Abstände und Winkel – online lernen

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Vektoren — Abstände und Winkel

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Vektoren ? Abstände und Winkel im R^3

Abstände und Winkel

00:00 Einleitung

00:11 Einführung in das Thema

01:35 Abstand Punkt-Gerade

04:09 Abstand Gerade-Gerade

05:21 Abstand Punkt-Ebene

08:07 Abstand Gerade-Ebene

10:12 Abstand Ebene-Ebene

11:45 Abstand Gerade-Gerade

15:27 Winkel Gerade-Ebene

16:40 Winkel Ebene-Ebene



Hallo und herzlich Willkommen. Ich bin der Manuel und ich erzähl? dir etwas über Abstände und Winkel im R hoch 3 zwischen Ebenen, Geraden und Punkten. Zunächst einmal eine kurze Einführung: Abstände im dreidimensionalen Raum lassen sich zwischen allen möglichen geometrischen Figuren, also Ebenen, Geraden und Punkten, bestimmen. Allen Abstandsberechnungen gemeinsam ist, dass der kürzeste Abstand zweier Figuren immer der senkrechte Abstand zwischen diesen geometrischen Körpern ist; was das bedeutet, sehen wir nach dem ersten Beispiel. Grundlage für eine Abstandsberechnung bildet die sogenannte Punkt-Punkt-Abstandsformel. Wenn man den Punkt A mit den Koordinaten a1, a2 und a3 und den Punkt B mit den Koordinaten b1, b2 und b3 hat, dann errechnet sich der Abstand zwischen den beiden Punkten über die Wurzel aus b1 minus a1 zum Quadrat plus b2 minus a2 zum Quadrat plus b3 minus a3 zum Quadrat.

Diese Punkt-Punkt-Abstandsformel ist genau dieselbe Formel, wie die Formel für die Länge des Vektors AB. Der Vektor AB errechnet sich über Ortsvektor B minus Ortsvektor A, also b1 minus a1 für die erste Koordinate, b2 minus a2 für die zweite Koordinate und b3 minus a3 für die dritte Koordinate. Die Länge des Vektors bildet bzw. der Betrag des Vektors AB errechnet sich dann, indem ich jede Koordinate quadriere, das Ganze aufsummiere und die Wurzel drüber ziehe.

Schauen wir uns zunächst den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden an. Der Abstand zwischen einem Punkt A und einer Geraden g lässt sich mithilfe einer Hilfsebene errechnen. Die Ebene soll hierbei senkrecht zur Geraden stehen und das ist dann der Fall, wenn man den Richtungsvektor von g als normalen Vektor von H verwendet. Das heißt, wir konstruieren eine Hilfsebene H, die im Punkt A enthält und orthogonal zu g verläuft. Anschließend bestimme ich den Schnittpunkt L von g mit der Ebene und berechne dann den Verbindungsvektor AL. Der Abstand des Punktes A zur Geraden g ist dann der Abstand von Punkt A zu L bzw. der Betrag des Vektors AL.

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an: Wir haben die Gerade g mit der Gleichung 1, -3, 1 plus Lambda 2, 0, 2 und den Punkt A mit den Koordinaten 0, 3, -2. Zunächst stellen wir eine Hilfsebene auf, indem man den Richtungsvektor als Normalenvektor verwendet. Also 2x1 + 0x2 + 2x3 minus d gleich 0 und d errechnen wir, indem wir A in die Gleichung einsetzen und erhalten d gleich minus 4 und damit 2x1 plus 2x3 plus 4 ist gleich 0. Anschließend bilden wir aus der Geradengleichung den allgemeinen Geradenpunkt 1 plus 2 Lambda für die erste Koordinate, minus 3 für die zweite Koordinate und 1 plus 2 Lambda für die dritte Koordinate und diesen allgemeinen Geradenpunkt setzen wir in die Ebene ein. Also 2 mal Klammer auf 1 plus 2 Lambda Klammer zu plus 2 mal Klammer auf 1 plus 2 Lambda Klammer zu plus 4 ist gleich 0 und durch Auflösen nach Lambda erhalten wir minus 1. Lambda gleich minus 1 setzen wir in den allgemeinen Geradenpunkt ein und erhalten anschließend Punkt L minus 1, minus 3, minus 1. Anschließend bilden wir den Verbindungsvektor AL, indem wir L minus A rechnen und erhalten dann als Vektor minus 1, minus 6, 1. Der Abstand des Punktes A zur Geraden g ist nun der Betrag des Verbindungsvektors AL, also Wurzel aus minus 1 Quadrat plus minus 6 Quadrat plus 1 Quadrat ist gleich Wurzel 38, gleich 6, 16.

