Grundlagen – online lernen

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Integrale — Grundlagen

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Integrale.
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Thema: Integrale

00:00 Einleitung: Integrale

00:12Anwendungsbeispiel: Fahrzeug auf Autobahn

01:39Allgemeine Herleitung der Fläche

02:31Definitionen

04:11Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

05:16Integration konstanter Funktionen

06:38Potenz-/Faktorregel

07:42Summenregel

08:38Wichtige Integrale

09:41Verfahren: Integration durch Substitution

12:12Verfahren: Partielle Integration



Herzlich Willkommen. Mein Name ist Kevin und ich werde dir heute erklären, was Integrale sind und wie sie berechnet werden. Fangen wir doch direkt mit einem Anwendungsbeispiel an:

Ein Fahrzeug, z.B. ein LKW, fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit von v=80 km/h auf der Autobahn. Vor dir siehst du den zugehörigen Graphen. Es wurde Geschwindigkeit auf Zeit aufgetragen. Es gilt also: v(t)=80km/h. Dies ist eine konstante Funktion. Jetzt stellen wir uns folgende Frage: Wie können wir den zurückgelegten Weg s berechnen, der abhängig von der Zeit t ist? Die Lösung finden wir schnell im Physikbuch: Strecke ist gleich Geschwindigkeit mal Zeit, also: s(t)=80km/h *t. Rechnen wir mal: Die Strecke nach 3 Stunden Fahrt lautet also: 80km/h * 3h und das ergibt 240 km. Könnte man diesen Wert an unserem Graphen ablesen? JA! Denn der Weg ist die Fläche unter der Geschwindigkeitsfunktion. Hätten wir das vorher gewusst, bräuchten wir keine Formel dafür. Eine Art Werkzeug wäre gut, das uns die Fläche unter einer Funktion liefern könnte. Dies ist nur ein Anwendungsbeispiel gewesen. Eine Fläche kann trotzdem viele verschiedene Bedeutungen haben. Wie sieht das Ganze nun bei kurvigen Funktionen aus?

Wir unterteilen die Fläche in sehr kleine Rechtecke und bestimmen somit die Untersumme. Wir sehen sofort, dass kleine Teile fehlen, also bilden wir die Obersumme. Allerdings haben wir jetzt zu viel Fläche ? das ist ebenso blöd.Je schmaler wir die Rechtecke wählen, desto kleiner wird der Unterschied zwischen Ober- und Untersumme. Es gibt mathematische Methoden mit denen es möglich ist die Fläche exakt bestimmen zu können ? also sind in diesem Fall Ober- und Untersumme identisch. Leider dauern diese Beweise und Rechnungen extrem lange, sodass wir ein einfacheres Verfahren unbedingt brauchen. Genau um dieses wird es in den nächsten Folien gehen. Zunächst führen wir einige wichtige Begriffe ein, die wir im weiteren Verlauf verwenden werden.

Die Fläche groß A einer beliebigen Funktion f(x) nennen wir Integral.Das Integral benötigt erstmal eine untere und obere Grenze.Die Bestimmung der Fläche nennen wir integrieren.Hier siehst du das mathematische Symbol. Darüber die obere, darunter die untere Grenze. Es folgt nun die Funktionsgleichung, die die Fläche mit der x-Achse begrenzt. Dahinter kommt immer ein d und dann genau die Variable, wonach integriert werden soll. In der Regel ist es immer x. Damit wir solche Integrale noch einfacher berechnen können, brauchen wir noch eine weitere Definition:Die Stammfunktion. Damit die Fläche im Allgemeinen schnell bestimmt werden kann, führen wir den Begriff der Stammfunktion ein.Groß F von a ist gleich das Integral von 0 bis zur Stelle a der zu integrierenden Funktion f(x) dx. Der Großbuchstabe ist das Merkmal einer Stammfunktion zu der Ausgangsfunktion mit Kleinbuchstaben. Dies wurde einmal in einer Konvention so festgelegt. Was liefert aber nun die Stammfunktion? Sie liefert die gesamte Fläche vom Nullpunkt zu der mitgegebenen Stelle a, unter der Funktion klein f, begrenzt mit der x-Achse.Hier sehen wir erneut die Integrandenfunktion f(x). Bevor wir nun zu den einzelnen Rechenregeln kommen, sollten wir einen wichtigen Zusammenhang zwischen Ableitungen und Stammfunktionen kennenlernen:

