Zustandsänderungen – online lernen

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Matritzen — Zustandsänderungen

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12 ? Matrizen ? Zustandsänderungen

00:21 Prozesse modellieren

03:03 Austausch- und Übergangsmatrizen

04:06 Prozess modellieren

05:32 Übergangsmatrix aufstellen, mithilfe einer Matrix

11:41 Prozesse beobachten und Aussagen über Grenzverhalten treffen

17:54 Produktionsprozesse

18:33 Prozesse modellieren, mithilfe einer Tabelle

19:52 Produktionsmatrix aufstellen

20:05 Bedarf berechnen

22:27 Zusammenfassung der Produktionsprozesse

23:26 Schlussworte



Hallo und herzlich Willkommen zum Life-Forum Zustandsänderungen. Ich bin Kathi und wir wollen uns heute mal angucken, was Zustandsänderungen eigentlich sind. Und ich kann dir schon vorher verraten, es ist eigentlich ganz schön, denn bei Zustandsänderungen wendet man endlich mal die trockene Matrizenrechnung an und hat ganz schöne Anwendungsbeispiele.

Wenn wir von Anwendungsbeispielen reden, bedeutet das ja meistens für uns, dass wir irgendeine Textaufgabe vor uns liegen haben. Und dann ist der erste Schritt bei so einer Textaufgabe immer einen Prozess zu modellieren. Das sagen die Mathematiker immer. Das klingt schlimmer, als es eigentlich ist: Es bedeutet nichts anderes, als dass ich den Text sehr gut lese und mir dann überlege, von welchen der beiden Zustandsänderungen, die ich kenne, nämlich den Austausch- und Übergangsprozessen oder aber den Produktionsprozessen, kann ich die Aufgabe denn jetzt zuordnen? Interessant ist jetzt natürlich: Was sind jetzt überhaupt Austausch- und Übergangsprozesse? Austausch- und Übergangsprozesse beschreiben eben Übergänge. Ein ganz einfaches Beispiel: Wir kennen alle Bundestagswahlen. Und dabei werden immer ganz viele Daten gesammelt, unter anderem wird sich auch das Wahlverhalten der Wähler angeschaut. Das heißt, es ist ganz interessant zu wissen, wenn Bürger A vorher die CDU gewählt hat, was wählt er danach? Dafür gibt es sogenannte Fokusgruppenbefragungen. Diese Daten kann man sammeln und meistens stochastisch dann darstellen - auch das klingt schlimmer als es ist. Das ist eigentlich nur eine Datenmenge, die wir als Mathematiker oder als Schüler, die an Mathematik interessiert sind, dann zusammenfassen können zu einer sogenannten Übergangs- und Austauschmatrix. Diese Übergangs- und Austauschmatrizen beschreiben quasi dann diese Übergänge und lassen es zu, dass wir ein Verhalten beobachten können und damit auch vorhersagen können. Was du dir schon einmal merken solltest, ist, dass diese Übergangsmatrizen oder Austauschmatrizen immer eine quadratische Form haben, das heißt, wenn du dich selber kontrollieren möchtest, solltest du immer darauf achten bei einem Austausch- oder Übergangsprozess immer eine quadratische Matrix zu erhalten.

Dagegen ist es bei den Produktionsprozessen so, dass die Matrizen nicht unbedingt eine quadratische Form haben müssen. Es können hier, zum Beispiel, auch 2 kreuz 3 Matrizen vorkommen. Produktionsprozesse beschreiben den Bedarf an einem gewissen Wareneinsatz, damit ich ein Produkt damit gewinnen kann. Gut, das klingt ziemlich kompliziert, deshalb hab ich einfach mal ein Beispiel mitgebracht, das lautet: Ein Café verkauft in einer Aktion zwei verschiedene Spezialsorten von Milchkaffee und Latte Macchiato. Dabei haben sie einen Wareneinsatz von Wasser, Kaffee und Milch. Wie jetzt der Kaffeebetreiber vorhersagen kann, wie viel Wasser, Kaffee und Milch er braucht und um das nicht jeweils nur für Latte Macchiato und so weiter und den Milchkaffee ausrechnen zu müssen, das sehen wir gleich und werden dieses Beispiel handfest durchrechnen.

