Hypothesentest – online lernen

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Stochastik — Hypothesentest

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Hypothesentest.
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Strukturierter Text des Videos

Dieser Text wurde maschinell erstellt.

Thema: Hypothesentest

00:01 Vorstellung des Themas

00:11 Einführung ? was ist ein Hypothesentest

00:40 Die Fehler eines Hypothesentests

02:15 Wie würde der Laie einen Hypothesentest durchführen ? Ein Rechenbeispiel

03:08 Welche Wahrscheinlichkeiten liegen beim Laien für H0 und HA zugrunde?

04:00 Das Signifikanzniveau

04:54 Aufstellen eines Hypothesentests ? welches Intervall ist H0?

06:05 Aufstellen der beiden Intervalle und Berechnung von k

07:32 Die wesentlichen Basics auf einen Blick

08:56 Ist die Nullhypothese immer eindeutig? ? Ein vergleichendes Rechenbeispiel

11:05 Vergleich der Hypothesentests des Bauern und des Kontrolleurs

12:35 Wichtig zum Merken ? Eine Zusammenfassung

14:00 Schlussworte



Hallo und herzlich willkommen, ich bin der Manuel, und ich erzähle dir etwas über den Hypothesentest, das Signifikanzniveau und den Fehler 1. und 2. Art.

Zunächst einmal eine Einführung ? was ist ein Hypothesentest? Ein Hypothesentest ist eine Stichprobe, bei der untersucht werden soll, ob eine Behauptung wahr oder falsch ist. Bei einem Hypothesentest gibt es immer 2 Hypothesen: Die Nullhypothese H0 ? die Behauptung ? und die Gegenhypothese HA ? die Gegenbehauptung. Wie läuft so ein Hypothesentest ab? Diese Frage wollen wir in den folgenden Folien klären und vertiefen.

Zunächst einmal betrachten wir die Fehler eines Hypothesentests. Dazu schauen wir uns folgendes Szenario an: Herr Bauer möchte beweisen, dass mehr als 90% seiner 1000 Kühe mindestens 2l Milch pro Tag liefern. Dazu macht er eine Stichprobe mit 100 Kühen. Nun gibt es 2 mögliche Ergebnisse: Entweder die Behauptung ist richtig oder die Behauptung ist falsch. Und es gibt 2 Möglichkeiten für den Bauern sich zu entscheiden, nämlich: Er kann sich für seine Behauptung entscheiden oder er kann sich gegen seine Behauptung entscheiden. Wenn H0 richtig ist und der Herr Bauer entscheidet sich für H0 , dann ist dies eine richtige Entscheidung. Wenn HA richtig ist und Herr Bauer entscheidet sich für HA , dann ist es eine richtige Entscheidung. Wenn allerdings H0 richtig ist und Herr Bauer entscheidet sich für HA, wäre dies eine falsche Entscheidung. Genauso wäre es eine falsche Entscheidung, sich für H0 zu entscheiden, obwohl HA richtig ist. Diese beiden falschen Entscheidungen werden als Fehler 1. Art und Fehler 2. Art bezeichnet. Der Fehler 1. Art bedeutet: H0 ist richtig, man entscheidet sich aber fälschlicherweise gegen die Nullhypothese und lehnt die Behauptung somit fälschlicherweise ab. Der Fehler 2. Art bedeutet: H0 ist falsch, man entscheidet sich aber fälschlicherweise für die Nullhypothese. Während des Hypothesentests interessiert man sich vor allem für den Fehler 1. Art.

Was würde der Laie sagen, wann sich der Bauer für die Nullhypothese entscheidet und wann dagegen? Wir erinnern uns: Die Behauptung ist, dass mindestens 90% der Kühe mehr als 2l Milch geben. Die Stichprobe umfasst 100 Kühe. Das bedeutet, in einem Intervall von 90 bis 100 würde der Laie sagen: ?Die Behauptung stimmt.? In einem Intervall von 0 bis 89 würde der Laie sagen: ?Nee, die Behauptung stimmt nicht.?

Wie sieht nun die mathematische Wahrscheinlichkeit aus für das Intervall von 0 bis 89? Wir berechnen die Summe von i gleich 0 bis 89 von P von x ist gleich i und erhalten 41,68%. Die Wahrscheinlichkeit für das Intervall 90 bis 100 wäre genauso 58,32%. Wie sieht nun die mathematische Verteilung aus, sich für H0 beziehungsweise sich gegen die Nullhypothese zu entscheiden? Wenn H0 richtig ist, liegt eine 58,32 prozentige Wahrscheinlichkeit vor sich für H0 zu entscheiden und eine 41,68 prozentige Wahrscheinlichkeit sich für HA zu entscheiden. Diese Wahrscheinlichkeit ist verhältnismäßig groß sich gegen die Behauptung zu entscheiden, obwohl H0 richtig ist. Das bedeutet: Mathematisch gesehen besteht eine Wahrscheinlichkeit von mehr als 40%, dass man sich in einer Stichprobe für HA entscheidet, obwohl H0 eigentlich richtig ist. Und das ist für eine Stichprobe fatal.

