Statistik – online lernen

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Stochastik — Statistik

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Statistik.
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Dieser Text wurde maschinell erstellt.

Thema: Statistik

00:07 Vorstellung

00:15 Übersicht über die Begriffe der Statistik

00:42 Der Durchschnitt

02:42 Der Erwartungswert

03:51 Beispiel zum Erwartungswert

06:39 Die Varianz

07:30 Die Standardabweichung

08:20 Anwendung von Durchschnitt, Varianz und Standardabweichung

11:30 Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsgröße

12:22 Die Sigma-Regeln

13:58 Übersicht über Bernoulli-Verteilung, Binomialverteilung und Hypergeometrische Verteilung

16:03 Schlussworte



Hallo und herzlich Willkommen zum Live-Forum Statistik. Ich bin Kathi und ich hoffe ich kann dir das Thema der Statistik heute ein wenig näher bringen.

Um was soll es heute gehen?

Am Anfang möchte ich dir gerne die Grundbegriffe der Statistik näherbringen und dabei möchte ich dir den Durchschnitt, oder auch Mittelwert genannt, erklären, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung. Darüber hinaus möchte ich dir gerne noch die Sigma-Regeln erklären und zum Schluss geben wir dir einen Überblick über die verschiedenen Kenngrößen, damit meinen wir hier den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung, bei ihren verschiedenen Verteilung mit auf den Weg.

Was ist der Durchschnitt?

Vermutlich wisst ihr schon alle, was der Durchschnitt ist. Der Durchschnitt gibt an oder ermittelt ganz gut eine Menge von Daten. Im Alltag hast du es sicherlich schon einmal selber gemacht. Bestimmt hast du schon einmal deine Durchschnittsnote in deinem Zeugnis berechnet oder aber von deinem Lehrer eine Durchschnittsnote von einer Klausur bekommen. Wir berechnen den Durchschnitt, indem wir alle Werte die wir haben zusammenaddieren und dann durch die Anzahl der Werte teilen. Wenn man das in einer Formel aufschreiben möchte, kann man ganz allgemein diese Formel hier verwenden. Dabei steht das große N als Formelzeichen für die Anzahl der Werte. Der Durchschnitt gibt dir einen guten Überblick über die Werte oder die Daten die du gesammelt hast und mittelt diese. Machen wir ein ganz praktisches Beispiel: Du hast deine Durchschnittsnote berechnet, indem du deine ganzen Noten zusammenaddiert hast und dann durch die Anzahl deiner Noten dividiert hast. Nun kannst du deine Note super vergleichen mit einer Freundin und ihr könnt abschätzen, wer zurzeit in der Schule besser steht oder nicht. Genauso gut eignet sich der Durchschnitt, wenn man zum Beispiel einen einzelnen Wert in ein Verhältnis setzen möchte zu ganz vielen anderen Werten, wie zum Beispiel bei einer Klassenarbeit. Du bekommst die Information von deiner Lehrerin, dass es eine gewisse Durchschnittsnote in der Klassenarbeit gibt. Zum Beispiel eine Zwei. Wenn du nun eine Eins oder eine Zwei geschrieben hast, dann kannst du dein persönliches Ergebnis einordnen und sagen: Boah, ich gehöre zum besseren Teil der Klasse. Ist deine Note eher schlechter in Englisch, naja dann war die Klausur wohl nicht so gut und bei dieser Klausur gehörst du eher zum hinteren Teil, zum schlechteren Teil der Klasse, denn deine Note ist schlechter als die Durchschnittsnote.