Als nächstes schauen wir uns den Abstand zwischen zwei Geraden an. Der Abstand zwischen einer Geraden g und einer parallelen Geraden h lässt sich genauso ermitteln, wie der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden. Zunächst muss man ermitteln, ob die Geraden g und h überhaupt parallel sind. Anschließend geht man wie bei Punkt - Gerade vor. Man kann hierbei den Aufpunkt der einen Geraden nehmen und somit, zum Beispiel, den Abstand des Punktes A, also auf Punkt g zur Geraden h berechnen. Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an: Wir haben die Gerade g mit der Gleichung 10, minus 10, 8 plus Lambda 6, minus 8, 2 und die Gerade h mit der Gleichung 2, 9, 4 plus my mal 3, minus 4, 1. Wir schauen, ob die beiden Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sind. Das heißt, wir schauen, ob es ein k gibt, sodass dieser Vektor herauskommt. 2 mal 3 ist 6, 2 mal minus 4 ist minus 8 und 2 mal 1 ist 2, das heißt, es gibt ein gemeinsames k und somit sind die beiden Geraden parallel.

Schauen wir uns nun den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene an. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene E lässt sich über die sogenannte ?Hessesche Normalenform? ermitteln. Zunächst wandelt man eine Ebene, die in Parameterform angegeben ist, in die Koordinatenform um. Anschließend bestimmt man vom Normalenvektor die Länge und dividiert die Ebenengleichung durch den Betrag des Normalenvektors und dies führt zur sogenannten ?Hesseschen Normalenform?. Der Abstand von A zur Ebene E errechnet sich durch einfaches Einsetzen von A in die ?Hessesche Normalenform? von E.

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an: Wir haben die Ebene mit der Gleichung 3, minus 2, 4 plus Lambda mal 4, 1, minus 1 plus my mal 2, 0, minus 1 und den Punkt A 2, minus 4, 7. Zunächst einmal bilden wir aus den beiden Richtungsvektoren der Ebene das Kreuzprodukt. Es heißt, wir berechnen 1 mal minus 1 minus minus 1 mal 0 für die erste Koordinate, minus 1 mal 2 minus 4 mal minus 1 für die zweite Koordinate und 4 mal 0 minus 2 mal 1 für die dritte Koordinate. Dann erhalten wir als Vektor minus 1, 2, minus 2. Diesen Normalenvektor können wir nun zu einer Ebenengleichung umformen, das heißt, minus x1 plus 2x2 minus 2x3 minus d ist gleich 0. Diese Ebene in Koordinatenform müssen wir noch vollständig berechnen, d.h., uns fehlt noch das d, und das d errechnen wir, indem wir noch den Aufpunkt der Ebene einsetzen und erhalten d gleich minus 15, also minus x1 plus 2x2 minus 2x3 plus 15 ist gleich 0. Nun haben wir die Ebene in Koordinatenformdarstellung umgerechnet. Nun müssen wir noch die Ebene durch den Betrag des Normalenvektors n teilen. Der Betrag des Normalenvektors n ist Wurzel aus minus 1 Quadrat plus 2 Quadrat plus 2 Quadrat ist gleich 3 und wenn wir nun durch 3 teilen, erhalten wir die sogenannte Hessesche Normalenform. Den Abstand des Punktes A zur Ebene erhalten wir, indem wir jetzt den Punkt A 2, minus 4, 7 in die Hessesche Normalenform einsetzen, also (minus 2 plus 2 mal minus 4 minus 2 mal 7 plus 15) geteilt durch 3 und da Abstände immer nur positiv sein können, müssen wir noch in Betrag setzen und erhalten Betrag von minus 3 ist gleich 3.

