Binominalverteilung – online lernen

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Stochastik — Binominalverteilung

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Binominalverteilung.
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Strukturierter Text des Videos

Dieser Text wurde maschinell erstellt.

Thema: Bernoullikette und Binomialverteilung

00:01 Vorstellung des Themas

00:10 Einführung Binomialverteilung ? Was ist das?

00:39 Der Binomialkoeffizient ? zunächst ein vergleichendes Beispiel mit 3 unterschiedlichen und 3 gleichen Kugeln

02:10 Der Binomialkoeffizient

02:38 Die Bernoullikette

03:05 Die Formel der Bernoullikette

03:45 Was kann die Formel für die Bernoullikette

03:57 Rechenbeispiel für eine Bernoullikette

04:48 Einführung für die Spezialfälle von Wahrscheinlichkeiten

05:06 Wahrscheinlichkeit für ?höchstens k Treffer?

05:30 Wahrscheinlichkeit für ?mindestens k Treffer?

6:38 Die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion

08:08 Dreimal ?Mindestens-Aufgaben?

10:38 Das Ziehen ohne Zurücklegen

11:00 Die Formel für das ?Ziehen ohne Zurücklegen?

11:46 Beispiel ?Ziehen ohne Zurücklegen?

12:50 Drei wichtige Fälle, zu denen man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann

13:12 Beispiel ?k Treffer an definierten Positionen?

14:18 Beispiel ?Treffer an Position x zum ersten Mal?

15:22 Beispiel ?k Treffer bis zu einer bestimmten Position x?

16:17 Alle 3 Formeln auf einen Blick

17:02 Schlussworte



Hallo und herzlich Willkommen. Ich bin der Manuel, und ich erzähle dir etwas über die Bernoullikette und die Binomialverteilung. Die Binomialverteilung ist eine besondere Art der diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt dann vor, wenn sich die Zufallsgröße X auf eine endliche oder abzählbare Menge konzentriert. Bei der Binomialverteilung gibt es genau 2 mögliche Ergebnisse pro Versuch. Die Ergebnisse werden als ?Treffer? und ?Niete? oder als ?Erfolg? und ?Misserfolg? bezeichnet.

Schauen wir uns zunächst den Binomialkoeffizienten an. Wir möchten drei Kugeln unterschiedlicher Farbe auf vier Plätze verteilen. Nach den Regeln der Kombinatorik ergeben sich folgende Möglichkeiten. Für die erste Kugel haben wir vier Plätze zur Auswahl, für die zweite Kugel noch drei Plätze und für die dritte Kugel noch zwei. Das heißt, wir haben insgesamt 24 Möglichkeiten, um drei Kugeln unterschiedlicher Farbe auf vier Plätze zu verteilen. Was ändert sich nun, wenn wir jetzt drei Kugeln gleicher Farbe auf vier Plätze verteilen möchten. Wenn wir zwischen den drei Kugeln nicht mehr farblich unterscheiden, so werden die Möglichkeiten rot, grün, orange-grün, rot orange und so weiter, keine unterschiedlichen Möglichkeiten mehr darstellen. Es bedeutet die sechs Möglichkeiten werden nur noch eine Möglichkeit. Dasselbe ist mit diesen sechs Möglichkeiten. Dasselbe mit diesen und mit diesen. Das bedeutet, unser Gesamtproblem reduziert sich auf insgesamt 4 Möglichkeiten. Berechnen lässt sich das Ganze mit vier Fakultät durch drei Fakultät mal eins Fakultät. Vier ist dabei die Anzahl der Plätze. Drei ist die Anzahl der Kugeln, die wir auf vier Plätze verteilen möchten, und eins ist die Anzahl der freien Plätze. Dieser Bruch lässt sich auch mit einer runden Klammer und einer vier oben und einer drei unten schreiben. Dies stellt den sogenannten Binomialkoeffizienten dar, der sich aus der Anzahl n der Versuche und aus der Anzahl k der Treffer zusammensetzt. Man liest hierbei k auf n oder n über k. Hierbei berechnet man die Anzahl der Möglichkeiten, mit der ein Treffer k unter n Versuchen auftreten kann, ohne einen bestimmten Treffer von einem anderen Treffer zu unterscheiden.

