Geraden/ Ebenen – online lernen

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Vektoren — Geraden/ Ebenen

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Strukturierter Text des Videos

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7 ? Vektoren ? Geraden/Ebenen

00:00 Einleitung

00:18 Geraden Eigenschaften

01:08 Geraden über Vektoren aufstellen

04:54 Geraden im dreidimensionale

06:24 Geraden Gleichungen aufstellen

08:33 Geraden Gleichungen aufstellen, Richtungsvektor berechnen

10:00 Ebene Eigenschaften

11:21 Ebenen Definition über Vektoren

13:42 Ebenengleichungen Parameterform aufstellen

16:00 Ebenengleichungen Normalen- und Koordinatenform

17:23 Ebenengleichungen Normalenform aufstellen

18:32 Ebenengleichungen Normalenvektor bestimmen

19:51 Ebenengleichungen Normalenvektor berechnen

21:45 Ebenengleichungen Normalen- und Koordinatenform aufstellen

23:47 Schlussworte



Hallo und herzlich willkommen zum Liveforum heute über Geraden und Ebenen. Ich möchte Dir heute zeigen, wie man Gleichungen von Geraden und Ebenen mit Vektoren aufstellen kann und dann auch in verschiedene Formen von Gleichungen überführen kann. Zunächst möchte ich mal beginnen, mit Dir die Eigenschaften der Geraden anzuschauen. Und zwar ist die wichtigste Eigenschaft, dass die Gerade immer durch zwei Punkte definiert ist. Das sind hier jetzt der blaue und der grüne Punkt. Wenn ich diese beiden Punkte auf dem kürzesten Weg miteinander verbinde, dann erhalte ich diese Gerade, die durch diese beiden Punkte verläuft. Ganz wichtig: Diese beiden Punkte oder die Verbindung zwischen den beiden Punkten definiert die Gerade deshalb, weil dadurch sowohl die Position im Raum, als auch die Richtung der Geraden festgelegt ist. Die zweite wichtige Eigenschaft ist aber, dass die Gerade nicht nur zwischen diesen beiden Punkten existiert, sondern auch darüber hinaus. Geraden sind also unendlich lang theoretisch.

Jetzt wollen wir mal versuchen, Geraden über Vektoren aufzustellen. Das hier ist jetzt eine Gerade im Koordinatensystem im zweidimensionalen Fall. Die Punkte A und B sind angegeben und definieren diese orangene Gerade. Und anders als es sonst bei den linearen Funktionen der Fall war, wie man es vielleicht aus Klasse 7 oder 8 noch kennt, wollen wir es jetzt nicht über einen Funktionsterm oder eine Funktionsgleichung machen, die Gerade aufzustellen, sondern wir wollen es jetzt über Vektoren aufstellen. Dazu gibt es folgende Idee: Der erste Punkt, also in dem Fall der Punkt A, soll vom Ursprung aus über einen so genannten Stützvektor erreicht werden. Das wäre dieser Vektor. Der ist fest, ganz einfach deshalb, weil sich die Gerade nicht bewegen soll und heißt Stützvektor, weil er die Gerade sozusagen stützt. Also er verankert im Prinzip die Position der Geraden im Raum. Den zweiten Punkt oder alle anderen Punkte auf dieser Geraden erreichen wir über den Richtungsvektor. Den stellt man also vom Punkt A zum Punkt B auf. Der sieht dann so aus. Und über einen Streckfaktor, der jetzt hier noch nicht zu sehen ist, kann man die Länge dieses Vektors variieren. Das heißt, ich muss nicht von A immer bis nach B laufen, sondern ich kann auch weiterlaufen durch ein Verändern des Streckfaktors oder ich kann auch in die andere Richtung laufen, also von A gar nicht in Richtung B, sondern entgegengesetzt nach unten links zum Beispiel und dann hätte ich im Streckfaktor zum Beispiel ein Minus.

