Wahrscheinlichkeiten – online lernen

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Stochastik — Wahrscheinlichkeiten

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Wahrscheinlichkeiten.
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Strukturierter Text des Videos

Dieser Text wurde maschinell erstellt.

Stochastik Wahrscheinlichkeiten

00:00 Einleitung

00:15 Grundbegriffe

01:59 Gegenereignis

04:05 Absolute Häufigkeit

05:40 Relative Häufigkeit

07:36 Zusammenhang Ereignis/Gegenereignis

09:19 Anwendungsbeispiel: Urnenmodell

12:12 Bedingte Wahrscheinlichkeiten

23:33 Abschlussworte



Hallo und herzlich Willkommen zu den Lernvideos der Schülerhilfe.

Mein Name ist Markus und ich zeige dir hier die wichtigsten Grundlagen zum Thema Stochastik und speziell zu bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Fangen wir mit den Grundbegriffen an.

In mathematischer Sprache, speziell in der Stochastik, bezeichnet x ein Ereignis, dass zutreffen oder nicht zutreffen kann. Dann ist p von x die sogenannte Auftrittswahrscheinlichkeitfür das Ereignis x.

Schauen wir uns das Ganze mal in einem Beispiel an.

Hier haben wir einen Behälter, in dem sich zwei rote und eine blaue Kugel befinden. Dann nennen wir r das Ereignis, dass eine rote Kugel gezogen wird und b das Ereignis, dass eine blaue Kugel gezogen wird. Diese beiden Buchstaben sind natürlich frei wählbar, bieten sich hier aber aufgrund der Farben sehr an.

Schauen wir uns nun die beiden Auftrittswahrscheinlichkeiten der Ereignisse an.

Hier haben wir die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass unser gesuchtes Ereignis r ist, also, dass eine rote Kugel gezogen wird. Da wir zwei rote Kugeln haben und insgesamt drei Kugeln im Behälter sind, ist die Wahrscheinlichkeit zwei Drittel. Ausgerechnet also ungefähr sechsundsechzig Komma sieben Prozent.

Die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass eine blaue Kugel gezogen wird, ist dann natürlich ein Drittel und das ist ungefähr dreiunddreißig Komma drei Prozent.

Hier können wir uns schon einmal merken, dass Wahrscheinlichkeiten immer in Dezimalbruchschreibweise oder in Prozent angegeben werden.

Außerdem müssen sie sich immer zwischen null und eins in Dezimalbruchschreibweise oder zwischen null Prozent und hundert Prozent in Prozentschreibweise befinden.

Das Besondere an den Ereignissen in der Stochastik ist, dass sie entweder eintreffen oder nicht eintreffen.

Haben wir zum Beispiel ein Ereignis x mit der Auftrittswahrscheinlichkeit p von x, dann lautet das sogenannte Gegenereignis, dass also dieses Ereignis nicht eintrifft, x Strich mit der dazugehörigen Auftrittswahrscheinlichkeit p von x Strich.

Schauen wir uns das Ganze an einem Beispiel an.

Haben wir zum Beispiel das Ereignis x: eine rote Kugel wird gezogen, dann ist das Gegenereignis, dass dieses Ereignis nicht eintrifft, x Strich und eswird keine rote Kugel gezogen.

Das Nächste - unser Ereignis lautet: ich treffe mindestens dreimal, also dreimal und mehr.

Dann ist unser Gegenereignis: ich treffe höchstens zweimal, also zweimal oder weniger. Klar, oder?

Schauen wir uns das Nächste an:ich würfele grade Augenzahlen. Das Gegenereignis muss dann lauten: ich würfele ungerade Augenzahlen.

Schauen wir uns dieses Beispiel hier an: eine rote und blaue Kugel wird gezogen. Dann lautet das Gegenereignis dazu: es wird keine rote und keine blaue Kugel gezogen.

Schauen wir uns das an: Alle Handys funktionieren. Das Gegenereignis lautet dann einfach: kein Handy funktioniert.

Und ein letztes Beispiel: ich esse höchstens drei Äpfel und das Gegenereignis dazu lautet: ich esse mindestens vier Äpfel.

Wollen wir jetzt mit Wahrscheinlichkeiten rechnen, sind zwei Größen wichtig.

