Grundlagen – online lernen

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Vektoren — Grundlagen

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6 ? Vektoren ? Grundlagen

0:00: Einleitung Vektoren

0:17: Was ist ein Vektor

1:15: Eigenschaften des Vektors

2:34: Addition

3:10: Subtraktion

4:00: Skalarmultiplikation

5:25: Länge

6:35: Skalarprodukt

7:20: Winkelberechnung

8:20: Orts- und Verbindungsvektor

9:20: Schlussworte



Willkommen zum Live Forum zum Thema Vektoren - Grundlagen und Begriffe. Wir schauen uns an, was ein Vektor überhaupt ist, was er für Eigenschaften hat, welche Rechenoperationen wir auf ihm durchführen können und was einen Ortsvektor und einen Verbindungsvektor unterscheidet.

Was ist überhaupt ein Vektor? Hier sehen wir den Vektor (3, 4, -1). Wir schreiben die Zahlen übereinander und setzen drumherum Klammern. Diesen Vektor könnten wir zum Beispiel v nennen. In der Schulmathematik ist ein Vektor ein Tupel aus Zahlen, meistens zwei oder drei. Je nachdem ob wir uns im Zweidimensionalen - also in der Ebene - oder im Dreidimensionalen - also im Raum - befinden. Wir können einen Vektor mit einem Pfeil über dem Namen kennzeichnen. Also wir geben ihm einen Namen wie bei einer Variable, meistens ein einzelner Buchstabe, und setzen darüber einen Pfeil.

Was kann ein Vektor alles beschreiben? In der analytischen Geometrie kann er eine Richtung beschreiben, eine Verschiebung oder einen Ort.

In der Lineare Algebra einen Bestand, eine Verteilung, oder die Lösung eines Gleichungssystems. Im Weiteren werden wir uns hauptsächlich die Bedeutung in der analytischen Geometrie anschauen.

Ein Vektor hat drei Eigenschaften. Er hat eine Länge, eine Richtung und eine Orientierung. Wenn wir einen Vektor durch einen Pfeil darstellen können wir die Länge durch die Länge des Pfeils unterscheiden. Als Tupel geschrieben sehen wir, dass der rechte Vektor überall das Doppelte der Einträge des linken Vektors hat. Aus der 1 wurde also eine 2 gemacht, aus der -2 eine -4 und aus der 4 eine 8. Das bedeutet der rechte Vektor ist doppelt so lang wie der linke Vektor. Die Einträge der Vektoren sind also Vielfache voneinadner und zwar mit dem gleichen Faktor.

Hier sehen wir zwei Vektoren durch Pfeile dargestellt mit verschiedener Richtung. Bei der Richtung kommt kein richtiges Muster zustande. Also die Zahlen sind nicht Vielfache voneinander.

Dann gibt es noch die Orientierung. Hier sehen wir zwei Vektoren als Pfeile dargestellt, deren Orientierung jeweils umgekehrt ist. Als Tupel geschrieben sehen wir, dass überall die Gegenzahlen als Einträge verwendet wurden. Man muss vor allem den Unterschied zwischen Richtung und Orientierung beachten. Bei der Richtung sind wirklich zwei verschiedene Richtungen gemeint. Und die Orientierung ist sozusagen die entgegengesetzte Richtung.

Wir können Vektoren addieren. Rechnerisch müssen wir dazu nur die Einträge die auf gleicher Höhe stehen addieren. In diesem Fall also 1 + 2, 2 + (-1) und 4 + 3, damit der Vektor (3, 1, 7) entsteht. Geometrisch gesehen hängen wir die Vektoren aneinander. Wenn dies also Vektor a ist und dies Vektor b dann würden wir nun Vektor b an Vektor a anhängen. Die direkte Verbindung vom Anfang von Vektor a zur Spitze von Vektor b wäre dann a + b, also das Ergebnis Vektor c.

Die Subtraktion funktioniert an sich genauso. Wir subtrahieren die Einträge voneinander. 4 - 1, 2 - 3 und 5 - (-2). Daraus entsteht der Vektor (3, -1, 7). Geometrisch gesehen würden wir hier den Gegenvektor anhängen. Wenn wir also Vektor a haben und dies ist wieder Vektor b, dann drehen wir nun Vektor b in der Orientierung um an hängen ihn dann an Vektor a. Auch hier gehen wir wieder vom Start bis zum Ziel und das ist unser Vektor c. Wenn wir diesen nun etwas nach rechts verschieben und zwar zur Spitze von Vektor b, dann können wir uns das auch so vorstellen, dass dieser Vektor die Spitzen von beiden Vektoren verbindet.

Skalarmultiplikation.

Ein Skalar ist in der Schulmathematik in der Regel eine reelle Zahl. Das bedeutet, dass wir eine reelle Zahl mit dem Vektor malnehmen. Und dazu müssen wir diese Zahl einfach nur mit allen Einträgen malnehmen. In diesem Fall also 3 · 1, 3 · (-2) und 3 · 3, damit der Vektor (3, -6, 9) entsteht.