Aber vorher zu den Austausch- und Übergangsmatrizen. Auch hier habe ich ja gesagt: Wir befinden uns in der Anwendung der Matrizenrechnung, das heißt, wir haben es immer mit Sachaufgaben zu tun. Deshalb habe ich dir auch hier eine Sachaufgabe mitgenommen, in der es um das Essverhalten von Lieblingseissorten geht. Bei einer Umfrage hat sich nämlich ergeben, dass 30% der Menschen, die in einem Monat am liebsten Schokoladeneis essen, im nächsten Monat das Vanilleeis bevorzugen. Weitere 35% der Schokoladeneisliebhaber wechseln im Folgemonat auf Erdbeereis. Bei denen, die Vanilleeis in einem Monat am liebsten mögen, bleiben 80% auch im nächsten Monat bei ihrer Meinung und 7% wechseln danach zum Erdbeereis. Das heißt von Vanilleeis zum Erdbeereis. Bei den Erdbeereisessern bleiben 75% der Eissorte Erdbeere treu. Und 9% wechseln dagegen zu Vanille. Wir wollen uns jetzt überlegen, wie man am geschicktesten an so eine Aufgabe rangeht. Wir haben gerade eben schon gesagt: Das wichtigste bei Textaufgaben ist das sogenannte Prozessmodellieren. Das heißt, du musst jetzt erstmal überlegen, um was geht es eigentlich in dieser Aufgabe, was möchte sie mir sagen und welche Übergänge finden tatsächlich statt.

Hier ist es, glaube ich, sehr eindeutig. Wir haben drei verschieden Eissorten: Vanille, Schokolade und Erdbeere. Und man kann zwischen diesen Eissorten wild hin- und herwechseln. Das heißt, wenn ich in einem Monat gerne Vanille gegessen habe, kann es sein, dass ich im nächsten Monat ? oder das ein gewisser Prozentteil der Menschen im nächsten Monat ? gerne Erdbeereis isst. Das heißt, ich kann meine Vorliebe von dem Eis verändern. Ich kann aber auch, und das sagen jetzt diese gebogenen Pfeile an, ich kann auch einfach bei meinem Lieblingseis bleiben. Das heißt, ich kann weiterhin bei meinem Vanilleeis bleiben im Folgemonat. Du siehst vielleicht hier schon ganz gut, dass solche Pfeildiagramme einem immer helfen können, solche komplexeren Prozesse oder längere Textaufgaben zu verstehen. Das heißt, gerade deshalb ist das Prozessmodellieren so wichtig. Wenn du jetzt auch schon etwas mathematischer werden möchtest, könntest du an die Pfeile auch schon die ganzen wichtigen Prozentzahlen schreiben. Eine Sache, die ich dir am Anfang auf jeden Fall ans Herz legen würde.

Wir gehen an der Stelle jetzt allerdings weiter und kommen schon zum zweiten Punkt. Der Punkt, an dem wir die Übergangsmatrix schon richtig aufstellen können. Um diese aufstellen zu können, möchten wir uns das ganze Problem einmal in einer Tabelle veranschaulichen. In dieser Tabelle stellen die Spalten, also Vanille, Schokolade und Erdbeere, die Lieblingseissorte im ersten Monat dar und die Zeilen zeigen wohin man wechselt. Das heißt, wenn ich erst Vanilleeis am liebsten mochte und im Folgenden Schokolade, wäre dieses Feld für mich interessant bzw. da würde ich hingehen. Von Vanille- zur Schokoladenliebhaberin. Ich habe hier jetzt in dem Text schon mal extra alles bunt markiert, wo wichtige Informationen drinstehen, die wir nun in die Tabelle eintragen können. Vorneweg sollten wir sagen, wir werden in die Tabelle jetzt nicht die Prozentzahlen eintragen, sondern die Dezimalzahlen. Ich denke, das kannst du schon ganz gut und es ist auch relativ einfach, jede Prozentzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