Bekannt ist dieser Zusammenhang unter dem Namen ?Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung?. Leitest du eine Stammfunktion ab, muss wieder die zu integrierende Funktion herauskommen. Dieser Zusammenhang gilt künftig für alle Funktionsarten die es gibt. Diese wichtige Regel ermöglicht uns, dass wir Integrale nun ausrechnen können. Dazu benötigen wir noch eine zusätzliche Info:Das Integral mit den Grenzen a und b können wir bestimmen, indem wir zuerst die obere Grenze in die Stammfunktion einsetzen und davon die Stammfunktion, mit der unteren Grenze eingesetzt, abziehen. Im Klartext heißt es also: Wenn wir in der Lage sind, die Stammfunktion einer Funktion zu bilden, können wir das Integral sehr schnell berechnen.Aus dem Grund sind unsere Ziele möglichst einfache Werkzeuge zu finden, mit denen Stammfunktionen gebildet werden können.Somit können wir anschließend Flächen mithilfe von Stammfunktionen bestimmen. Fangen wir an!

Zunächst werden wir uns mit der Integration ganzrationaler Funktionen beschäftigten. Starten wir mit dem Fall, dass es sich um eine konstante Zahl handelt. Vielleicht erinnerst du dich noch an unser Anfangsbeispiel: Hier ist die Funktion ebenfalls konstant gewesen. Hier lautet die Funktion jetzt allgemein: f(x) = a, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist.Das Integral bzw. die Stammfunktion lautet ax + C. C ist die sogenannte Integrationskonstante. Diese kommt zustande, da sie beim Ableiten der Stammfunktion wegfällt. Daher hätte an dieser Stelle vor dem Ableiten jede beliebige Zahl stehen können. Wenn es künftig nur darum gehen soll eine Stammfunktion zu bestimmen, muss die Integrationskonstante dazu addiert werden. Falls aber konkrete Grenzen vorhanden sind, kann darauf verzichtet werden, weil die anschließende Differenz der Konstanten 0 ergibt.Lass uns ein Beispiel rechnen: Integriert werden soll die Funktion f(x)=9. Also:F(x)= Integral von 9 dx = 9x + c .Fertig.

Die Regel, die jetzt eingeführt wird, wirst du ziemlich häufig benutzen ? die Potenzregel.Ist die zu integrierende Funktion eine Potenz mit x als Basis und besitzt einen Vorfaktor, so lautet die Stammfunktion: Vorfaktor, dividiert durch den um eins erhöhten Exponenten, mal x hoch Exponent plus eins, so wie es hier steht. Dieses Vorgehen wird häufig ?Aufleiten? genannt ? Anstatt den Exponenten zu erniedrigen, wird er um 1 erhöht und der Vorfaktor durch den erhöhten Exponenten dividiert. Auch hierzu ein Beispiel: Die zu integrierende Funktion lautet: f(x)=5x hoch 3. Lösung: Die Stammfunktion lautet: Groß F(x)=5/4 x hoch 4 + c.

Mit dieser letzten Regel werden wir nun in der Lage sein, jede ganzrationale Funktion zu integrieren - die Summenregel. Schauen wir uns diese einmal an:Wie auch beim Ableiten darf beim Integrieren summandenweise integriert werden, also jeder Summand einzeln. Nun ein Beispiel, bei dem wir alle bisherigen Regeln üben können:Die Funktion f(x)=7x^4 +3x^2 ? 2x + 1 soll nun integriert werden. Jeder Summand wird nun einzeln betrachtet, heißt, wir integrieren 7x^4, 3x^2, -2x und 1 separat und addieren die Ergebnisse. Die einzelnen Ergebnisse erhalten wir mit der Potenzregel. Das Ergebnis lautet also 7/5 x^5 + x^3 ? x^2 + x + C. Leite dieses Ergebnis doch mal ab. Ah richtig, wir erhalten wieder die Ausgangsfunktion f(x).