Schauen wir uns nun den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene an. Der Abstand einer Geraden g zu einer parallelen Ebenen E lässt sich ebenfalls über die ?Hessesche Normalenform? ermitteln. Zunächst bestimmt man, ob die Gerade g und die Ebene E überhaupt parallel sind. Anschließend wandelt man die Ebenengleichung, die auch hier in Koordinatenform angegeben sein muss, in die Hessesche Normalenform um. Der Abstand von der Geraden g zur Ebene E errechnet sich durch einfaches Einsetzen des Aufpunktes von g in die Hessesche Normalenform von E.

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an. Wir haben die Gerade g mit der Gleichung 7, 1, minus 7 plus Lambda mal 4, 4, 3 und die Ebene mit der Gleichung 6x1 minus 8x3 plus 2 gleich 0. Hier liegt nun die Ebene bereits in Koordinatenform vor und wir müssen nun schauen, ob der Richtungsvektor der Geraden, also 4, 4, 3 und der Normalenvektor der Ebene, also 6, 0, minus 8 im Skalarprodukt 0 ergeben. 4 mal 6 plus 4 mal 0 plus 3 mal minus 8 ist 24 plus 0 minus 24 ist gleich 0. Das heißt, die Gerade g und die Ebene E sind parallel zueinander. Anschließend wandeln wir die Ebenengleichung in die Hessesche Normalenform um, das heißt, wir brauchen den Betrag des Normalenvektors n, also Wurzel aus 6 Quadrat plus 0 Quadrat plus minus 8 Quadrat und die Wurzel drumrum und teilen dann die Ebenengleichung durch den Wert, der herauskommt und erhalten hier nun die Hessesche Normalenform. Anschließend setzen wir den Aufpunkt der Geraden in die Hessesche Normalenform ein, d.h., (6 mal 7 minus 8 mal minus 7 plus 2) geteilt durch 10, das Ganze in Betrag ist gleich 10.

Schauen wir uns nun den Abstand zwischen zwei Ebenen an. Der Abstand einer Ebene F zu einer parallelen Ebene E lässt sich ebenfalls über die sogenannte ?Hessesche Normalenform? ermitteln. Auch hier prüft man zunächst, ob die Ebene F und die Ebene E parallel sind. Anschließend wandelt man die Ebene E, die auch hier in Koordinatenform angegeben sein muss, in die Hessesche Normalenform um und der Abstand der Ebene F zur Ebene E errechnet sich durch einfaches Einsetzen des Aufpunktes von F in die Hessesche Normalenform von E.

Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an. Wir haben die Ebene F mit der Gleichung 3 minus 2, 10 plus Lambda mal 2, 2, 1 plus my mal minus 3, minus 3, minus 1 und die Ebene mit der Gleichung x1 minus x2 minus 3 ist gleich 0. Die Ebene liegt hier bereits in Koordinatenform vor und wir prüfen, ob einer der beiden Richtungsvektoren der Ebene und der Normalenvektor im Skalarprodukt 0 ergeben. 2 mal 1 plus 2 mal minus 1 plus 1 mal 0 ist 0, das heißt F ist parallel zu E. Anschließend wandeln wir die Ebene in die Hessesche Normalenform um, das bedeutet, wir teilen durch die Wurzel aus 1 Quadrat plus (minus 1) Quadrat und erhalten dann Wurzel 2 und setzen am Schluss den Aufpunkt der Ebene in die Hessesche Normalenform ein, das heißt, 3 minus (minus 2) minus 3 geteilt durch Wurzel 2 ist gleich Wurzel 2.