Bei Umfragen hat es sich ergeben, dass 30% der Menschen, die in einem Monat am liebsten Schokoladeneis essen, im nächsten Monat Vanilleeis bevorzugen. Wir sind also zuerst bei den Schokoladenliebhabern. Das ist diese Spalte. In hellblau ist hier eingezeichnet, 30% der Menschen, die am liebsten Schokoladeneis essen ? wie gesagt, das Schokoladeneis ist hier ? essen danach Vanilleeis. Schokolade, erste Zeile ist Vanille, das heißt hier muss ich in hellblau die bekannten 30% - also 0,3 ? eintragen. Die nächste Information verbirgt sich in dem hellgrünen Text. Weitere 35% der Schokoladeneisliebhaber wechseln im folgenden Monat auf Erdbeereis. Das heißt, wir bleiben bei der Spalte Schokolade und müssen jetzt allerdings zu Erdbeere wechseln, also in dieses Kästchen. Also wechseln insgesamt 0,35 ? in Anteilen ausgedrückt ? der Schokoladeneisliebhaber im Folgemonat zu Erdbeereis. Bei denen, die Vanilleeis in einem Monat am liebsten mögen, bleiben 80% im Folgemonat der Meinung. Erst Vanille, das ist diese Spalte, zu Vanille, das ist diese Zeile, also muss in diese Kästchen unsere lilane 0,8 ? also 80% - eingetragen werden. Und 7%, hier in schwarz dargestellt, wechseln zu Erdbeereis. Wir sind wieder in der Spalte Vanille, weil wir mochten am liebsten Vanille und wechseln jetzt allerdings zu Erdbeere, das heißt hier müssen wir 0,07 eintragen. Fehlen noch ein paar Informationen zu den Erdbeereisessern. Bei den Erdbeereisessern bleiben 75% der Sorte treu. In knallrot müssen wir also jetzt von Erdbeere wieder zu Erdbeere, weil wir bleiben bei der Sorte Erdbeere, und tragen deshalb in rot hier in diese Kästchen 0,75 ein. Fehlt eine allerletzte Information. 9% der Erdbeereisesser wechseln dagegen zu Vanille. Das heißt, hier schreiben wir in Dunkelrot 0,09 hin.

Jetzt haben wir schon fast alle Einträge in unserer Tabelle zusammengefasst. Aber halt nur fast und noch nicht alle. Jetzt kommt eine wichtige Regel ins Spiel, mit der du dich auch immer kontrollieren solltest. Bei Übergangsmatrizen muss die Summe der Spalten immer 1 ergeben. Achtung, die Summe der Zeilen muss nicht unbedingt 1 ergeben, immer nur der Spalten. Das heißt, hier muss die Summe 1 ergeben, hier muss die Summe 1 ergeben und auch hier muss die Summe 1 ergeben. Wenn ich jetzt Rückschlüsse ziehen möchte auf diese Kästchen, also auf die Prozentzahl der Vanilleeisliebhaber, die zu Schokoladeneis wechseln, subtrahiere ich einfach die anderen Einträge von der eins und erhalte hier die gewünschte oder gesuchte Prozentzahl. Das heißt, ich rechne 1 minus 0,8 minus 0,07 und komme auf 0,13 also auf 13% der Vanilleeisliebhaber wechseln zu Schokoladeneis. Das gleiche mache ich bei den Schokoladeneisliebhabern. Wie viel Prozent bleiben ihrer Eissorte treu? Ich rechne wieder 1 minus 0,3 minus 0,35 und das ist 0,35, das heißt 35% der Schokoliebhaber bleiben auch im Folgemonat bei Schokolade. Und zu guter Letzt fehlen noch die Wechsler von Erdbeere zu Schokolade. Auch die wieder, genau wie eben, umgeformt nach der Regel, dass die Spaltensumme immer 1 ergeben muss, muss ich also rechnen 1 minus 0,09 minus 0,75 ergibt 0,16. Das heißt, 16% der Erdbeereisliebhaber wechseln von Erdbeere zu Schokolade.