Neben dem Durchschnitt ist ein ganz wichtiger Grundbegriff auch noch der Erwartungswert. Der Erwartungswert wird in der Mathematik mit einem My gekennzeichnet. Ich habe dir hier schon einmal alle komischen Sachen eingekringelt, auf die wir gleich näher eingehen wollen. Man berechnet nämlich den Erwartungswert, indem man x eins mal P von x gleich x eins berechnet. Was ist P von x gleich x eins? Naja, das sieht komplizierter aus als es eigentlich ist. Es ist eigentlich nur die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis x eins oder für den Wert x eins, den du hast. Das heißt, du addierst immer oder alle Werte die du hast mal der Wahrscheinlichkeit miteinander auf und erhältst so den Erwartungswert. In Formeln gesprochen: x eins mal die Wahrscheinlichkeit von x eins plus x zwei mal die Wahrscheinlichkeit von x zwei plus und so weiter bis x n mal die Wahrscheinlichkeit von x n und schon hast du deinen Erwartungswert gegeben. Wenn man ein Zufallsexperiment nur oft genug durchführt, dann wird der Erwartungswert gleich dem Durchschnitt. Da das jetzt alles sehr abstrakt klingt, möchte ich dir ein kleines Beispiel mit an die Hand geben für den Erwartungswert. Und zwar stellen wir uns folgende Situation vor: Auf der Straße wird dir ein Spiel angeboten. Und zwar ist dort ein Straßenspieler der eine Münze wirft. Er sagt: Wenn Zahl fällt, dann wirst du einen Euro gewinnen. Dann gebe ich dir also einen Euro. Fällt Kopf, dann gibst du mir zwei Euro. Die Frage ist jetzt: Lohnt sich das Spiel, also wirst du voraussichtlich etwas gewinnen? Genau das sagt dir jetzt der Erwartungswert aus. Was ist jetzt x eins x zwei und was sind die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten dazu? X eins stellt hier die Höhe des Gewinns dar, nämlich einen Euro. Naja und du bekommst einen Euro genau dann wenn Zahl fällt. Eine Münze hat aber bekanntlich nur Kopf oder Zahl, dass heißt, dass die Wahrscheinlichkeit, das Kopf oder Zahl fällt ist ein halb. Also ist p von x eins gleich ein halb. Wie sieht das mit x zwei aus? X zwei ist jetzt minus 2, denn wenn Kopf fällt, dann verlierst du ? verlieren bedeutet ja ich hab ein negatives Vorzeichen, mein Gewinn wird weniger ? dann verlierst du 2 Euro, also ist x zwei gleich minus 2. Aber auch hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf fällt, ein halb, denn wie gesagt, eine Münze hat zwei Seiten, einmal Zahl, einmal Kopf, jede der Flächen hat eine Wahrscheinlichkeit von ein halb. Die Formel für den Erwartungswert ist jetzt mü gleich x eins, also eins, mal die Wahrscheinlichkeit von x eins ? die Wahrscheinlichkeit von x eins war 0,5 ? also ein mal 0,5 plus x zwei ? minus 2 ? mal die Wahrscheinlichkeit für x zwei ? auch wieder 0,5 ? also plus minus 2 mal 0,5. Wenn ich das ausrechne, komme ich auf 0,5 minus 1 und komme so zu einem Erwartungswert von minus 0,5 oder minus ein halb. Wenn wir jetzt uns nochmal überlegen: was bedeutet der Erwartungswert? Der Erwartungswert bedeutet für mich als Spieler: Was gewinne beziehungsweise verliere ich an Geld bei diesem Spiel? Dann bedeutet das nichts anderes, als dass du bei jedem Spiel, was du da machen wirst, vermutlich im Schnitt 50 Cent verlieren wirst. Was bedeutet jetzt, dass ? wenn ich es oft genug wiederhole ? der Erwartungswert gleich dem Durchschnitt wird, das heißt wenn jetzt hier noch eine Anzahl eine Rolle spielt, dann wird bei mehr Spielen der Durchschnitt gleich dem Erwartungswert sein.

Neben dem Erwartungswert gibt?s als Grundbegriff noch die Varianz. Zur Berechnung der Varianz braucht man allerdings den Durchschnitt. Man berechnet die Varianz, indem man x eins minus den Durchschnitt rechnet zum Quadrat plus x zwei minus den Durchschnitt zum Quadrat und so weiter, das heißt ich nehme immer meinen Wert, x eins, x zwei bis xn, subtrahiere davon den Durchschnitt und quadriere das anschließend. Und dann teile ich, genau wie beim Durchschnitt, durch die Anzahl. Vielleicht ist euch auch schon einmal diese Formel untergekommen. Dann verwendet man den Erwartungswert für die Berechnung der Varianz. Die Varianz gibt die mittlere quadratische Abweichung um den Durchschnitt beziehungsweise um den Mittelwert an.