Die erste ist die absolute Häufigkeit.

Die absolute Häufigkeit wird hier so geschrieben: groß a, ein tief gestelltes n, Klammer auf großes E Klammer zu. Man sagt dazu auch a n von e.

Sie gibt an, wie oft das Ereignis e innerhalb eines Zufallsexperimentes, welches n- mal durchgeführt wird, aufgetreten ist.

Klingt erstmal kompliziert. Schauen wir uns das Ganze aber einmal an diesem Beispiel hier an.

Ein Würfel wird fünfhundertmal gewürfelt. Insgesamt erhält du fünfundachtzigmal eine sechs als Augenzahl.

Wie groß ist die absolute Häufigkeit?

Dann ist die Lösung: die absolute Häufigkeit a nach fünfhundert Würfen für das Ereignis eine sechs wird gewürfelt ist fünfundachtzig.

Gar nicht so schwer, oder?

Das heißt, die absolute Häufigkeit beschreibt einfach nur wie oft ein Ereignis unter einer bestimmten Anzahl von Würfen, beziehungsweise von Durchführungen, auftritt.

Eine weitere Größe, die wir brauchen, ist die relative Häufigkeit.

Die relative Häufigkeit beschreibt folgendes: tritt ein Ereignis, hier e genannt, bei n Versuchen k- mal ein, so heißt die Zahl (hier geschrieben klein r, tief gestelltes n, Klammer auf großes e Klammer zu) ausgesprochen dann: r n von e gleich k durch n ? relative Häufigkeit des Ereignisses e.

Also dieser komplizierte Ausdruck wird relative Häufigkeit eines Ereignisses e genannt, wobei e das Ereignis ist, k das Auftreten eines bestimmten Ereignisses und n die Versuchsanzahl.

Schauen wir uns das Ganze wieder an unserem Beispiel an.

Hier haben wir wieder das Beispiel ein Würfel wird fünfhundertmal gewürfelt. Insgesamt erhält du fünfundachtzigmal eine sechs als Augenzahl.

Nun ist aber die Frage, wie groß ist die relative Häufigkeit?

Die Lösung ist dann ganz einfach: unser n sind fünfhundert Würfe, unser k sind fünfundachtzigmal die sechs. Das heißt, die relative Häufigkeit bei fünfhundert Würfen für das Ereignis eine sechs zu würfeln ist k durch n, also fünfundachtzig durch fünfhundert.

Das rechnet man mit dem Taschenrechner und erhält null Komma eins sieben oder auch siebzehn Prozent.

Wir erinnern uns: Wahrscheinlichkeiten werden immer in Dezimalbruchschreibweise oder als Prozent angegeben.

Jetzt möchten wir noch einen Zusammenhang zwischen dem Ereignis und seinem Gegenereignis finden.

Sei x also ein Ereignis und p von x die relative Auftrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses.X Strich ist dann das Gegenereignis.

Ist dies der Fall, dann gilt immer: die Auftrittswahrscheinlichkeit von x plus die Auftrittswahrscheinlichkeit von x Strich ist zusammen eins, also hundert Prozent.

Dies ist genau so, weil immer eines dieser beiden Ereignisse auftreten muss.

Tritt das Ereignis ein, dann ist das Gegenereignis nicht eingetreten.

Tritt das Gegenereignis ein, ist das richtige Ereignis nicht eingetreten.

Treten beide ein, ist alles eingetreten, was überhaupt möglich ist, also hundert Prozent.

Hier ein Beispiel: ist p von x zum Beispiel null Komma zwei fünf, dann ist automatisch p von x Strich null Komma sieben fünf.

Die Auftrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses x ist also null Komma zwei fünf oder fünfundzwanzig Prozent und damit die eins vollgemacht werden kann, muss also das Gegenereignis, beziehungsweise die Auftrittswahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, null Komma sieben fünf sein, weil null Komma zwei fünf und null Komma sieben fünf zusammen eins ergeben.

Schauen wir uns nun ein Anwendungsbeispiel an.

Hier das sogenannte Urnenmodell.

Hier rechts haben wir den Behälter von vorhin. In ihm befinden sich wieder zwei rote und eine blaue Kugel.