Jetzt ist es ganz einfach, wenn ich mir eine solche Tabelle aufgeschrieben habe, von dieser Tabelle auf die so genannte Übergangsmatrix zu schließen. Denn die Übergangsmatrix sind jetzt genau die Einträge, die ich vorhin in meine Tabelle geschrieben habe. Wir nennen diese Übergangsmatrix jetzt hier einmal A. Wichtig ist, dass du dir merken solltest, dass in der ersten Zeile und der ersten Spalte immer genau das steht, was mit Vanille zu tun hat, in der zweiten Zeile und in der zweiten Spalte das, was mit der Schokolade zu tun hat, und in der dritten Zeile und in der dritten Spalte all das, was mit Erdbeere zu tun hat. Aber jetzt haben wir schon einen der größten und schwierigsten Schritte geschafft und zwar haben wir die Übergangsmatrix dargestellt. Leider enden solche Sachaufgaben meistens nicht damit, einfach nur die Übergangsmatrix darzustellen. Man soll in einem dritten Schritt die Prozesse beobachten und dann Aussagen für das Grenzverhalten treffen. Wir wollen in diesem Punkt hier nur den Prozess beobachten. Was bedeutet denn das? Das heißt, ich bekomme eine Information, wie hier, dass es insgesamt 150 Schokoladeneisliebhaber, 150 Vanilleeisliebhaber und 150 Erdbeereisliebhaber gibt. Mit dieser Information muss ich jetzt allerdings hantieren, denn die Frage ist: Wie sieht denn das jetzt im Folgemonat aus? Wie viele Schokoladen-, Vanille- und Erdbeereisliebhaber gibt es dann?

Dafür brauche ich als erstes wieder meine Übergangsmatrix, die ich schon berechnet habe und als zweites brauche ich einen so genannten Startvektor, hier v. Wie ist dieser Startvektor aufgebaut? Der Startvektor hat als Einträge die Anzahl der einzelnen Eisliebhaber. Also der erste Eintrag steht für die Anzahl der Eisliebhaber oder der Eissorte der ersten Zeile aus meiner Matrix. Wir erinnern uns: In der ersten Zeile meiner Matrix stand immer alles über unsere Vanilleliebhaber, das heißt diese 150 gilt für die Vanilleeisliebhaber. Weiter gilt die zweite Zeile und damit auch der zweite Eintrag im Vektor dann für meine Schokoladeneisliebhaber und die dritte Zeile stellte alles mit Erdbeere dar, das heißt der dritte Eintrag gilt hier für die Anzahl der Erdbeereisliebhaber. Wir haben jetzt hier ein sehr einfaches Beispiel, denn die Anzahl ist jeweils gleich. Wenn ich jetzt allerdings das ganze berechnen möchte für den Folgemonat, muss ich eine Matrix-Vektor-Multiplikation vornehmen. Das heißt, ich multipliziere für die erste Veränderung die Matrix, meine Übergangsmatrix, mit meinem Startvektor.

Wenn ich das mache, erhalte ich einen neuen Vektor und aus diesem neuen Vektor kann ich mir jetzt die Anzahlen ablesen von den einzelnen Eissortenliebhabern. Das heißt, der erste Eintrag ist der für die Anzahl der Vanilleeisliebhaber, der zweite der für die Anzahl der Schokoladeneisliebhaber und der dritte für die Anzahl der Erdbeereisliebhaber. Wir wollen hier noch einmal ganz kurz überlegen, wie ich eigentlich eine Matrix mit einem Vektor multipliziere. Das machen wir ganz kurz anhand der ersten Zeile. Wir rechnen für den ersten Eintrag hier oben die erste Zeile mal den Vektor. Das heißt, 0,08 mal 150 plus 0,3 mal 150, den zweiten Eintrag im Vektor, plus 0,09 mal 150. Und das ist dann 178,5.

Jetzt werden vielleicht ein paar geübtere Augen schon sagen, das ist aber komisch, denn hier kommen jetzt ja halbe Mensch raus, denn der Vektor stellt ja die Anzahl der einzelnen Teilnehmer dar, der einzelnen Eissortenliebhaber. Ganz richtig, wenn die Aufgabe lautet, du sollst nur die Verteilung nach dem ersten Monat sagen, solltest du an dieser Stelle richtig runden. Du kannst dich selber immer dann kontrollieren, ob du richtig gerechnet hast, wenn die Summe der Einträge im Vektor genau die gleiche ist wie am Anfang, wie beim Startvektor. Beim Startvektor ist die Summe der Einträge 150 plus 150 plus 150, also 450. Und dann kontrollieren wir uns einmal bei der ersten Veränderung. 178,5 plus 96 plus 175,5 ist auch wieder 450, das heißt, wir haben richtig gerechnet. Eine wichtige Kontrolle, die du nicht vergessen solltest.