Jetzt wollen wir mal versuchen Stütz- und Richtungsvektor zu bestimmen für diese Gerade. Der Stützvektor ist noch relativ einfach. Das ist einfach der Ortsvektor zum Punkt A, also vom Ursprung zum Punkt A verlaufend. Die Koordinaten von Punkt A kann man ganz gut ablesen hier, das sind -3 und -1. Und weil der Stützvektor der Ortsvektor zu A ist, bekommt der in den Komponenten einfach die Einträge der Koordinaten von Punkt A, also -3 und -1. Der Richtungsvektor ist im Prinzip die Strecke von Punkt A zum Punkt B. Und um jetzt diese Strecke als Vektor auszudrücken, müssen wir den so genannten Differenzvektor bilden, weil der immer eine Verbindung zwischen zwei Punkten symbolisiert. Wenn ich also von Punkt A zum Punkt B laufen möchte, dann muss ich einen Vektor aufstellen, der von A nach B verläuft. Und dafür rechne ich Ortsvektor B minus Ortsvektor A. Das kann man sich einfach erst mal so merken. Wenn ich andersrum laufen möchte, also von B nach A, dann müsste ich jetzt hier Ortsvektor A minus Ortsvektor B rechnen. Das hätte ich hier genauso machen können. Ich mache es aber immer so, dass mein Richtungsvektor von dort losläuft, wo auch mein Ortsvektor endet, also in dem Fall von Punkt A und dann laufe ich zu einem bekannten Punkt auf der Geraden, welcher hier B ist. Ich könnte es aber genauso gut von B nach A aufstellen, das wäre genauso richtig. Wenn ich jetzt hier die Ortsvektoren einsetze, dann muss ich zunächst einmal schauen: Der Punkt B hat den Ortsvektor 2/2. Den kann ich also einsetzen für B und davon ziehe ich dann den Ortsvektor von A ab, also minus 3 minus 1. Dann erhalte ich als Ergebnis 5 und 3, das kommt also daher, dass ich in der ersten Komponente 2 minus minus 3 habe, das ergibt 5 und in der zweiten Komponente habe ich 2 minus minus 1, das ergibt 3, weil minus minus ja plus ergibt.

Das ganze kann auch im dreidimensionalen Fall aufgestellt werden. Hierbei ist das eigentlich genau das gleiche. Das Prinzip bleibt gleich, nur dass einfach die dritte Komponente, also in dem Fall die z-Komponente hinzukommt. Wir haben wieder zwei Punkte vorgegeben. Punkt A und Punkt B. A mit den Koordinaten 4 2 und minus 1. Und B mit den Koordinaten minus 1 3 2. Und diese Punkte definieren wieder eine Gerade, die ich dadurch legen kann. Das ist diese orangene hier wieder. Und als Erstes versuche ich mal den Stützvektor aufzustellen. Das ist der, der vom Ursprung zu einem Punkt auf der Geraden verläuft, in dem Fall nehme ich wieder A. Und das ist deshalb auch einfach der Ortsvektor des Punktes A mit den Einträgen 4 2 minus 1, die man aus den Koordinaten von A erhält. Als Nächstes muss ich den Richtungsvektor dieser Geraden aufstellen. Den möchte ich auch hier wieder vom Ende des Stützvektors, also vom Punkt A zum Punkt B, verlaufen lassen, deswegen muss ich wieder Ortsvektor B minus Ortsvektor A rechnen. Das ist dann minus 1 3 2 minus 4 2 minus 1 und so erhält man dann den Richtungsvektor zu minus 5 1 3.

Wozu brauche ich das Ganze dann? Die Gleichung für eine Gerade setzt sich immer aus dem Stützvektor und dem Richtungsvektor zusammen. Das heißt, sie sind beide darin enthalten. Deswegen muss ich auch beide ausrechnen. Die allgemeine Form der Geradengleichung sieht dann so aus: Ein beliebiger Punkt x auf der Geraden ist gleich der Stützvektor plus lambda, das ist der Streckfaktor, mal den Richtungsvektor. Der Stützvektor ist dabei immer ein Ortsvektor zum Startpunkt der Geraden. Dieser Punkt kann ganz beliebig sein. Ich muss ihn nur kennen oder wissen, dass dieser Punkt eben ganz sicher auf der Geraden liegt. Dann habe ich den Richtungsvektor. Dieser bestimmt eigentlich die Verlaufsrichtung der Geraden, während der Stützvektor die Gerade im Raum sozusagen verankert oder stützt. Und ich habe den Streckfaktor, der verändert einfach die Länge des Richtungsvektors, so dass ich auch jeden Punkt auf der Geraden erreichen kann. Das heißt, ich laufe immer in Richtung des Richtungsvektors, aber immer unterschiedlich weit und so kann ich jeden Punkt auf der Geraden dann erreichen, je nachdem, was ich für einen Wert in den Streckfaktor einsetze.