Deswegen will man das Intervall, nach dem man sich für und gegen die Nullhypothese entscheidet, so wählen, dass die mathematische Wahrscheinlichkeit, sich für die Gegenhypothese zu entscheiden, möglichst gering wird. Das Ganze sieht folgendermaßen aus: Wir wollen nun das Intervall für H0 und HA so wählen, dass die mathematische Wahrscheinlichkeit für H0 mindestens 95% besteht und die Wahrscheinlichkeit für HA maximal 5%. Diese 5% werden auch Signifikanzniveau genannt. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art wird immer Signifikanzniveau genannt und hierbei sind 5% oder 2% gängig. Nun ist die Frage, wie bestimmen wir dieses Intervall?

Zunächst einmal, bevor wir den Hypothesentest aufstellen, noch ein paar wichtige Dinge: Es werden zunächst immer zwei Intervalle aufgestellt, eines für die Nullhypothese und eines für die Gegenhypothese. Eines der beiden Intervalle ist das kleinere ? also 0 bis k ? das andere das größere ? also k+1 bis n. Welches Intervall ? das kleinere oder das größere ? die Nullhypothese ist, hängt einzig von der Behauptung ab. Was bedeutet das? Wenn die Nullhypothese bedeutet ?Mehr als 90% der Kühe geben 2l Milch?, dann wäre H0 das größere Intervall. Wenn H0 allerdings lautet ?Weniger als 90% der Kühe geben 2l Milch?, dann würde man für H0 das kleinere Intervall wählen. Bei unserer Aufgabe haben wir die Behauptung ?Mehr als 90% der Kühe geben 2l Milch?, das bedeutet wir haben diesen Fall hier und H0 ist das größere Intervall.

Wir erinnern uns, dass die Wahrscheinlichkeit für das kleinere Intervall 41,68% sind und für das größere Intervall 58,32%. Nun wollen wir die Wahrscheinlichkeit für die Gegenhypothese auf 5 maximieren, das heißt das sogenannte Signifikanzniveau festlegen. Diesen Fehler 1. Art minimieren wir, indem wir das Intervall von 0 bis k kleiner-gleich 5% setzen. Um das zu erreichen, müssen wir natürlich auch unsere Intervalle neu definieren. Und zwar haben wir als Intervalle 0 bis k und k plus 1 bis 100. Wie können wir nun das k ausrechnen? Wir haben nun die Formel: Summe von 0 bis k von P von x ist gleich i soll kleiner-gleich 5% sein. Ein Blick in die Stochastiktabelle liefert für n gleich100, für die Wahrscheinlichkeit 0,9: k gleich 84. Das heißt, das Intervall sich für HA zu entscheiden, ist 0 bis 84 und das Intervall sich für H0 zu entscheiden, ist 85 bis 100.

Nochmal die wesentlichen Basics auf einen Blick: Ziel des Hypothesentests ist es, eine Behauptung zu widerlegen, oder zu bestätigen. Der Fehler 1. Art muss immer minimiert werden, um die mathematische Wahrscheinlichkeit für HA gering zu halten. Dafür dient das sogenannte Signifikanzniveau. Es werden 2 Intervalle gebildet: 0 bis k und k plus 1 bis n. Je nachdem wie die Behauptung ausgelegt ist, also entweder größer einer bestimmten Wahrscheinlichkeit oder kleiner einer bestimmten Wahrscheinlichkeit, wird H0 entweder dem größeren Intervall und HA somit dem kleineren Intervall zugeordnet, dann haben wir Fall 1: Fall 1 bedeutet, dass wir das Intervall von i=0 bis k kleiner 5% setzen. Wenn H0 allerdings kleiner einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ist, dann wird H0 dem kleineren Intervall und HA somit dem größeren Intervall. Das wäre Fall 2 und wir müssten das Intervall von i gleich k plus 1 bis n kleiner 5% setzen. Und wir erinnern uns: Die Summe von i gleich k plus 1 bis n lässt sich schreiben als 1 minus die Summe von i=0 bis k.