Da wir den Prozess jetzt aber noch länger beobachten wollen als nur den ersten Monat, möchten wir uns auch noch den zweiten Monat angucken, deshalb runden wir den Vektor zu diesem Zeitpunkt noch nicht. Was mache ich jetzt nun um die Veränderung im zweiten Monat zu haben? Ich habe natürlich wieder meine Übergangsmatrix, die bleibt die gleiche; allerdings ändert sich jetzt mein Vektor. Ich nehme jetzt den Vektor vom ersten Monat. Das heißt, ich rechne Matrix, die Übergangsmatrix, mal den Vektor nach dem ersten Monat und komme dann auf ein Ergebnis für die zweite Veränderung, das heißt für die Veränderung nach dem zweiten Monat. Diese ist dann 178, 85 und 178. Das heißt, auch hier merken wir, dass sowohl die Vanilleeisliebhaber zugenommen haben als auch die Erdbeereisliebhaber. Aber die Schokoladeneisliebhaber, die nehmen nach und nach ab. Um unsere Vermutung jetzt noch ein wenig zu unterstützen, möchten wir das Ganze jetzt auch noch in der dritten Veränderung rechnen. Wir erinnern uns, wir müssen die Übergangsmatrix nehmen, mal einem Vektor. Welcher Vektor nochmal? Ach ja, wir möchten das für den dritten Vektor bestimmen, also muss ich den Vektor nach dem zweiten Monat nehmen. Das heißt, hier mal 178, 85 und 178. Und dann komme ich auf eine Verteilung, die mir sagt, dass es nach drei Monaten insgesamt 191 Vanilleliebhaber gibt, 83 Schokoesser und 176 Leute, die die Eissorte Erdbeereis favorisieren. Wir haben es gerade schon ein bisschen angedeutet: Genau, es werden immer mehr Vanille- und Erdbeereisliebhaber, aber die Anzahl der Schokoladeneisliebhaber sinkt nach und nach. Was heißt das für einen Eisbesitzer? Vielleicht, wenn er die Entwicklung beobachtet, sollte er aufpassen und ein bisschen mehr Vanille- und Erdbeereis produzieren, dafür aber ein bisschen weniger von dem Schokoladeneis. So kannst du deine Antwort im Sachkontext interpretieren. Das war es auch schon zu den Austausch- und Übergangsprozessen - jetzt wollen wir gerne zu den Produktionsprozessen kommen.

Wir hatten ganz am Anfang schon ein kleines Beispiel, was ich jetzt etwas weiter ausführen möchte: Ein Café verkauft in einer Aktion zwei verschiedene Spezialsorten von Milchkaffee und Latte Macchiato. Als Waren werden Wasser, Kaffee und Milch eingesetzt. Für den neuen Milchkaffee braucht das Geschäft fünf Einheiten Kaffee, fünf Einheiten Wasser und vier Einheiten Milch. Dagegen sind im Latte Macchiato drei Einheiten Kaffee, zwei Einheiten Wasser und sieben Einheiten Milch. Auch hier gilt es: Als erstes müssen wir den Prozess modellieren; und das machen wir hier am geschicktesten mit Hilfe von einer Tabelle. Nun ist es sehr wichtig, was du in die Spalten und was du in die Zeilen eintragen solltest. Das solltest du niemals verwechseln, denn sonst bekommst du genau gekippte Matrizen raus und nicht die richtigen Produktionsprozessmatrizen. Wichtig ist, dass du in die Spalten immer die Produkte schreibst. In den Zeilen steht der Wareneinsatz, also das, was du brauchst, um das Produkt herzustellen. Das heißt, bei uns ist es hier der Milchkaffee und wie war das nochmal beim Milchkaffee? Beim Milchkaffee brauchte ich fünf Einheiten Wasser, ich brauchte auch fünf Einheiten Kaffee und ich brauchte vier Einheiten Milch. Hier in grün aus dem Text entnommen. Für den Latte Macchiato hingegen brauchte ich drei Einheiten Wasser, zwei Einheiten Wasser, drei Einheiten Kaffee und sieben Einheiten Milch. So eine Tabelle lässt sich immer sehr schnell aufstellen und das würden wir dir an dieser Stelle auch raten. Denn aus der Tabelle kann man ganz schnell die Produktionsmatrix ablesen, denn das ist genau wie in den Austausch- und Übergangsprozessen. Es sind die Einträge in der Tabelle genau deine Produktionsmatrix. Allerdings ist es auch hier genau das gleiche: Mit der Produktionsmatrix ist die Aufgabe meistens noch nicht gelöst, sondern in der Regel soll man mit Hilfe dieser Produktionsmatrix, die man aus dem Text entnommen bzw. berechnet hat, ein gewissen Bedarf berechnen. Meistens geht also eine solche Fragestellung noch weiter.