Neben dem Erwartungswert und der Varianz gibt es auch noch die Standardabweichung Sigma. Man bezeichnet also die Standardabweichung immer mit dem griechischen Sigma. Man berechnet die Standardabweichung immer über die Varianz. Das heißt du siehst schon, die ganzen Grundbegriffe sind sehr eng miteinander verwoben und man braucht häufig einen von den anderen Begriffen und Werten oder auch Kenngrößen, um die jeweils Anderen zu berechnen. Hier brauche ich jetzt nun die Varianz. Die Standardabweichung ist nämlich die Wurzel der Varianz. Sigma ist gleich die Wurzel von Var X. Im Gegensatz zur Varianz bestimmt die Standardabweichung jetzt die Streuung um den Mittelwert.

Das klingt jetzt sehr abstrakt, deshalb wollen wir das einmal anwenden und dabei gleich noch einmal üben, wie man die verschiedenen Grundbegriffe denn berechnet. Die Anwendungsaufgabe lautet: Paula beobachtet fünf Tage lang die Dauer ihres Schulweges am Morgen. Sie notiert am ersten Tag 37 Minuten. Am zweiten Tag braucht sie 30 Minuten und am Tag danach 45. Am Tag 4 geht?s etwas schneller, da braucht sie nur 26 Minuten und den letzten Tag, den notiert sie mit 40 Minuten.

Zunächst werden wir den Durchschnitt bestimmen. Wir erinnern uns: die Formel für den Durchschnitt war: Alle Werte zusammen addiert und dann durch die Anzahl der Werte teilen. Schauen wir uns einmal die Werte an: Tag 1 waren 37, das heißt 37 plus ? an Tag 2 waren es 30 Minuten ? 37 plus 30 plus ? Tag 3 45 Minuten ? plus 45 plus ? an Tag 4 die schnelle Zeit ? 26 Minuten und zu guter Letzt noch einmal 40 Minuten an Tag 5. Wir haben insgesamt 1, 2, 3, 4, 5 Tage lang beobachtet, das heißt wir haben insgesamt eine Anzahl von 5 Werten und müssen durch 5 teilen. Wenn wir das jetzt ausrechnen, kommen wir auf einen Durchschnitt von 35,6 Minuten, den Paula täglich für ihren Schulweg benötigt.

Nun wollen wir noch die Varianz bestimmen: Die Varianz hatte die folgende Formel: Dabei steht das x quer hier für den Durchschnitt, den wir grad eben schon berechnet haben, nämlich 35,6 Minuten. Jetzt setzen wir sukzessive wieder x eins, zwei, drei, vier und fünf ein und quadrieren, so wie wir es vorhin für die Formel für die Varianz bestimmt haben, das heißt wir berechnen 37 minus den Durchschnitt ? das sind 35,6 ? zum Quadrat. Fassen wir zuerst einmal die Klammern zusammen: Das heißt ich komme hier beim ersten Wert auf 1,4 zum Quadrat und so weiter. Wenn ich das ausrechne, komme ich auf eine Varianz von 46,64 Minuten zum Quadrat.

Neben der Varianz wollen wir auch noch die Standardabweichung berechnen. Wir erinnern uns: Die Standardabweichung war die Wurzel aus der Varianz. Das heißt die können wir jetzt, da wir die Varianz schon bestimmt haben, ganz einfach berechnen, indem wir einfach die Wurzel von 46,64 nehmen und kommen auf eine Standardabweichung von 6,83. Wenn wir jetzt in Einheiten denken, war die Varianz hier Minute zum Quadrat, die Wurzel von Minute Quadrat ist wieder Minute, das heißt die Standardabweichung hat eine Einheit von 6,83 Minuten. Anhand dieses Beispiels haben wir jetzt einmal die wichtigsten Kenngrößen durchgerechnet, für den Erwartungswert hatten wir schon ein schönes Beispiel gerechnet.