Jetzt versuchen wir mal, eine Gleichung wirklich aufzustellen für eine Gerade. Ich habe hier die allgemeine Form nochmal hingeschrieben. Und wir tun mal so, als wäre in unserer Aufgabe der Stütz- und der Richtungsvektor gegeben mit 1 minus 1 3 und 2 0 4. Und dann kann ich den Stützvektor als Erstes in die allgemeine Form einsetzen. Und die Gerade g ist dann x ist gleich 1 minus 1 3, das ist eben der Stützvektor, plus lambda mal - lambda ist der Streckfaktor, der bleibt auch so, der kann mal r, mal s oder t heißen, er kann also unterschiedliche Bezeichnungen haben, steht aber immer vor dem Richtungsvektor und wird dann mit diesem multipliziert. Ja und zum Schluss setze ich dann den Richtungsvektor, also 2 0 4 in die Gleichung ein und dann habe ich meine Geradengleichung aufgestellt.

Der allgemeine Fall in der Schule ist aber so, dass ich eigentlich nur zwei Punkte gegeben bekomme und daraus dann den Richtungsvektor zum Beispiel berechnen muss. Die Ortsvektoren dieser beiden Punkte kann man einfach übernehmen, indem man die Koordinaten in die jeweiligen Komponenten des Ortsvektors schreibt, und den Stützvektor, dafür suche ich mir einfach einen der beiden Punkte aus und ich nehme immer Punkt A ganz gerne. Deswegen ist der Stützvektor hier auch der Ortsvektor A, also minus 10, 4 und 1. Und den Richtungsvektor stelle ich wieder von A nach B auf. Also rechne ich wieder Ortsvektor B minus Ortsvektor A und erhalte dann 10 minus 3 und sieben als Ergebnis, wenn ich für die Ortsvektoren die jeweiligen Werte dann auch tatsächlich einsetze.

Ich schreibe die Vektoren hier noch einmal hin. Das ist die gleiche Rechnung wie vorhin, nur dass man sie jetzt noch einmal sieht. Und wenn man jetzt daraus die Geradengleichung machen möchte, dann ist das einfach: ein beliebiger Vektor x auf der Geraden ist gleich ein Stützvektor, also minus 4 10 und 1 plus lambda mal den Richtungsvektor, also 10 minus 3 und sieben. Und schon habe ich die Geradengleichung zu diesen beiden Punkten aufgestellt.

Als nächstes möchte ich weitermachen mit den Eigenschaften einer Ebene. Da bin ich dann auch schon beim zweiten Thema dieses Live-Forums angelangt. Die unterscheiden sich gar nicht so doll von denen von einer Geraden. Es ist so, dass eine Ebene durch drei Punkte definiert ist und nicht durch zwei, wir brauchen also einen mehr. Allerdings darf dieser Punkt nicht auf der gemeinsamen Geraden liegen. Das heißt so viel wie: Ich habe durch den blauen und den grünen Punkt schon eine Gerade definiert, die ist hier auch schon eingezeichnet und der rote Punkte dürfte jetzt nicht auch auf der Geraden liegen, sonst könnte ich mit den drei Punkten noch keine Ebene definieren. Er liegt jetzt zum Glück abseits dieser Geraden und deswegen definieren diese drei Punkte eine Ebene, ich zeichne sie mal ein. Zwischen diesen drei Punkten kann ich also diese Fläche zeichnen und das ist dann die Ebene, die durch diese drei Punkte genau definiert ist. Sowohl die Lage, also wo im Raum, die Ebene liegt, als auch in welcher Richtung die Ebene liegt, ist genau durch diese drei Punkte definiert. Und genau wie Geraden auch sind Ebenen nicht zwischen diesen Punkten begrenzt, sondern das nimmt man einfach nur, um es ganz gut zeichnen zu können. Theoretisch sind diese Ebenen unendlich groß und ragen also über diese Punkte hinaus.