Die Vorgabe ist diesmal, dass wir zweimal ziehen ohne die Kugeln zurückzulegen. Das heißt wir ziehen einmal, behalten die Kugel aber draußen und ziehen dann aus den übrigen Kugeln nochmal.

Hieraus entsteht folgendes Baumdiagramm.

Ziehen wir zum ersten Mal, dann haben wir die Wahrscheinlichkeit eine rote und eine blaue Kugel zu ziehen, wobei die rote Kugel mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Drittel auftritt, da wir zwei rote und insgesamt drei Kugeln im Behälter haben.

Die Wahrscheinlichkeiteine blaue Kugel zu ziehen, ist hierbei ein Drittel, da wir aus drei Kugeln eine blaue im Behälter haben.

Haben wir jetzt zum ersten Mal gezogen, sind nur noch zwei Kugeln im Behälter.

Haben wir eine rote Kugel gezogen, ist noch eine rote und eine blaue drin. Die Wahrscheinlichkeit also rot zu ziehen ist ein halb, die Wahrscheinlichkeit eine blaue zu ziehen ist auch ein halb, da jeweils eine Kugel farbig ist von insgesamt zwei Kugeln.

Wir haben also eine Fifty- fifty Chance.

Haben wir zuerst blau gezogen, dann ist keine blaue Kugel mehr im Behälter, da wir die einzige blaue Kugel herausgenommen haben.

Die Wahrscheinlichkeit nun also blau zu ziehen ist null.

Die Wahrscheinlichkeit eine von den beiden roten Kugeln zu ziehen, die übrig geblieben sind, ist natürlich eins, also hundert Prozent, da nur noch rote im Behälter sind.

Wir sehen hier sehr schön das Zusammenspiel von Ereignis und Gegenereignis.

Ziehen wir eine rote Kugel, ist das Gegenergebnis in diesem Fall wir ziehen keine rote, also eine blaue.

Zwei Drittel und ein Drittel ergeben zusammen also eins.

Haben wir die einzige blaue gezogen, ziehen wir aufjeden Fall rot.

Das heißt, Rot hat die eins, blau hingegen hat eine null.

Und haben wir eine rote gezogen beim ersten Mal, haben wir eine fünfzig- fünfzig- Chance.

Und ein halb plus ein halb gibt zusammen wieder eins.

Hier sieht man also, dass bei einem Baumdiagramm, die beiden Äste, die zusammengehören, immer eins ergeben müssen, da eines dieser Ereignisse auf jeden fall eintreten muss.

Kommen wir nun zum letzten Thema ? bedingte Wahrscheinlichkeiten. Was ist das?

Bedingte Wahrscheinlichkeiten treten immer dann auf, wenn zwei meist unabhängige Ereignisse miteinander verknüpft werden.

Geschrieben wird das Ganze dann so.

Dieser senkrechte Strich heißt: unter der Bedingung.

Das Ereignis auf der rechten Seite, in diesem Fall f, ist dann das Ereignis, das tatsächlich eingetroffen ist. Man spricht dann die Auftrittswahrscheinlichkeit von e unter der Bedingung f ist die Auftrittswahrscheinlichkeit von e unter der Bedingung f.

Diese beiden Ausdrücke sind also identisch.

Und das ist wiederum die Auftrittswahrscheinlichkeit von e und f(dieses halbkreisähnliche Ding heißt und) geteilt durch die Auftrittswahrscheinlichkeit von f.

Das Ganze kann man sich dann in einer Vier- Felder- Tafel oder einem Baumdiagramm etwas klarer machen.

Wir schauen uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Hier haben wir die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass jemand einen Abiturschnitt hat von eins Komma null unter der Bedingung, dass es ein Junge ist.

Errechnet wird das dann, indem man die Wahrscheinlichkeiten nimmt, dass jemand ein Junge ist und ein eins Nuller Abi hat geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, dass jemand ein Junge ist.

Hier sieht das Ganze noch recht kompliziert und trocken aus, wir schauen uns das jetzt aber an einem richtigen Anwendungsbeispiel an mit diesen Angaben.

Was wir uns also merken müssen, ist diese Formel hier.

Hier haben wir jetzt das Anwendungsbeispiel.

