Grundlagen – online lernen

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Matritzen — Grundlagen

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Thema: Matrizen in der Linearen Algebra - Matrizen Grundlagen

00:00 Einleitung

00:25 Was ist eine Matrix?

03:17 Was kann eine Matrix beschreiben?

04:20 Besondere Matrizen

05:32 Matrix * Vektor

07:56 Matrix + Matrix

08:33 Matrix * Matrix

10:50 Transponieren

13:13 Invertieren

14:17 Abschlussworte



Willkommen zum Live-Forum Matrizen in der Linearen Algebra. Wir werden uns anschauen, was eine Matrix ist, was sie alles beschreiben kann, was für besondere Matrizen wir uns merken sollten und was für Operationen wir auf ihr ausführen können. Das wäre einmal Matrix mal Vektor, Matrix plus Matrix, Matrix mal Matrix, das Transponieren einer Matrix oder eines Vektors oder das Invertieren einer Matrix.

Was ist eine Matrix? Hier sehen wir vier Beispiele für Matrizen. Wir schreiben sie immer in Klammern und sie bestehen aus Spalten und Zeilen. Und diese Spalten und Zeilen legen sozusagen auch die Dimensionen fest dieser Matrix. Die Dimensionen schreiben wir mit m kreuz n. Dabei ist m die Anzahl der Zeilen, also die Höhe der Matrix und n die Anzahl der Spalten, also die Breite der Matrix. Wir werden uns gleich anschauen, welche Dimensionen sozusagen diese vier Matrizen haben.

Der Vektor, so wie wir ihn hier rechts sehen, entspricht dann einer m kreuz eins Matrix. M ist dann eben die Höhe des Vektors, aber da sie sozusagen nur die Breite eins hat, ist m mit eins festgelegt. Die Einträge einer Matrix sind, zumindest nach der Schul-Mathematik, reelle Zahlen. Bei den meisten Beispielen werden wir ganze Zahlen haben, aber es dürften auch reelle Zahlen sein. Wir benennen die Matrix mit Großbuchstaben, meistens A, B, C, M oder N und ihre Eintrage können wir auch durch ihre Koordinaten exakt benennen.

Schauen wir uns zuerst an, welche Dimensionen diese Matrizen hier haben. Die erste Matrix hat drei Spalten und drei Zeilen. Also ist es eine drei kreuz drei Matrix. Die nächste, diese hat zwei Zeilen und drei Spalten, also zwei kreuz drei. Also immer zuerst die Zeilen zählen und danach die Spalten. Die nächste ist wieder quadratisch, also eine vier kreuz vier. Und dann haben wir drei Zeilen und zwei Spalten, also drei kreuz zwei. Ja und wie vorhin bereits gesagt, dieser Vektor hier ist eine drei kreuz eins Matrix sozusagen.

Ganz allgemein kann man eine Matrix auf diese Art und Weise definieren. Also die Matrix A, dafür gibt es eben verschiedene Schreibweisen, meistens reicht aber einfach nur der einfache Großbuchstabe, besteht aus den ganzen Einträgen. Diese Einträge haben sozusagen Koordinaten. Die erste Koordinate ist dabei die Zeile. Die zweite Koordinate ist die Spalte. Wenn wir also eine m kreuz n Matrix haben, dann ist der letzte Eintrag unten rechts amn, also die größten Zahlen in beiden Fällen. Meistens hilft es zur Übersicht, zwischen den beiden Koordinaten noch ein Komma zu setzen. Hier ein Beispiel für eine drei kreuz drei Matrix. Der erste Eintrag a eins Komma eins ist eben die Zahl eins und der Eintrag a zwei Komma drei ist die Zahl sechs. Das ist eben in der zweiten Zeile in der dritten Spalte.

Was kann eine Matrix alles beschreiben? Z.B. Austausch- und Entwicklungsprozesse, so etwas, was wir hier rechts sehen. Wir haben z.B. drei Supermärkte zwischen denen die Kunden immer wieder hin- und herwechseln. Wir können auch lineare Gleichungssysteme in Form von Matrizen schreiben. Wir können lineare Abbildungen, die hauptsächlich in der Universität behandelt werden, damit beschreiben. Gerade auch in der Geometrie können sie Spiegelungen, Rotationen, Scherungen und Streckungen beschreiben, aber auch vieles mehr, was eben meist auch erst im Studium behandelt wird. Bei einem solchen Austauschprozess beschreiben die Zahlen an den Seiten des Diagramms z.B. welche Anteile der Kunden von Supermarkt A zu Supermarkt B wechseln oder bei Supermarkt A bleiben und so weiter. Diese Zahlen sind dann nämlich die Einträge in der Matrix, die den Austausch der Kunden beschreiben. Und noch ein Beispiel aus der Geometrie: Wir haben eine Scherung (eine Scherung entsteht dann, wenn ein Rechteck zu einem Paralellogramm schert) und auch so eine Abbildung könnte mit einer Matrix beschrieben werden.