Schauen wir uns nun die Bernoulli-Kette an. Die Bernoulli-Kette beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Experiments, bei der folgende Kriterien erfüllt sein müssen: Während des Experiments gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch und die Wahrscheinlichkeit für den Treffer k und für die Niete darf sich während des Experiments nicht ändern. Es handelt sich hierbei um ein ?Ziehen mit Zurücklegen?.

Wie sieht die Formel der Bernoulli-Kette aus. P von X ist gleich k ist n über k mal p hoch k mal eins minus p hoch n minus k. Was bedeutet das? Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten für das Auftreten der Trefferanzahl existieren. P ist die Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch und k ist die Anzahl der Treffer insgesamt. Eins minus p ist die Nietenwahrscheinlichkeit pro Versuch und n minus k die Anzahl der Nieten insgesamt. N ist der gesamte Stichprobenumfang. Was kann diese Formel? Mit dieser Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer beim ?Ziehen mit Zurücklegen? berechnen.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. In einer Kiste befinden sich 100 Nägel. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 Prozent ist ein Nagel kaputt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei 10 Nägeln 2 kaputte Nägel zu finden? Der Stichprobenumfang, also unser n ist in dem Fall 10. Unter den zehn Nägeln möchten wir zwei kaputte Nägel finden. Das bedeutet unser k, also unser Treffer, ist 2. Die Trefferwahrscheinlichkeit, unser p, ist 10 Prozent. Das heißt p von X ist gleich 2 ist 10 über 2 mal 0,1 hoch 2 mal eins minus 0,1 hoch 10 minus 2, ergibt 19,37 Prozent.

Schauen wir uns einige Spezialfälle an. Neben der Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer interessiert man sich häufig auch für andere Treffervarianten, wie für die Wahrscheinlichkeit für ?höchstens k Treffer? und für die Wahrscheinlichkeit für ?mindestens k Treffer?.

Die Bezeichnung ?höchstens k Treffer? schließt alle Treffermöglichkeiten von 0 bis k ein. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für genau i Treffer wird von i gleich Null bis k aufsummiert. Hier wird jede Wahrscheinlichkeit für ?genau k Treffer? für jeden ganzzahligen Wert von k im Intervall Null bis k aufsummiert. Die Bezeichnung ?mindestens k Treffer? schließt alle Treffermöglichkeiten ab k , also von k bis n, ein . Das heißt, die Wahrscheinlichkeit für genau i Treffer wird aufsummiert von i gleich k bis n. Hierbei wird jede Wahrscheinlichkeit für ?genau k Treffer? für jeden ganzzahligen Wert von k im Intervall k bis n aufsummiert. Anstatt die Treffermöglichkeiten von k bis n einzuschließen, kann man diese Wahrscheinlichkeit auch beschreiben mit den Treffermöglichkeiten, die nicht eingeschlossen sind und zwar Null bis k minus eins. Das heißt, die Summe von i gleich k bis n lässt sich schreiben als Summe von i gleich Null bis k minus 1 und das Ganze, was uns jetzt nicht interessiert, wird von eins abgezogen. Das heißt in Worten: Die Wahrscheinlichkeit für mindestens k Treffer ist eins minus P für höchstens k minus eins Treffer.

Wieso haben wir eben die beiden Formeln auf P von höchstens k Treffer bezogen? Das liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeit für P von höchstens k Treffer eine besondere Wahrscheinlichkeitsfunktion darstellt, die sich ?kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion? nennt. Die kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion ist die Summe von i gleich Null bis k von P von X, X ist gleich i.