Wie wählt man H0 und HA richtig, ist die Nullhypothese immer eindeutig? Wir haben gesehen, dass die Nullhypothese für die Behauptung, dass mindestens 90 % der Kühe 2l Milch geben, größer 90% war. Frage: Wie ändert sich der Hypothesentest, wenn nicht der Bauer die Behauptung bestätigen möchte (wie auf den letzten Folien), sondern ein Qualitätskontrolleur diese Behauptung widerlegen möchte? Wir erinnern uns an diese Tabelle: Wir haben 2 mögliche Hypothesen: ?Mehr als 90% der Kühe geben 2l Milch?, das war das, was der Bauer behauptet hat. Wenn allerdings der Qualitätskontrolleur diese Behauptung widerlegen möchte, ist seine Behauptung ?Weniger als 90% der Kühe geben 2l Milch?, das bedeutet, wir müssen nun H0 dem kleineren Intervall und HA dem größeren Intervall zuordnen. Dementsprechend wird nun das Intervall von k plus 1 bis 100 minimiert. Wie wird diesmal k berechnet? Wir müssen nun das k finden, für das folgende Gleichung gilt: Summe von i gleich k plus 1 bis 100 von P von x ist gleich i ist kleiner-gleich 5%. Dies lässt sich schreiben als 1 minus Summe von i=0 bis k von P von x gleich i kleiner-gleich 5% und wenn wir das Ganze auflösen, also die 5% auf die linke Seite und den Summenterm auf die rechte Seite, haben wir: 95% soll kleiner-gleich Summe von i=0 bis k von P von x gleich i sein. Ein Blick in die Stochastiktabelle liefert uns ein k von 95. Das bedeutet: Sich für die Nullhypothese zu entscheiden, ist diesmal im Intervall von 0 bis 95 und die Entscheidung gegen die Nullhypothese findet ab 96 bis 100 statt.

Vergleichen wir nun die 3 Varianten: Bei drei Stichproben werden 88, 74 und 96 Kühe von 100 Kühen gefunden, die mehr als 2l Milch geben. Wie würden sich der Bauer beziehungsweise der Kontrolleur jeweils entscheiden (für oder gegen die Nullhypothese)? Das erste Beispiel, bei 74, da würde der Bauer sagen ?Meine Behauptung stimmt nicht?, während der Kontrolleur sagt ?Meine Behauptung stimmt?. Das bedeutet: Beide wären sich einig. Bei 96 Kühen würde der Bauer seine Behauptung beweisen, und genauso würde der Kontrolleur sagen ?Meine Behauptung ist falsch, der Bauer hat recht?. Also wären auch hier sich beide einig. Wenn allerdings 88 Kühe gefunden, würde der Bauer sagen ?Mehr als 90% der Kühe geben 2l Milch stimmt? und der Kontrolleur würde sagen ?Weniger als 90% der Kühe geben 2l Milch stimmt auch?. Das heißt, beide wären sich uneinig. Das bedeutet, dass der Hypothesentest nichts anderes ist als eine Frage der Perspektive, es kommt immer darauf an, welche Person einen Hypothesentest durchführt und jede Person für sich möchte den Fehler 1. Art minimieren. Dadurch ändert sich natürlich das jeweilige Intervall.

Lies dir eine Aufgabe immer gut durch und entscheide dann mit Verstand, von wem aus ein Hypothesentest durchgeführt werden soll. Häufig steht eine Behauptung im Text, allerdings soll der Hypothesentest dann von einer Person mit gegensätzlicher Meinung durchgeführt werden. Das entsprechende Ungleichheitszeichen für die Behauptung legt dir dann H0 und somit das entsprechende Intervall fest. Dabei ist es egal, ob ein Größergleich- oder ein Kleingergleich- oder nur ein Größer-/Kleiner-Zeichen vorliegt. Was bedeutet des? Bei einem Kleinergleich- und einem Kleinerzeichen wird H0 dem kleineren Intervall zugeordnet. Bei einem Größergleich- oder einem Größerzeichen wird H0 dem größeren Intervall zugeordnet. Hier wird nicht unterschieden, dass das eine [Zeichen] Kleinergleich und das Andere nur Kleiner ist. Und entsprechend wird jeweils die Gegenhypothese, also hier das Intervall von i gleich k plus 1 bis 100 auf 5% minimiert und hier wird das Intervall von i gleich 0 bis k auf 5% minimiert.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Hypothesentest? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

Nun musst du nur das Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen, kannst aber auch unter der angegebenen Rufnummer direkt Kontakt mit uns aufnehmen.Wir freuen uns auf dich.

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