Ein paar besondere Matrizen und zwar einmal die Einheitsmatrix, die wird entweder mit einem großen E, einem großen I oder mit einer eins beschreiben. Hier sehen wir die Einheitsmatrizen des zweidimensionalen, dreidimensionalen und vierdimensionalen. Im Grunde ist eine quadratische Matrix, die von links oben nach rechts unten Einsen hat und ansonsten nur Nullen. Ihr Zweck ist, naja, wenn wir mit der Einheitsmatrix mit einer Matrix oder einem Vektor mal nehmen, entsteht keine Veränderung. Es ist also ganz ähnlich wie wenn man mit einer eins multipliziert. Man nennt sie auch das neutrale Element der Multiplikation. Dann gibt es noch die Nullmatrix und wie der Name schon sagt, ist es so, dass sie nur aus Nullen besteht. Und auch hier können wir wie bei der Einheitsmatrix die quadratischen Matrizen immer weiterführen für alle Dimensionen. Wenn man die Nullmatrix mit einer Matrix oder einem Vektor malnimmt, dann ist das Ergebnis immer eine Nullmatrix oder eben ein Nullvektor. Wenn wir sie addieren oder subtrahieren, dann entsteht keine Veränderung, also ähnlich wie wenn man mit einer Null addieren oder subtrahieren würde. Demnach ist die Nullmatrix hier das neutrale Element der Addition und Subtraktion.

Matrix mal Vektor. Ganz wichtig ist, die Breite der Matrix muss mit der Höhe der Matrix übereinstimmen. Warum? Das werden wir gleich sehen. Wenn die nicht übereinstimmen, dann können wir das gar nicht ausrechnen. Dann geht das überhaupt nicht. Also hier haben wir eine quadratische Matrix A, drei kreuz drei und den Vektor zehn, elf, zwölf. Um diesen nun mal zu nehmen, müssen wir es erstmal so aufschreiben, A mal Vektor. Dabei multiplizieren wir den Vektor sozusagen von rechts dann. Und wenn wir das nun ausrechnen, nehmen wir nach und nach die Zeilen der Matrix und nehmen sie immer mit der Spalte mal. Wie genau funktioniert das? Schauen wir uns mal die obere Zeile an. Wir nehmen die eins aus der Matrix, also die erste Zeile und die erste Spalte, und nehmen sie mit der zehn aus dem Vektor mal, also den ersten Eintrag. Dann gehen wir in der Matrix nach rechts und im Vektor nach unten, also zur zwei in der Matrix und zur elf im Vektor und nehmen diese mal. Und darauf addieren wir dann die drei, also einen Schritt nach rechts in der Matrix mit der 12 mal, einen Schritt nach unten im Vektor. Also in der Matrix immer nach rechts gehen und im Vektor immer nach unten gehen. Dieses ergibt dann die erste Zeile, die dann die erste Zeile unseres Ergebnisvektors ist. Schauen wir uns noch die zweite an. Wir gehen von links nach rechts, also hier fünf und sechs und multiplizieren diese dann jeweils mit zehn, elf und zwölf. Also vier mal zehn plus fünf mal elf plus sechs mal zwölf und das gleiche dann in der dritten Zeile. Diese Terme rechnen wir dann aus und erhalten wieder einen Vektor. Schauen wir uns noch den Spezialfall Einheitsmatrix an. Die Einheitsmatrix war ja wie gesagt die Matrix, die auf ihrer Diagonalen nur Einsen hat und ansonsten Nullen. Auch hier, nehmen wir sozusagen die erste Zeile mit dem Vektor mal und erhalten dadurch eins mal eins plus null mal zwei plus null mal drei, da die anderen beiden Einträge in der Matrix ja null sind in dieser Zeile.Das gleiche mit der zweiten und dritten Zeile und wir sehen, dass wir im Grunde nur die Einträge des Vektors übernehmen ohne sie zu verändern. Kommen wir noch schnell zu Matrix plus Matrix. Da passiert eigentlich nicht ganz viel, wir müssen nur darauf achten, dass die Dimensionen der Matrizen genau übereinstimmen (und zwar sowohl in Breite auch als Höhe). Also in diesem Fall, haben wir zwei Matrizen (und zwar zwei kreuz drei Matrizen) und wir addieren sie einfach, indem wir die entsprechenden Einträge aufeinander addieren, die auch auf der gleichen Stelle stehen. Also hier z.B. oben links die Eins aus der linken Matrix plus oben links die Null aus der rechten Matrix. Eins plus null, bleibt also eine Eins. Zuerst einmal muss hier auch die Höhe der ersten Matrix mit der Breite der zweiten Matrix übereinstimmen. Im Grunde multiplizieren wir die linke Matrix mit den einzelnen Spalten der rechten Matrix. Wir führen dabei sozusagen jedes Mal die Multiplikation zwischen Matrix und Vektor durch. Wir haben im Grunde nur mehrere Vektoren nebeneinander, die zusammen eine Matrix ergeben. Schauen wir uns dieses Beispiel an. Wir haben eine zwei kreuz drei und eine drei kreuz drei Matrix, bedeutet also, die Breite der ersten Matrix, nämlich mit drei, stimmt mit der Höhe der zweiten, auch drei, überein. Wir multiplizieren diese nun, indem wir die ersten Zeile von A und die erste Spalte von B nehmen und das Ergebnis landet auch am Ende in der ersten Zeile und ersten Spalte der Ergebnismatrix. Also hier, drei, zwei, eins und eins, null, vier ergeben dann den Term drei mal eins plus zwei mal null plus eins mal vier. Alles zusammen gerechnet ergibt dann die sieben oben links. Jetzt gehen wir in der Matrix B einen Schritt nach rechts, wir nehmen also weiterhin von A die erste Zeile, aber von B die zweite Spalte. Man sieht also, die grünen Zahlen haben wir nicht verändert, also die Zeile der linken Matrix, aber wir nehmen nun mit zwei, eins und null mal, also drei mal zwei plus zwei mal eins plus ein mal null und das ergibt uns dann die obere rechte Zahl in unserer Ergebnismatrix. Nun sind wir die erste Zeile durchgegangen, also wechseln wir von A in die zweite Zeile und fangen wieder von neu an, mit der ersten Spalte von B, eins mal eins plus null mal null plus zwei mal vier. Und da wir eben die zweite Zeile mit der ersten Spalte genommen haben, tragen wir das Ergebnis auch in der Ergebnismatrix dort ein, nämlich die neun. Nun nehmen wir doch die zweite Zeile von A mit der zweiten Spalte von B und erhalten damit auch den Eintrag unten rechts in der Matrix.