Der Betreiber des Cafés sagt voraus, dass am ersten Tag der Aktion vermutlich 540 Milchkaffee und 720 Latte Macchiato verkauft werden. Mit welchem Wareneinsatz von Milch, Wasser und Kaffee ist denn nun zu rechnen? Also, auf gut Deutsch: Wie viel muss er vorher einkaufen? Auch hier gilt auch wieder: Wir haben eine Matrix-Vektor-Multiplikation. Interessant ist hier allerdings mit welchem Vektor. Ich habe es dir hier schon einmal aufgezeichnet: Wir nehmen diesen Vektor. Wir wissen, dass es insgesamt 540 Milchkaffee gibt. Warum steht jetzt die Anzahl der Milchkaffee im ersten Eintrag? Das ist sehr wichtig, denn der erste Eintrag ist immer der Eintrag für den die erste Spalte galt, in meiner Übergangsmatrix. Der zweite Eintrag ist die Anzahl der Produkte, für den die zweite Spalte von meiner Übergangsmatrix galt. Habe ich jetzt auch eine dritte, vierte, fünfte, gilt der dritte Eintrag im Vektor der dritten Spalte in meiner Produktionsmatrix, der vierte dann der vierten Spalte. Ich kann jetzt also auch hier wieder eine Vektor-Matrix-Multiplikation durchführen, nämlich 5 mal 540 plus 2 mal 720 rechnen und komme auf 1690 Einheiten Wasser, 4860 Einheiten Kaffee und 7200 Einheiten Milch. Das heißt, du siehst hier, ich bekomme einen Vektor raus, der drei Einträge hat. Also gilt der erste wieder, genau wie bei der Matrix, für die erste Zeile in der Matrix, hier das Wasser. Der zweite Eintrag im Vektor gilt für die zweite Zeile in der Produktionsmatrix, also hier Kaffee und der dritte Eintrag im Vektor gilt für die dritte Zeile der Matrix, also hier der Einsatz von Milch.

Fassen wir die Produktionsprozesse einmal zusammen. Mit Produktionsprozessen bzw. mit Produktionsmatrizen lässt sich der Bedarf von Waren sehr einfach berechnen, solange ich eine Prognose habe, wie viel Produkt ich denn verkaufen möchte. Die Spalten stellen immer die Produkte dar oder das, was ich gerne herstellen möchte; die Zeilen dagegen die Wareneinsätze, also das, was ich benötige, um eben das Produkt herzustellen. Dabei ist es ganz wichtig, dass ich darauf achte, dass in den Spalten tatsächlich die Produkte und in den Zeilen tatsächlich die Wareneinsätze stehen, denn sonst kommt man leider auf falsche Matrizen. Wichtig ist auch, du kannst dich hier nicht wie bei den Übergangs- und Austauschprozessen kontrollieren dadurch, dass die Matrix quadratisch ist, denn bei Produktionsmatrizen muss die Matrix nicht von quadratischer Form sein.

Ich bedanke mich bei dir für deine Aufmerksamkeit und hoffe, dass du das Thema Zustandsänderung ein wenig besser verstanden hast und deine Fragen nun beantwortet sind. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathematik jetzt noch zu intensivieren, empfehlen wir dir unsere ganz speziellen Abi Crashkurse Mathematik in deiner Schülerhilfe vor Ort. Da wirst du bestens auf das Abi vorbereitet und vor allem kannst du dann mit einem besseren Gefühl in deine Prüfung gehen. In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dann, die wichtigsten Mathethemen, ganz deinem Bundesland spezifisch, aufzuarbeiten und dich so optimal auf deine Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir also gezielt Musteraufgaben, die deinem Problem entsprechen, aber vor allem auch Originalprüfungen aus den letzten Jahren und besprechen diese intensiv. Alles, damit du eine bessere Note schreiben kannst.

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