Ebenen gibt es nicht im zweidimensionalen. Da gibt es nur eine einzige Ebene, also die, in der man schreibt oder zeichnet. Deswegen ist es im dreidimensionalen eigentlich viel interessanter. Um eine Ebene zu definieren, wird ein zusätzlicher Richtungsvektor benötigt. Gerade bei der Geraden brauchten wir einen Richtungsvektor. Jetzt bei der Ebene, dadurch, dass wir einen dritten Punkt haben, brauchen wir einen zweiten Richtungsvektor. Aber zunächst die drei Punkte, die, die schon bekannt sind aus dem Beispiel von den Geraden. Und dazu kommt noch ein Punkt C mit den Koordinaten 1 minus 1 1. Und diese drei Punkte, weil sie eben nicht auf einer Gerade liegen, definieren genau eine Ebene. Nämlich diese. Die ist also wieder zwischen den drei Punkte gezeichnet. Aber daran denken: Sie ragt auch über diese Punkte hinaus. Und jetzt kann ich wieder anfangen, wie bei den Geraden auch, dass ich zunächst den Stützvektor bestimme. Da kann ich mir erst mal wieder einen beliebigen Punkt suchen, der aber auf jeden Fall in der Ebene liegt. Ich habe jetzt hier wieder den Punkt A genommen, also ist der Stützvektor wieder der Ortsvektor zu A, also 4 2 minus 1. Dann kann ich zunächst mal den Richtungsvektor von A nach B aufstellen. Dazu muss ich wieder Ortsvektor B minus Ortsvektor A rechnen. Das kennen wir noch aus dem Beispiel mit der Gerade, da setze ich dann die Werte ein. Also minus 1 3 2 minus 4 2 minus 1. Und das ergibt dann minus 5 1 und 3. Und damit haben wir schon den ersten Richtungsvektor. Ich mache es auch hier immer so, dass ich vom Ende des Stützvektors ausgehe und dann jeweils zu dem einen Punkt, also von A nach B, und zu dem anderen Punkt, von A nach C, eben gehe. Der fehlt jetzt noch, der zweite Vektor von A nach C. Dafür rechne ich dann nicht mehr B minus A, sondern C minus A. Durch Einsetzen habe ich dann 1 minus 1 1 minus 4 2 minus 1 und das ergibt minus 3 minus 3 und 2. Und dann habe ich jetzt hier den zweiten Richtungsvektor auch aufgestellt. Und jetzt schauen wir uns direkt an, wofür ich das brauche oder wie ich das dann in den Gleichungen verwende.

Und da ist die erste Ebenengleichungsform, die wir kennenlernen, die Parameterform. Sie ist ähnlich wie die Form der Geradengleichung. Sie besteht jetzt aus dem Stützvektor und zwei Richtungsvektoren, also eben genau einem mehr als bei der Geraden und sie sieht so aus. Der erste Teil sollte bekannt vorkommen und sie ist x ist gleich der Stützvektor plus lambda mal dem ersten Richtungsvektor, wobei lambda wieder der Streckfaktor ist und RV1 der erste Richtungsvektor und dann kommt das ganze nochmal mit dem zweiten Richtungsvektor dahinter, also plus mü mal Richtungsvektor zwei. Dabei ist mü einfach ein zweiter Streckfaktor. Wie bei den Geraden auch ist der Stützvektor einfach ein Ortsvektor zum Startpunkt der Ebene. Das kann irgendein beliebiger sein, der in der Ebene liegt. Der Richtungsvektor oder die Richtungsvektoren bestimmen die Verlaufsrichtung der Ebene, also wie die Ebene im Raum liegt, während der Stützvektor sagt, wo die Ebene im Raum liegt. Und die Streckfaktoren verändern wieder die Länge der beiden Richtungsvektoren. Und je nachdem wie ich die Längen dann verändere und wie weit ich in welche Richtung gehe, kann ich auch wieder jeden Punkt auf der Ebene damit erreichen.

Machen wir direkt ein Beispiel dazu. Wir haben den Stützvektor. Den haben wir gerade schon abgelesen, das ist der Ortsvektor zum Punkt A, minus 4 10 und 1. Dann brauchen wir den Richtungsvektor von A nach B, das ist der erste Richtungsvektor. Der ergibt sich zu 10 minus 3 und 7. Das haben wir auch gerade schon gesehen, er ist nämlich aus dem Beispiel übernommen. Und den zweiten Richtungsvektor, da rechnen wir C minus A, damit er von A nach C verläuft und der ergibt sich zu minus 3 minus 3 und 2. Und dann kann man das wieder in die allgemeine Parameterform für die Ebene einsetzen und dann erhalten wir x zu minus 4 10 und 1. Das ist der Stützvektor plus lambda mal den ersten Richtungsvektor, 10 minus 3 7, plus mü mal den zweiten Richtungsvektor, also minus 3 minus 3 und 2.

