Kombinatorik – online lernen

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Stochastik — Kombinatorik

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Kombinatorik.
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Strukturierter Text des Videos

Dieser Text wurde maschinell erstellt.

Thema: Kombinatorik

00:00 Einleitung: Kombinatorik

00:16 Die Notwendigkeit und Unterteilung der Kombinatorik

01:47 Beispiel zu einer einfachen Permutation

02:51 Beispiel zu einer komplizierteren Permutation

03:55Übersicht Kombinationsmöglichkeiten (4-Fälle)

04:25 Formeln zu den 4 Urnenmodellen



Herzlich willkommen! Mein Name ist Kevin und in diesem Video erkläre ich alle wichtigen Formeln aus dem Bereich Kombinatorik.

Worum geht es eigentlich in der Kombinatorik? Um Wahrscheinlichkeiten in der Stochastik zu bestimmen, benötigen wir immer die Gesamtheit aller möglichen Fälle. Dies kann einerseits eine in der Aufgabe schon bekannte Zahl sein, anderseits muss diese Größe erst bestimmt werden. Falls es sich um den letzteren Fall handelt, können wir diesen in drei Unterthemen der Stochastik unterteilen: Die Permutation. Hier geht es darum, die Anzahl aller Möglichkeiten einer festen Menge zwecks ihrer Sortierung herauszufinden. Ein Beispiel, das wir gleich noch genauer beleuchten werden: Die Sitzplatzvergabe am Tisch. Die zweite Art nennt sich Variation. Hier geht es prinzipiell darum, wie viele Möglichkeiten einer geordneten bzw. ungeordneten Unterverteilung einer Teilmenge von N Elementen möglich sind. Ein Beispiel: Eine Anzahl Sportler nimmt an einem Wettbewerb mit Gold-, Silber-, und Bronzeplatzierung teil. Im dritten Bereich geht es generell um Kombinationsmöglichkeiten, die sich faktisch auf das bekannte Urnenmodell beziehen. Grundlegend kann gesagt werden, dass immer die Anzahl aller Möglichkeiten gesucht ist, bei der aus einer N elementigen Menge, k Elemente entzogen werden. Ein Beispiel: Wie oft hört man es klirren, wenn sich 10 Leute einander zuprosten?

Fangen wir nun mit einer Permutationsaufgabe an. An einem Tisch stehen fünf Stühle für fünf Personen. Wie viele Möglichkeiten der Verteilung sind möglich? Die allgemeine Formel für Aufgaben dieser Art ist ziemlich einfach, sie lautet Fakultät n. Falls du nicht mehr weißt, was eine Fakultät ist, dann höre gut zu: Bei der Fakultät werden alle Zahlen bis n aneinander multipliziert. Fakultät 10 lautet beispielweise: 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 8.373.120. Hier in dieser Aufgabe müssen wir natürlich Fakultät 5 berechnen. Das Ergebnis lautet also: 5*4*3*2*1 = 120. Antwort: Für die Verteilung gibt es genau 120 Möglichkeiten. Diese Aufgabe war noch einigermaßen einfach, schauen wir uns doch mal eine etwas kompliziertere an:

Hier lautet die Aufgabe folgendermaßen:Auf wie viele Arten können 20 Kugeln angeordnet werden von denen 7 blau, 10 rot und 3 grün sind?Wir benutzen dieselbe Formel aus der Aufgabe davor, Fakultät n! Da die Gesamtzahl wiederum in 3weiteren Kategorien eingeteilt ist (blau, rot, grün), müssen wir diese durch das Produkt der Teilfakultäten der einzelnen Anordnungen dividieren. So entsteht also diese Formel. In unserem Beispiel müssen wir also rechnen:Fakultät 20 geteilt durch Fakultät 7-mal Fakultät 10-mal Fakultät 3 = 931.170.240 Möglichkeiten. WOW, dabei sind es eigentlich nur 20 Kugeln ?Beachte, dass es sich hier um ungeordnete Kugeln handelt, heißt, dass wir die blauen Kugeln untereinander nicht weiter unterschieden haben.

Kommen wir nun zu den Kombinationsmöglichkeiten.Das tolle an dieser Thematik ist es, dass wir alle Aufgaben dieser Art auf einheitliche Urnenmodelle zurückführen können. Dabei unterscheiden wir folgende Fälle:Ziehung mit zurücklegen. Zum einen mit Beachtung der Reihenfolge, zum anderen ohne Beachtung der Reihenfolge.Analog gelten dieselben Urnenmodelle ohne Zurücklegen. Fangen wir mit diesen direkt an:

Im Fall 1.1 schauen wir uns die Ziehung ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge an.Am besten kannst du dir den Sachverhalt anhand eines klassischen Lottospiels vorstellen, bei dem die korrekt gezogene Zahl in richtiger Reihenfolge zum Hauptgewinn folgt.Wir sagen verallgemeinert: Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln insgesamt k Kugeln und beachtet die Reihenfolge der Ziehung, so gibt es hierfür n Fakultät dividiert durch (n-k) Fak. Möglichkeiten.

In dem zweiten Fall bleiben wir bei der Ziehung ohne Zurücklegen, allerdings schenken wir nun der Reihenfolge Beachtung.Als Beispiel nehmen wir erneut das Lotto-Spiel, allerdings die Variante 6 aus 49. Hierbei geht es darum, so viele Treffer in beliebiger Reihenfolge zu ergattern.Wir können die verallgemeinerte Regel aufstellen: Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln insgesamt k Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge, so gibt es hierfür n über kMöglichkeiten. Die meisten Taschenrechner besitzen diese vereinfachte Funktion, sodass du diesen langen Fakultätsausdruck nicht eintippen brauchst.

Jetzt schauen wir uns den anderen Zweig an, nämlich die Ziehung mit zurücklegen und Beachtung der Reihenfolge. Ein schönes Beispiel ist ein 8-stelliges Zahlenschloss, bei denen die Ziffern 0 bis 9 vorkommen, also gibt es pro Einrastelement 10 Möglichkeiten. Möchten wir nun die Kombinationsmöglichkeiten bestimmen, rechnen wir 10 hoch 8 = 100.000.000 Möglichkeiten.Allgemein können wir festhalten: Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln k-mal eine Kugel mit Zurücklegen, so gibt es hierfür mit Beachtung der Reihenfolge n hoch k Möglichkeiten.

Zum Abschluss beschäftigen wir uns mit einer Variation, die sehr selten vorkommt: Die Ziehung mit Zurücklegen aber ohne Beachtung der Reihenfolge.Stell dir vor: Aus vier verschiedenen Briefmarkenserien mit ? 2,00-Marken sollen alle Möglichkeiten zusammengestellt werden, mit denen man einen 10 ?-Brief frankieren kann, wobei die Reihenfolge der Marken keine Rolle spielt.Wir berechnen die Anzahl der Möglichkeiten mit dieser Formel:Wir erhalten bei einer Urne mit n Elementen bei k-maligem Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge (n+k ? 1) über k Arten.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Kombinatorik? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

Nun musst du nur das Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen, kannst aber auch unter der angegebenen Rufnummer direkt Kontakt mit uns aufnehmen.

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