Geometrisch gesehen verlängern oder verkürzen wir den Vektor. In diesem Fall haben wir ihn also verdreifacht in der Länge. Die Richtung und Orientierung bleiben in der Regel beibehalten. Die Orientierung können wir jedoch umkehren indem wir mit einer negativen Zahl multiplizieren. Es gibt zum Beispiel den Spezialfall für r = -1, in dem wir nur die Orientierung umkehren ohne den Vektor zu verlängern oder zu verkürzen. Als Beispiele: Wenn das hier Vektor a ist dann würde in diesem Fall r mal Vektor a genommen worden sein und r würde hier eine Zahl größer als 1 sein, denn der Vektor wurde verlängert und die Orientierung wurde beibehalten. Dies könnte zum Beispiel für Vektor r = 2 der Fall sein. Hier haben wir einen Vektor a und dies ist der Gegenvektor -a. Man könnte also sagen hier wurde mit der Zahl -1 mal genommen um die Orientierung umzukehren aber die Länge gleich zu belassen.

Um die Länge, also den Betrag, eines Vektors zu berechnen müssen wir diese Wurzel hier anwenden. Erstmal schreiben wir den Vektor in Betragsstriche und damit ist dann gemeint, dass wir die Wurzel ziehen aus allen Einträgen quadriert und dann aufsummiert. Also in diesem Fall 1² + 2² + 2² und alles unter einer großen Wurzel. In diesem Fall kommt sogar eine angenehme Zahl heraus nämlich die 3. Geometrisch gesehen wenden wir hier im Grunde den Satz des Pythagoras an. Wenn wir uns das im zweidimensionalen vorstellen dann steht ja der erste Eintrag für die x-Koordinate - also die Verschiebung nach links oder rechts - und der zweite Eintrag steht für die y-Koordinate - also die Verschiebung nach oben oder unten.

Wenn wir also einen Vektor beschreiben verschieben wir erst nach rechts und links und dann nach oben oder unten und daraus entsteht ein rechtwinkliges Dreieck durch den der Vektor in der Hypothenuse dargestellt wird. Und um die Länge dieser Hypothenuse zu berechnen verwenden wir den Satz des Pythagoras. Und weil das Ganze auch im Dreidimensionalen funktioniert, können wir diese Formel hier anwenden.

Das Skalarprodukt.

Hier werden zwei Vektoren miteinander malgenommen und ein Skalar - also eine reelle Zahl - entsteht daraus. Rechnerisch rechnen wir hier 1 · 3 + 0 · 1 + 2 · 4 also die Einträge auf gleicher Höhe werden malgenommen und aufsummiert. Es entsteht dabei hier die Zahl 11. Geometrisch: Wenn das Ergebnis dieser Rechnung 0 ist dann bedeutet das, dass die Vektoren senkrecht - also in einem 90 Grad Winkel - zueinander stehen. Bei diesen Vektoren ist das nämlich der Fall. (2, 2, 4) und (1, -3, 1). Wenn wir hier das Skalarprodukt anwenden kommt eine Null heraus, dass bedeutet diese Vektoren stehen zueinander rechtwinklig.

Wir können den Winkel auch konkret berechnen, dazu ist die Formel ein kleines bisschen komplizierter. Wir haben hier einen Bruch in dem aber auch im Zähler wieder das Skalarprodukt auftaucht. Denn wenn diese Skalarprodukt 0 ergeben würde dann wird der ganze Bruch 0, und wenn bei Cosinus eine 0 herauskommt dann muss der Winkel vorher 90 Grad gewesen sein. Daher ist diese Überprüfung des rechten Winkels im sozusagen eine Vereinfachung von der Winkelberechnung. Berechnen wir den Winkel von (2, 0, 0) und (1, 2, 2). Im Zähler rechnen wir das Skalarprodukt aus, durch die Nullen wird es hier sehr einfach, sodass wir eigentlich nur die 2 · 1 im oberen Eintrag malnehmen müssen. Im Nenner nehmen wir die Beträge mal. Der Betrag des linken Vektors ist 2, der Betrag des rechten Vektors ist 3. Daraus entsteht der Bruch Zwei-Sechstel. Diesen Bruch müssen wir noch in den Cosinus-Hoch-Minus-Eins - oder Arcos Cosinus - einsetzen um schlussendlich den Winkel von ungefähr 70,5 Grad zu erreichen.

Kommen wir noch zum Unterschied von Ortsvektor und Verbindungsvektor. Ein Ortsvektor zeigt immer vom Ursprung zu einem Punkt. Bedeutet wenn wir einen Punkt gegeben haben - hier (3, 4, -1) - können wir den Ortsvektor - also vom Ursprung zu P - einfach genauso als Vektor schreiben: (3, 4, -1). Er zeigt also hier vom Ursprung des Koordinatensystems zu diesem Punkt hin.

Ein Verbindungsvektor hingegen zeigt von einem Punkt zu einem anderen Punkt. Haben wir also die beiden Punkte A und B dann subtrahieren wir nach und nach die Einträge voneinander und zwar B - A. Er die x-Koordinate, dann die y-Koordinate und dann die z-Koordinate. Im Grund was wir hier tun: Wir tun das Gleiche wie vorhin bei der Subtraktion. Wir möchten nämlich den Vektor haben, der von der Spitze von a zur Spitze von b zeigt. Dabei - und das ist ganz wichtig - müssen wir immer beachten, dass wir sozusagen Ziel - Start rechnen.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Vektoren? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

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