Es gibt noch zwei weitere Ebenenformen oder Formen von Ebenengleichungen, das ist einmal die Normalen- und zum anderen die Koordinatenform. Die unterschiedlichen Formen können jeweils in die anderen Formen überführt werden und es gibt jeweils für die Ebenenformen die Parameterform, die kennen wir jetzt schon, die Normalenform und die Koordinatenform. Anders als bei der Parameterform ist der Gedanke bei der Normalen- und Koordinatenform nicht, zwei Stützvektoren die Verlaufsrichtung der Ebene angeben zu lassen, sondern einen so genannten Normalenvektor.

Wie sieht das ganze aus? Also wir haben hier unsere Ebene. Der Stützvektor bleibt weiterhin erhalten. Das ist der rote Punkt hier. Er gibt wieder an, wo in meinem Raum die Ebene liegt. Und das hier ist der Normalenvektor. Er hat folgende Eigenschaft: Er steht nämlich immer senkrecht, also rechtwinklig, auf dieser Ebene. Und zwar in sämtliche Richtungen steht er senkrecht. Und jetzt kann man sich vorstellen, wenn ich diesen Vektor kippe oder die Richtung des Vektors verändere und er aber trotzdem immer senkrecht auf einer Ebene steht, dann muss sich eben die Ebene auch mitbewegen, so dass sich über diesen Vektor die Richtung der Ebene definieren kann. Die Ebenengleichung setzt sich aus Stützvektor und Normalenvektor, nicht mehr aus zwei Richtungsvektoren und dem Stützvektor, zusammen und sie sieht dann so aus. Wir haben den Vektor x minus den Stützvektor, das in Klammern, im Skalarprodukt mit dem Normalenvektor. Das muss null ergeben. Also x minus SV, den Stützvektor, das gibt einen Vektor, und den multipliziere ich nochmal mit dem Normalenvektor und da muss null herauskommen. Das SV steht für den Stützvektor wie vorhin auch und das n ist hier der Normalenvektor. Wie vorhin auch: der Stützvektor bestimmt die Position im Raum. Der Normalenvektor, dadurch, dass er überall senkrecht zur Ebene steht, bestimmt die Richtung der Ebene. Und dadurch, dass der überall senkrecht zur Ebene steht, steht er auch zu den zwei Richtungsvektoren aus der Parameterform senkrecht. Und das ist eine Eigenschaft, die können wir uns zu Nutze machen, wenn wir aus einer Parameterform die Normalenform bestimmen wollen.