Es gibt einige Spezialfälle, wenn du etwas über deine Zufallsgröße weißt, zum Beispiel wenn du weißt, dass deine Zufallsvariable binomialverteilt ist. Denn dann gilt für die Standardabweichung die Wurzel aus n mal p mal 1 minus p. Dabei ist n die Anzahl, p die Wahrscheinlichkeit und 1 minus p ist dann die Gegenwahrscheinlichkeit. Du kannst dir merken, es gibt sogenannte Laplace-Regeln: Wenn dein Sigma größer als 3 ist, dann kann man anstatt der Binomialverteilung auch die Normalverteilung annehmen. Wenn du dich erinnerst, wie man das berechnet hinterher ? dafür muss man verschiedene Tabellen benutzen - das heißt wenn dein Sigma größer als 3 ist, musst du die Tabelle für die Normalverteilung benutzen, denn dann kann man die Binomialverteilung mit der Normalverteilung annähern.

Kommen wir nun noch zu den Sigma-Regeln. Handelt es sich bei X, also der Zufallsvariable, um eine binomialverteilte Zufallsvariable, dann kann man viele Wahrscheinlichkeiten mit den Sigma-Regeln schon super annähern und abschätzen. Das heißt das Rechnen wird für dich vereinfacht oder aber wenn du mal keine Tabelle zur Hand hast, kannst du diese sehr gut abschätzen. Wenn der Erwartungswert minus Sigma kleiner gleich deiner Zufallsvariable kleiner gleich plus 1 mal Sigma, dann hast du eine Wahrscheinlichkeit von ungefähr 0,68 ? also ungefähr 68%. My stellt dabei den Erwartungswert dar und Sigma die Standardabweichung, das heißt wenn du in der vorherigen Aufgabe schon Erwartungswert und Standardabweichung berechnet hast, lassen sich sehr einfach die Wahrscheinlichkeiten nähern. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße (Im Video wurde hier Wahrscheinlichkeit gesagt!) in dem Intervall liegt von My minus 2 Sigma und My plus 2 Sigma, ist dabei dann schon 95,5%, also 0,955. Wenn in einem Intervall My minus 3 Sigma und Müy plus 3 Sigma [die Zufallsgröße liegt] (wurde vergessen zu sagen), ist die Wahrscheinlichkeit 99,7% oder 0,99. Zum Schluss dieses Live-Forums möchte ich dir gerne noch eine Übersicht geben, bei der die wichtigsten Verteilungen angegeben sind und dort der jeweilige Erwartungswert beziehungsweise die Varianzen angegeben sind. Für eine Bernoulli-Verteilung oder auch eine Bernoulli-Kette, ist immer, dass der Erwartungswert gleich p, also gleich der Wahrscheinlichkeit ist. Für die Varianz gilt dann immer die Wahrscheinlichkeit mal die Gegenwahrscheinlichkeit. Und da die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz ist, gilt für die Standardabweichung bei einer Bernoulli-Verteilung oder bei einer Bernoulli-Kette die Wurzel von p mal 1 minus p. Bei der Binomialverteilung ist es so, dass der Erwartungswert immer n ? also die Gesamtanzahl ? mal der Wahrscheinlichkeit ist. Für die Varianz, das hatten wir uns eben schon angeguckt, gilt n ? also die Gesamtanzahl ? mal der Wahrscheinlichkeit mal der Gegenwahrscheinlichkeit. Und da auch hier wieder gilt, dass die Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz ist, gilt bei der Binomialverteilung für die Standardabweichung Sigma ist gleich die Wurzel von n mal p mal 1 minus p. Zu guter Letzt möchte ich dir noch die Hypergeometrische Verteilung vorstellen, für die, die das eventuell schon einmal hatten. Bei der hypergeometrischen Verteilung ist der Erwartungswert gleich n mal M durch N, für die Varianz gilt diese Formel und für die Standardabweichung die hintere Formel. Was möchte ich damit eigentlich nur ausdrücken? Wir wollen damit ausdrücken, dass wir vor Allem in der Schule uns mit der Binomial- oder der Normalverteilung beschäftigen oder auch mit Bernoulli-Verteilung und Bernoulli-Ketten. Es gibt aber noch ganz viele andere Verteilungen, für die man dann ganz spezielle, viel einfachere oder vereinfachte Formeln für den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung finden kann. Die Hypergeometrische Verteilung ist dabei ein solcher Spezialfall.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Statistik? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir, unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

Nun musst du nur das Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen, kannst aber auch unter der angegebenen Rufnummer direkt Kontakt mit uns aufnehmen. Wir freuen uns auf dich.

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