Schauen wir uns nun den Abstand zweier Geraden an und zwar den Abstand einer Geraden g zu einer windschiefen Geraden h. Dieser Abstand lässt sich auch über die sogenannte Hessesche Normalenform ermitteln. Zunächst ermittelt man, ob die Gerade g und h überhaupt windschief sind. Anschließend berechnet man einen Vektor, der sowohl zu g als auch zu h senkrecht ist. Dies lässt sich erreichen, indem man aus den beiden Richtungsvektoren das Kreuzprodukt bildet und dieser Vektor wird anschließend Normalenvektor der Ebene E, die die Gerade g beinhaltet und zu h parallel ist. Der Abstand von der Geraden g zur Geraden h errechnet sich dann als der Abstand des Aufpunktes von der einen Geraden zur Hesseschen Normalenform. Also eben zur Hilfslinie. Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an. Wir haben die Gerade g mit der Gleichung 3, minus 2, 4 plus Lambda 4, 1, minus 1 und die Gerade h mit der Gleichung 2, minus 4, 7 plus my mal 2, 0, minus 1. Zunächst schauen wir ob die beiden Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sind. 2 mal 2 wäre 4, aber es gibt keine Zahl, die mal 0 eins ergibt, das heißt, g und h sind nicht parallel. Das hier kein Schnittpunkt vorliegt, müsste man separat ebenfalls prüfen. Anschließend bilden wir aus den beiden Richtungsvektoren das Kreuzprodukt, das heißt, 4, 1, minus 1 kreuzmultipliziert 2, 0, minus 1 und das ergibt minus 1, 2, minus 2. Zum Kreuzprodukt kannst du dir im Online-Lern-Center unter Vektoren in der Oberstufe noch ein Lernvideo angucken. Der Normalenvektor führt dann zu der Gleichung minus x1 plus 2x2 minus 2x3 minus d gleich 0 und durch Einsetzen von P erhalten wir d gleich minus 15. Dann haben wir die Ebenengleichung in Koordinatenform minus x1 plus 2x2 minus 2x3 plus 15 ist gleich 0. P ist nichts anderes als der Aufpunkt von der Geraden g und wir setzen deswegen den Punkt P ein, damit sichergestellt ist, dass die Ebene unsere Gerade g beinhaltet; automatisch ist diese Hilfsebene nun aber auch parallel zur Geraden h, weil wir ja den Normalenvektor über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren gebildet haben und somit sichergestellt ist, dass der Normalenvektor senkrecht auf der Geraden g und senkrecht auf der Geraden h steht. Nun müssen wir die Ebenengleichung noch in die Hessesche Normalenform umwandeln - dies machen wir, indem wir auch wieder durch den Betrag des Normalenvektors n teilen, also Wurzel aus minus 1 Quadrat plus 2 Quadrat plus 2 Quadrat und wir erhalten den Abstand zwischen den beiden Geraden, indem man den Aufpunkt der Geraden h in die Hessesche Normalenform einsetzt, also minus 2 plus 2 mal minus 4 minus 2 mal 7 plus 15 geteilt durch den Wurzelausdruck, das Ganze in Betrag ist gleich Betrag von minus 3 ist gleich 3.

Schauen wir uns nur noch an, wie wir den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen. Wenn eine Gerade und eine Ebene nicht parallel sind, dann schließen die Gerade g und die Ebene E einen Winkel ein. Um den Winkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene E zu ermitteln, setzt man den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden in die Formel Sinus Phi ist gleich Normalenvektor n skalar multipliziert mit Richtungsvektor u geteilt durch Betrag von n mal Betrag von u ein.

Schauen wir uns hierzu ein Beispiel an: Wir haben die Gerade g mit der Gleichung 7, 1, minus 7 plus Lambda 4, 4, 7 und die Ebene mit der Gleichung 6x1 minus 8x3 plus 2 ist gleich 0, wir setzen den Normalenvektor 6, 0, minus 8 und den Richtungsvektor 4, 4, 7 ein. 6, 0, minus 8 Skalarprodukt 4, 4, 7 geteilt durch Wurzel 100 mal Wurzel 81 ist gleich minus 32 neunzigstel. Das Ganze lösen wir nach Phi auf und erhalten als Winkel minus 20,83 Grad.

Wenn eine Ebene und eine zweite Ebene nicht parallel sind, dann schließen die Ebene F und die Ebene E einen Winkel ein. Diesen Winkel errechnen wir diesmal über den Cosinus und wir setzen als Vektoren den Normalenvektor von E und den Normalenvektor von F ein. Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an: Wir haben die Ebene mit der Gleichung 3x1 minus 2 x2 minus 1x3 plus 2 ist gleich 0 und die Ebene E mit der Gleichung 4x1 plus 3x2 plus 2x3 plus 2 ist gleich null. Die Normalenvektoren setzen wir in die Gleichung ein, das heißt Cosinus von Phi ist gleich 3, minus 2, minus 1 Skalarprodukt 4, 3, 2 geteilt durch Wurzel 14 mal Wurzel 29 ist gleich 4 durch Wurzel 406. Das Ganze lösen wir nach Phi auf und erhalten dann einen Winkel von 78,55 Grad.

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