Da muss man nämlich zunächst den Normalenvektor bestimmen. Und da er senkrecht steht auf den Vektoren der Parameterform, können wir die Rechtwinkligkeitsbedingung anwenden. Und die sagt, dass zwei Vektoren, deren Skalarprodukt null ergibt, senkrecht zueinander sind. Also, wenn der Normalenvektor im Skalarprodukt mit dem ersten Richtungsvektor null ergibt und auch mit dem zweiten Richtungsvektor null ergibt, dann steht er senkrecht auf beiden Richtungsvektoren. Dafür können wir dann folgende Gleichungen aufstellen. Also Richtungsvektor 1 mal Normalenvektor muss null ergeben, damit er schon mal senkrecht ist. Aber auch Richtungsvektor 2 mal den Normalenvektor muss null ergeben, damit auch er zweite Richtungsvektor zum Normalenvektor senkrecht ist. Dann haben wir hier ein lineares Gleichungssystem, das man lösen kann. Aber erst dann, wenn man sich eine Komponente des Normalenvektors zum Beispiel 1 wählt. Also die kann man sich frei wählen Für sie kann man auch 10 wählen und es ist auch egal welche Komponente man da wählt. Die anderen Komponenten ergeben sich dementsprechend je nachdem, wie man sich den Wert gewählt hat. Ich wähle immer den ersten Wert des Normalenvektors 1, dann bleiben die Zahlen meistens übersichtlich. Machen wir das mal an einem kleinen Beispiel. Wir haben also die Richtungsvektoren von gerade aus dem Beispiel und wir wollen jetzt aus den beiden den Normalenvektor der Ebene bestimmen. Die Bedingung dafür lautet: Erster Richtungsvektor mal Normalenvektor soll gleich null sein, also 10 minus 3 und 7 mal n1 n2 n3, das ist der Normalenvektor, und seine jeweiligen Einträge. Das soll null ergeben und auch der zweite, also minus 3 minus 3 2 mal n1 n2 n3 soll null ergeben. Dann erhalte ich daraus folgende Gleichungen, wenn ich dieses Skalarprodukt dann jeweils auflöse. Dann habe ich 10 mal n1 minus 3 mal n2 plus 7 mal n3 gleich null. Und für die zweite Gleichung habe ich dann minus 3 mal n1 minus 3 mal n2 plus 2 mal n3 gleich null. Jetzt bin ich an dem Punkt, dass ich zwei Gleichungen und drei Unbekannten habe. Und jetzt muss ich mir einen von diesen Parametern, von den Unbekannten, wählen. Und da wähle ich jetzt der Einfachheit halber den ersten Parameter zu 1, also n1 gleich 1 und das kann ich dann in beide Gleichungen einsetzen. Wenn ich das tue, erhalte ich für die erste Gleichung 10 minus 3 n2 plus 7 n3 gleich null und für die zweite Gleichung minus 3 minus 3 n2 plus 2 n3 gleich null. Das ist also jetzt ein lineares Gleichungssystem aus zwei Gleichungen und zwei Unbekannten und dann kommt das Ergebnis heraus ? ich möchte das Gleichungssystem jetzt hier nicht lösen, dafür gibt es nochmal ein extra Live Forum, was Du dir anschauen kannst, hier nur das Ergebnis. Daraus erhalte ich also den Normalenvektor 1 minus 41 15tel und minus 13 5tel.

Jetzt kann ich, da ich ja den Stützvektor und den Normalenvektor der Ebene kenne, diese beiden Sachen in die Normalenform einsetzen und da erhalte ich das hier als Normalenform. Also ein beliebiger Punkt der Ebene minus den Stützvektor, also minus 4 10 und 1, das Ganze in Klammern und im Skalarprodukt mit dem Normalenvektor, also 1 minus 41 15tel und minus 13 5tel, das soll gleich null ergeben. Und das ist dann schon die Normalenform der Ebene, die wir vorhin auch schon im Beispiel gesehen haben.

Und aus der Form jetzt die Koordinatenform zu machen, ist nur noch ein kleiner Schritt. Denn man muss dieses Skalarprodukt, was da oben jetzt steht, aus der eckigen Klammer und dem normalen Vektor ausrechnen. Das geht wie bei einer skalaren Gleichung auch. Ich muss zunächst den Vektor x mit dem Normalenvektor multiplizieren und dann den Stützvektor mit dem Normalenvektor. Also zunächst x1 mal 1, das ist x1, minus 41 15tel mal x2 minus 13 5tel mal x3, dann kommt das Minus, was auch oben in der Klammer, in der Normalenform zu sehen ist, und dann wird der Stützvektor mit dem Normalenvektor multipliziert. Also minus 4 mal 1 minus 10 mal minus 41 15tel minus 1 mal minus 13 5tel und das Ganze soll gleich null sein. In einem letzten Schritt kann ich dann die ganzen Zahlen zusammenrechnen und dann auf die rechte Seite bringen. Das habe ich hier schon mal gemacht. Rechts kommt dann 509 15tel raus und links bleiben die Anteile mit den Komponenten von x stehen. Also x1 minus 41 15tel x2 minus 13 5tel x3 = 509 15tel. Und dann habe ich schon aus der Normalenform die Koordinatenform der Ebene gemacht.

Vielen Dank für Deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass ich Dir die Inhalte unseres Liveforums heute verständlich gezeigt habe und all deine Fragen zu dem Thema deshalb beantworten konnte. Um deine Abiprüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir Dir unseren speziellen neuen Abi Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort. Damit Du eben bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in die Prüfung gehen kannst. In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir Dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und Dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit Dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre. Alles eben für Deine bessere Note.

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