch auf der anderen Gerade liegen. Ist die Punktprobe allerdings erfolgreich, dann sind beide Geraden identisch.

Doch was ist, wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind? Dann müssen wir die beiden Geraden gleichsetzen. Auch dabei entsteht wieder ein Gleichungssystem, das entweder eine eindeutige Lösung hat, die uns dann zum Schnittpunkt führt, oder dass LGS hat keine Lösung. Dann sind die Geraden windschief, denn sie schneiden sich nicht, dann haben sie keinen gemeinsamen Punkt, der durch Gleichsetzen entstehen könnte.

Schauen wir uns an wie das rechnerisch aussieht. Hier haben wir zwei Geraden. Wir überprüfen zuerst wie das mit den Richtungsvektoren aussieht. Hier stellen wir fest, dass wenn wir den ersten Richtungsvektor mit der Zahl -2 mal nehmen, wir den zweiten Richtungsvektor erhalten. Das bedeutet beide sind linear abhängig. Also machen wir die Punktprobe. Wir nehmen hier den Stützvektor der zweiten Gerade und setzen ihn mit der ersten Gerade gleich. Auch hier wird wieder das Gleichungssystem wie bei der Punktprobe gelöst und wir erhalten ein eindeutiges Ergebnis nämlich r = 2. Das bedeutet also im Grunde, dass wir den Stützvektor von Gerade 2 erreichen können, indem wir bei Gerade 1 für r 2 einsetzen würden. Demnach sind die Geraden identisch.

Ein weiteres Beispiel. Hier vergleichen wir auch erstmal die Richtungsvektoren und stellen fest: Auch diese sind linear abhängig. Denn den einen Richtungsvektor können wir mal drei nehmen um den anderen zu bekommen. Wenn wir nun die Punktprobe machen, hier nehmen wir den Stützvektor von Gerade 2 und die Gerade 1, bekommen wir allerdings für r keine eindeutige Lösung heraus. Schauen wir uns einmal die erste Gleichung an, dort steht 4 = 0 + r. Das heißt r müsste 4 sein. Allerdings funktioniert das bei beiden anderen Gleichungen nicht. Also sind die Geraden parallel, denn sie haben keinen Punkt gemeinsam, haben aber die gleiche Richtung.

Wir sehen hier in beiden Fällen haben wir zuerst die Lineare Abhängigkeit der Richtungsvektoren überprüft und anschließend eine Punktprobe vom Stützvektor von der jeweils anderen Gerade durchgeführt.

Schauen wir uns die anderen beiden Fälle an. Hier sind wieder zwei Geraden gegeben und das allererste ist, wir überprüfen wie immer die lineare Abhängigkeit. Allerdings gibt es hier keine Zahl, die wir für a einsetzen könnten, um den einen Vektor zum anderen zu machen. In der ersten Zeile müssten wir -1 nehmen, in der zweiten müssten wir 1 nehmen und in der dritten müssten wir auch 1 nehmen. Also es gibt hier keine eindeutige Lösung; die Vektoren sind linear unabhängig. Also müssen wir nun die Geraden gleichsetzen und etwas umstellen. Zuerst setzen wir sie ganz einfach gleich, indem wir die beiden hinschreiben. Dann bewegen wir den einen Stützvektor auf die andere Seite und einen Richtungsvektor auf die andere Seite, denn dadurch haben wir etwas mehr Ordnung drin: Auf der linken Seite sind nun beide Richtungsvektoren, auf der rechten Seite sind nun die beiden Stützvektoren, welche wir zusammenfassen können, da es ja einfach nur Vektoren oder Parameter sind.

Nun können wir ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Schauen wir uns einmal an, wie das entstanden ist. Alle Zahlen vor dem r sind im Grunde der Richtungsvektor der ersten Gerade von vorhin. Genauso das Gleiche für t. Allerdings sind dort die Vorzeichen umgekehrt, weil wir gerade t subtrahiert haben, bzw. den Richtungsvektor t, um ihn auf die andere Seite zu bekommen. Die Zahlen auf der rechten Seite sind durch Subtraktion der beiden Stützvektoren entstanden sind: (3 - 0, 0 - 1, 0 - 2). Wir haben nun also ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen. Wir nehmen uns zwei dieser Gleichungen und behandeln es als 2x2 System. Also in dem Fall man nimmt sich die beiden Gleichungen die einem am einfachsten erscheinen und löst diese mit Additionsverfahren, Subtraktionsverfahren, Einsetzungsverfahren oder Gleichsetzungsverfahren, wie man auch immer möchte. In diesem Fall würden wir zum Beispiel für die ersten beiden Gleichungen r = 1 und t = 2 erhalten. Nun müssen wir noch überprüfen, ob das auch in der dritten Gleichung funktioniert, also in der, die man gerade nicht für das 2x2 System benutzt hat. Also müssen wir r = 1 und t = 2 in die übrige Gleichung einsetzen. Das wäre in unserem Fall die Dritte. Dort setzen wir ein 2 · 1 - 2 · 2 und das ergibt tatsächlich -2. Was wir nun noch machen müssen ist einen dieser beiden Parameter die wir nun ausgerechnet haben in die Parametergleichung einer der beiden Geraden einzusetzen. Also entweder r = 1 in die erste Gerade einsetzen oder t = 2 in die zweite Gerade einsetzen. Dadurch kommen wir dann zum Schnittpunkt. Wir setzen also in die erste Gerade r = 1 ein und erhalten damit den Schnittpunkt (1, 2, 4).

Ein weiterer Fall. Diese beiden Geraden sind gegeben. Wir überprüfen auch wieder schnell die Lineare Abhängigkeit, aber auch hier haben wir dort keine Chance, denn für a müsste in der ersten Gleichung -1 und in den anderen beiden 1 eingesetzt werden. Also setzen wir die Geraden wieder gleich. Wir bewegen t wieder auf die linke Seite indem wir den ganzen Vektor mit t subtrahieren und den Stützvektor (0, 1, 2) bewegen wir auf die rechte Seite indem wir ihn subtrahieren. Dadurch erhalten wir diese Gleichung. Aus der Gleichung können wir wieder unser Gleichungssystem aufstellen. Auch hier, wenn wir wieder vergleichen, die Zahlen vor r entsprechen dem Richtungsvektor bei r, die Zahlen vor t entsprechen dem Richtungsvektor von t, nur mit umgekehrtem Vorzeichen, und die Zahlen auf der rechten Seite entstehen durch Subtraktion der beiden Stützvektoren. Wir nehmen wieder zwei der Gleichungen und behandeln sie als 2x2 System. Hier könnten wir wieder die oberen beiden Gleichungen nehmen und mit Additionsverfahren lösen und erhalten für r=3 und t=3. Diese Lösung müssen wir dann an der übrigen Gleichung überprüfen. Nehmen wir dazu die untere Gleichung, die wir vorhin nicht benutzt haben. 2 · 3 - 2 · 3 ergibt jedoch 0 und das ist nicht die -1, die wir oben eigentlich im Gleichungssystem erwartet haben. Also sind die Geraden windschief zueinader. Im Grunde bedeutet das: Wir haben nun überprüft, ob wenn wir nur die x- und y-Koordinate beachten, diese Geraden einen Schnittpunkt haben. Das ist auch der Fall für r=3 und t=3. Allerdings haben die Geraden an dieser Stelle verschiedene Werte für z, man kann also sagen, dass sie dort übereinander liegen.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Lagebeziehungen? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

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