Die Wahrscheinlichkeit, dass von allen Schülern ein Junge ein eins Komma Nuller Abi hat, beträgt null Komma null null fünf, das sind also null Komma fünf Prozent.

Die Schulleitung weiß, dass insgesamt fünf Prozent aller Schüler einen eins Komma Nuller Abi Abschluss erreichen werden.

Fünfzig Prozent von allen Schülern sind Mädchen und haben keinen eins Komma Nuller Schnitt.

Wollen wir uns jetzt alle diese Angaben etwas klarer aufschreiben, hilft uns das Anlegen einer Vier- Felder- Tafel.

Ich habe hier schon mal die Tafel komplett ausgefüllt und wir schauen uns nun an, wie wir auf die einzelnen Zahlen kommen.

Hier haben wir die Spalte für Jungen und hier die Spalte für Mädchen, beziehungsweise das Gegenereignis kein Junge.

Hier ist die Zeile für kein Abi von eins Komma null und hier haben wir die Zeile für ein Abi von eins Komma null.

Schauen wir uns nun den Text an.

Die Wahrscheinlichkeit, dass von allen Schülern ein Junge einen eins Komma NullerAbischnitt hat, beträgt ? hier haben wir jetzt die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass jemand ein eins NullerAbischnitt hat und Junge ist. Das heißt, Junge und gleichzeitig ein Abischnitt von eins Komma null ist null Komma null null fünf ? genau diese Angabe hier.

Das heißt bei der Wahrscheinlichkeit, in der beides eintritt, a und j, müssen wir auch in die Zeile und die Spalte von a und j schreiben.

Lesen wir mal weiter.

Die Schulleitung weiß, dass insgesamt fünf Prozent aller Schüler einen eins NullerAbiabschluss erreichen werden.

Das heißt, dass generell ein Abiabschluss erreicht wird, ist sicher mit fünf Prozent. Das heißt, ganz am Ende, unabhängig davon ob Junge oder Mädchen, haben fünf Prozent ein eins Nuller Abi, also setzen wir das ans Ende der eins Nuller Abi Zeile.

Und da wir nicht in Prozent, sondern in Dezimalschreibweise schreiben, schreiben wir, statt fünf Prozent, null Komma null fünf.

Das ist unsere zweite Angabe, die wir wissen.

Fünfzig Prozent von allen Schüler sind Mädchen und haben keinen eins Komma Nuller Schnitt.

Das heißt, ein Mädchen zu sein und keinen eins Nuller Schnitt zu haben, fällt unter fünfzig Prozent. Jetzt haben wir hier die Mädchenspalte und die kein eins Nuller Schnitt Zeile und das beides gleichzeitig eintritt fünfzig Prozent, also null Komma fünf null, da wir hier wieder als Dezimalbruchschreibweise schreiben.

Diese drei roten Zahlen sind also die Angaben, die wir aus dem Text entnehmen können. Das reicht uns auch, um den Rest auszufüllen. Denn wir wissen, dass diese Angabe, also quasi ein eins Nuller Abi zu haben und Junge zu sein und diese Angabe ein eins Nuller Abi zu haben und Mädchen zu sein zusammen diese Angabe ergeben müssen.

Also können wir uns anhand der null Komma null null fünf und der null Komma null fünf diese Angabe errechnen. Wir erhalten null Komma null vier fünf. Jetzt können wir null Komma fünf null, da wir das wissen, plus null Komma null vier fünf rechnen und erhalten hier unten null Komma fünf vier fünf.

Jetzt fehlen uns eigentlich nur noch diese drei Angaben hier.

Das schaffen wir auch ganz leicht. Denn die letzte Spalte muss immer zusammen eins ergeben und die unterste Zeile natürlich auch.

Denn wir haben hier das Ereignis keine Abinote von eins Komma null und hier das Ereignis von Abinote von eins Komma null, also ein Ereignis und sein Gegenereignis.

Und hier wissen wir, dass das zusammen immer eins ergeben muss. Genauso wie hier: wir haben das Ereignis ein Junge zu sein und das Ereignis kein Junge, also ein Mädchen zu sein.

Mädchen und Jungen geben aber zusammen die gesamte Schüleranzahl, also wieder hundert Prozent der Schüler, das entspricht einer eins.