Hier ist das Ganze mal für n gleich 5, und für eine Trefferwahrscheinlichkeit von 0,1 für die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer und für höchstens k Treffer aufgelistet. Diese kumulative Wahrscheinlichkeitsfunktion und die normale Wahrscheinlichkeitsfunktion, also die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer, sind für viele n und k tabellarisch aufgelistet. Dies hat den Grund, dass für immer größer werdende n der Taschenrechner irgendwann den Binomialkoeffizienten nicht mehr ausrechnen kann. Hierbei müssen viele Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle abgelesen werden. Des Weiteren ist es sehr kompliziert Summen von i gleich Null bis Einhundert, zum Beispiel mit dem Taschenrechner auszurechnen. Auch hierfür ist die Tabelle wichtig.

Schauen wir uns die ?dreimal Mindestens-Aufgaben? mal an. In einer Box befinden sich 100 Kugeln, darunter 2 rote. Wie oft muss man mindestens ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens 1 Treffer zu erzielen? Hier kommt jetzt ?dreimal mindestens? vor. Schauen wir uns das Ganze Schritt für Schritt an. Zunächst überlegen wir uns, wie die Formel für mindestens k Treffer war. Die Formel lautet: 1 minus Summe von i gleich 0 bis k minus 1 von P von x ist gleich i. Für P von x ist gleich i steht die Formel für die Bernoullikette. Wie lautet nun die Formel für mindestens 1 Treffer? Wir setzen für k gleich 1 ein. Das heißt 1 minus Summe von i gleich 0 bis 1 minus 1 von P von x ist gleich i, und 1 minus 1 ist 0, das heißt wir berechnen die Summe von i gleich 0 bis 0, also setzen wir einfach für i Null ein. Damit haben wir: 1 minus n über 0 mal p hoch 0 mal Klammer auf 1 minus p Klammer zu hoch n minus 0. Und n über 0 ist jetzt 1 und genauso ist p hoch 0 1. Das heißt unsere Formel vereinfacht sich zu 1 minus Klammer auf 1 minus p Klammer zu hoch n. In diese Formel müssen wir nun die Trefferwahrscheinlichkeit 0,02 einsetzen, und das Ganze mit 99% gleichsetzen. Das heißt wir setzen hier für das p 0,02 ein ? 1 minus 0,02 ist 0,98 ? und 1 minus 0,98 hoch n wird jetzt mit 99% oder 0,99 gleichgesetzt. Und diese Formel müssen wir nun nach n auflösen. Die 0,99 bekommen wir mit Minus auf die linke Seite und die minus 0,98 hoch n bekommen wir mit Plus auf die rechte Seite. Anschließend lässt sich nach n mit dem Logarithmus auflösen und wir bekommen n gleich 228. Das heißt wir müssen 228 mal ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens eine rote Kugel zu ziehen.

Wird bei einem Zufallsexperiment die Wahrscheinlichkeit für den Treffer k nach jedem Ziehen verändert, so handelt es sich um ein ?Ziehen ohne Zurücklegen?. Hier darf die Formel für die Bernoullikette nicht verwendet werden, da es sich bei der Bernoullikette um ein ?Ziehen mit Zurücklegen? gehandelt hat.

Die Formel für ein ?Ziehen ohne Zurücklegen? sieht folgendermaßen aus: Wir haben im Nenner einen Binomialkoeffizienten mit einem großen N über einem kleinen n. Das große N ist die Gesamtzahl, zum Beispiel aller Nägel in einer Box. Das kleine n ist die Anzahl der Nägel, die einer Box tatsächlich entnommen werden, das heißt unser Stichprobenumfang. Im Zähler haben wir einen Binomialkoeffizienten r über k. [Das] r ist die Gesamtzahl aller kaputten Nägel in einer Box, und k ist die Anzahl der Treffer im Stichprobenumfang der Größe n, das heißt die tatsächlich gezogenen kaputten Nägel.