Das Transponieren einer Matrix. Was wir dazu tun. Wir ziehen sozusagen eine Diagonale, die von oben links nach unten rechts geht und spiegeln alle Einträge an dieser Diagonale. Das bedeutet aber auch, dass die Dimension dieser Matrix sich vertauschen. Schauen wir uns dazu direkt ein Beispiel an. Hier haben wir eine quadratische Matrix, 3 Kreuz 3. Wir ziehen eine Diagonale von oben links nach unten rechts durch und nun spiegeln wir alle Zahlen an dieser Diagonale. Die Diagonale selbst bleibt dabei natürlich unverändert. Schauen wir uns an, die 2 und 4 haben die Plätze getauscht, 3 und 7 haben die Plätze getauscht und 8 und 6 haben auch die Plätze getauscht. Das ist nun die transponierte Matrix A. In dem Fall bleibt natürlich eine 3 Kreuz 3 Matrix auch weiterhin eine 3 Kreuz 3 Matrix. Nehmen wir die Matrix B, eine 3 Kreuz 2 Matrix. Wir beginnen die Diagonale oben links. Das bedeutet dieses Mal werden 1 und 7 fest stehen bleiben. Die transponierte Matrix B entsteht nun so, dass wir auch die Dimension sozusagen austauschen. 1 und 7 sind weiterhin auf einer Diagonalen, daran wurden 3 und 0 sogar gespiegelt und 2 und 5 wurden auch daran gespiegelt. Wenn einem das mit der Diagonale etwas zu kompliziert ist, kann man das auch einfach so machen, dass man die Matrix spaltenweise durchgeht und die einzelnen Einträge, die man darauf findet zeilenwiese wieder hinschreibt. Also wenn wir die Matrix 1, 3, 2 lesen, schreiben wir dann die Zeile 1, 3, 2 hin und anschließend gehen wir durch die Spalte 0, 7, 5 und schreiben die Zeile darunter 0, 7, 5. So oder so, aus dieser 3 Kreuz 2 Matrix wurde eine 2 Kreuz 3 Matrix.

Schauen wir uns das zuletzt noch bei einem Vektor an. Einen Vektor können wir nämlich auch transponieren. Das bedeutet einfach, dass wir die Einträge nebeneinander hinschreiben. Also in diesem Fall wurde aus einer 3 Kreuz 1 Matrix eine 1 Kreuz 3 Matrix. Schauen wir uns noch zuletzt einmal das Invertieren an. Wenn man eine Matrix mit ihrer Inversen malnimmt, dann erhält man immer die Einheitsmatrix, ähnlich wie wenn man Brüche mit ihrem Kehrwert multipliziert. Die Sache ist nur, dass es von Hand sehr aufwendig ist und in der Schule deshalb in der Regel mit dem Taschenrechner betrieben wird. Hier haben wir die Matrix 2, 5, 1, 3 und ihre Inverse wurde mit dem Taschenrechner bestimmt als 3, minus 5, minus 1, 2. Wenn wir diese beiden Matrizen nun miteinander malnehmen, werden wir sehen, dass die Einträge die Einheitsmatrix ergeben. Wie gesagt durch Ausprobieren ist es äußert langwierig. Es gibt dafür mehrere Algorithmen, die man durchführen kann, aber in der Regel wird dafür der Taschenrechner verwendet, da diese Algorithmen eben sehr langwierig sein können.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all? deine Fragen zum Thema Matrizen in der linearen Algebra perfekt beantworten konnte. Um deine Abiprüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen neuen Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst. In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre, alles für deine bessere Note. Nun musst du nur ein Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen. Du kannst aber auch unter der angegebenen Rufnummer direkt Kontakt mit uns aufnehmen. Wir freuen uns auf dich!

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