Hier haben wir die null Komma null fünf gegeben, also wissen wir, dass der andere Betrag null Komma neun fünf sein muss und hier wissen wir die null Komma fünf vier fünf, also wissen wir, dass der davor null Komma vier fünf fünf sein muss.

Da diese Zahlen zusammen immer eins ergeben.

Haben wir nun die Zahl hier unten und die Zahl hier rechts oben, muss diese Zahl hier links null Komma vier fünf natürlich sein. Also, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand ein Junge ist und kein Abi von eins Komma null hat, entspricht null Komma vier fünf.

Somit kann man mit ein bisschen Geschick durch drei Angaben die komplette Vier- Felder- Tafel ausfüllen.

Diese Angaben brauchen wir jetzt, wenn wir uns zu dem Anwendungsbeispiel ein paar Fragen anschauen.

Nehmen wir mal die erste Frage, die ich hier habe.

Bestimme die Auftrittswahrscheinlichkeit ein Junge zu sein unter der Bedingung ein Abi von nicht eins Komma null zu haben.

Hierbei hilft uns die eben ausgefüllte Vier- Felder- Tafel.

Was wir also suchen, ist die Wahrscheinlichkeit ein Junge zu sein und nicht ein eins Komma Nuller Abi zu haben.

Die Lösung geht dann wie folgt.

Wir benutzen die Formel, die wir vorhin hatten.

Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit ein Junge zu sein unter der Bedingung kein eins Nuller Abi zu haben auch so geschrieben werden kann und errechnet wird das Ganze dann mit Hilfe von diesem Bruch. Also die Wahrscheinlichkeit ein Junge zu sein und kein eins Nuller Abi zu haben durch die Gesamtwahrscheinlichkeit kein eins Nuller Abi zu haben.

Wenn wir diesen Bruch hier wissen, müssen wir nur noch aus der Vier- Felder- Tafel ablesen und einsetzen.

Denn p von j und nicht von a ist gleich null Komma vier fünf und p von nicht a, also die Gesamtwahrscheinlichkeit von nicht a, ist hier hinten null Komma neun fünf. Wir teilen also null Komma vier fünf durch null Komma neun fünf.

Das Ganze macht man mit dem Taschenrechner und erhält null Komma vier sieben vier oder auch siebenundvierzig Komma vier Prozent.

Da wir immer in Dezimalbrüchen oder Prozent das Ergebnis angeben.

Wenn wir also die Formel wissen und eine ausgefüllte Vier- Felder- Tafel haben ist so eine Aufgabe gar nicht mehr so schwer.

Schauen wir uns das nächste Beispiel an.

Hier ist die Frage: bestimme die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass generell ein Junge drankommt.

Das ist dann nur noch ablesen, denn die Auftrittswahrscheinlichkeit dass jemand ein Junge ist, ist die unterste Zahl der Spalte Junge zu sein, also null Komma vier fünf fünf oder auch fünfundvierzig Komma fünf Prozent.

Und noch eine letzte Frage:bestimme die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass jemand eine eins Komma null Abiturnote hat unter der Bedingung, dass jemand ein Mädchen ist.

Hier geht das Ganze genauso wie bei der ersten Frage.

Wir wissen, dass die Auftrittswahrscheinlichkeit eine eins NullerAbinote unter der Bedingung ein Mädchen zu sein auch so geschrieben werden kann. Und das Ganze lässt sich dann mit diesem Bruch berechnen.

Das heißt, wir suchen die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass jemand ein eins Nuller Abi hat und Mädchen ist geteilt durch die Auftrittswahrscheinlichkeit, dass jemand generell ein Mädchen ist.

Das oben ist also die Zeile eins Nuller Abi und Spalte ein Mädchen null Komma null vier fünf und das unten ist generell das Ende der Spalte ein Mädchen zu sein, also null Komma fünf vier fünf.

Null Komma null vier fünf teilt man dann durch null Komma fünf vier fünf mit dem Taschenrechner und erhält null Komma null acht drei, also acht Komma drei Prozent. So rechnet man also mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit.

Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live Forums geholfen haben und ich dir alle deine Fragen zum Thema Stochastik perfekt beantworten konnte.

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