Schauen wir uns das Ganze an einem Beispiel an: In einer Box befinden sich 200 Nägel, darunter sind 20 kaputte Nägel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 10 Nägeln genau 3 kaputte zu bekommen? Die Gesamtzahl der Nägel ist 200, das heißt unser groß N ist 200. Insgesamt wollen wir 10 Nägel ziehen, das heißt der Stichprobenumfang, das klein n, ist 10. In der Box insgesamt befinden sich 20 kaputte Nägel. Also ist unser r 20. Insgesamt möchten wir 3 kaputte Nägel im Stichprobenumfang finden, das heißt unser k ist 3. Damit haben wir P von X ist gleich 3 ist 20 über 3 mal 180 über 7 geteilt durch 200 über 10 und das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 5,48%.

Schauen wir uns noch kurz 3 Fälle an, zu denen häufig die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden sollen: Die Wahrscheinlichkeit für k Treffer an definierten Positionen, die Wahrscheinlichkeit für Treffer an Position x zum ersten Mal und die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bis zu einer bestimmten Position.

Was ist anders zwischen den beiden Fällen ?genau k Treffer? und ?k Treffer an definierten Positionen?? Schauen wir uns dazu ein Beispiel an: Eine Box besteht aus 100 Nägeln, wobei 20 kaputt sind. Es sollen 10 Nägel gezogen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ?genau 3 kaputte Nägel? zu ziehen? P von X ist gleich 3 ist 10 über 3 mal 0,2 hoch 3 mal 1 minus 0,2 hoc 10 minus 3. Dies ergibt 20,13% und ist unsere normale Bernoullikette. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der erste, vierte und sechste Nagel kaputt ist. Während wir eben bei ?genau 3 kaputten Nägeln? alle Möglichkeiten berücksichtigen mussten, wann ein Treffer auftreten kann, ist hier der Ort für den Treffer genau festgelegt. Das bedeutet, unser Binomialkoeffizient fällt weg.

Wie berechnet man nun die Wahrscheinlichkeit, dass ?ein Treffer an Position x zum ersten Mal auftreten soll?? Schauen wir uns auch hierzu ein Beispiel an: Eine Box besteht wieder aus 100 Nägeln, wobei 20 kaputt sind, und es sollen 10 Nägel gezogen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass zum ersten Mal beim dritten Zug ein kaputter Nagel auftritt? An Position 1 und 2 tritt kein kaputter Nagel auf, das bedeutet wir schreiben für die Niete in den Exponenten eine 2 und an dritter Position soll ein kaputter Nagel auftreten, das heißt, bei der Trefferwahrscheinlichkeit schreiben wir in den Exponenten eine 1. Und alle übrigen Positionen ? 4, 5, 6.. bis 10 ? sind hier egal. Das heißt unsere Formel reduziert sich auf 0,2 hoch 1 mal 1 minus 0,2 hoch 2. Und das ergibt 12,8%.

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bis zu einer bestimmten Position x? Ein Beispiel: Eine Box besteht aus 100 Nägeln, wobei 20 wieder kaputt sind und es sollen wieder 10 Nägel gezogen werden. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, genau 3 kaputte Nägel unter den ersten 5 Versuchen zu ziehen. Die Wahrscheinlichkeit für X ist gleich 3 bei 5 Versuchen ist 5 über 3 mal 0,2 hoch 3 mal 1 minus 0,2 hoch 5 minus 3. Und das ergibt 5,12%. Das hier ist im Prinzip wieder die normale Bernoullikette, nur dass uns die Anzahl der kaputten Nägel lediglich bis zum 5. Versuch interessiert.

Die Allgemeinen Formeln nochmal auf einen Blick: Die Wahrscheinlichkeit für k Treffer an definierten Positionen war: p hoch k mal 1 minus p hoch n minus k ohne Binomialkoeffizienten. Die Wahrscheinlichkeit für Treffer an Position x zum ersten Mal ist: p hoch 1 mal 1 minus p hoch x minus 1. Und die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bis zu einer bestimmten Position ist: m über k mal p hoch k mal 1 minus p hoch m minus k.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Binominalverteilung? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

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