Weil es in der Welt der Mathematik nicht nur ganzrationale Funktionen gibt, findest du hier einige Stammintegrale, die du auch in deiner Formelsammlung findest. Das Besondere an diesen Integralenist, dass du sie ohne Beweis verwenden darfst. In den ersten beiden Zeilen findest du die bereits besprochenen Themen von eben. In der 4. Zeile findest du die Stammfunktion der e-Funktion. Wie beim Ableiten reproduziert sich die Stammfunktion ? Diese Regel solltest du unbedingt wissen. Heißt das also, dass wir jetzt in der Lage sind, jedes Integral zu lösen? Leider nein. Was machen wir zum Beispiel, wenn unsere zu integrierende Funktion aus einem Produkt besteht? Beispiel: f(x)=sin(x) * e^x ... Oder wie verfahren wir, wenn wir Funktionen miteinander verketten? Z.B.: g(x)= sin(e^x) ... Für solche komplexen Stammfunktionen benötigen wir zwei weitere Lösungsverfahren:

Zum einen die Integration durch Substitution. Die dahintersteckende Idee: Durch Substitution eine Funktion vereinfachen, sodass diese neue Funktion leichter zu integrieren ist. Im Grunde handelt es sich hier um die Kettenregel der Integration. Anhand eines Beispiels werde ich dir diesen Prozess genauer erklären: Die Funktion 1/ (7x-3) soll nun integriert werden.Schritt 1: Die Substitution. Wir ersetzen den Nenner durch eine neue Variable, wie z.B.z. Dies wird übrigens immer der komplizierteste Fall sein.Schritt 2: Wir bestimmen die Ableitung des Ausdrucks z nach x, also dz/dx ? dies ist die allgemeine Schreibweise von Ableitungen. Das Ergebnis lautet 7.Jetzt formen wir im 3. Schritt unsere Ableitung um, sodass wir dx alleine stehen haben. Es folgt also: 1/7 * dz oder dz/7 = dx. Im 4. Schritt ersetzen wir also unsere alte Funktion mit der neuen. Aus f(x)=1/7x-3 wird jetzt: f(z)=1/z. Jetzt müssen wir noch mit der umgeformten Ableitung weiterarbeiten.Für das ursprüngliche dx setzen wir nun den neuen Ausdruck dz/7 ein und können das Integral somit vereinfachen. Faktoren dürfen wir übrigens jederzeit außen vorschreiben. Das neue Integral lautet also: 1/7 * Integral von 1/z dz. Das Ergebnis kann mithilfe der Formelsammlung oder der Tabelle ermittelt werden, nämlich 1/7 ln(z) + C. Im letzten Schritt müssen wir die Substitution wieder rückgängig machen. Dies ist ziemlich einfach; wir ersetzen das z einfach durch den ursprünglichen Ausdruck. Also lautet das Endergebnis: groß F(x)=1/7 * ln(7x -3). Dieses Verfahren kann unter Umständen schon ziemlich anspruchsvoll werden, daher empfehle ich, dass du die Substitution ausreichend übst.

Im letzten Teil dieser Präsentation beschäftigen wir uns mit dem zweiten wichtigen Verfahren, nämlich mit der partiellen Integration. Klären wir zuerst, wann wir sie überhaupt verwenden. Partielle Integration wird verwendet, wenn die zu integrierende Funktion ein Produkt zweier Funktionen ist. Also eine Art ?Produktregel? der Integration. Bevor ich mit der Erklärung des Verfahrens fortfahre, musst du verstehen, dass die partielle Integration ? wie der Name schon sagt ? nur eine Teillösung liefert. Es bleibt immer eine Art Restintegral übrig, die erneut partiell integriert werden oder mit einem anderen Verfahren gelöst werden muss. Jetzt aber die Regel:Die Funktion muss in einer Art Produkt vorliegen, wobei ein Faktor als Ableitung gewertet wird. Die beiden Faktoren nennen wir also: u(x) und v?(x). Die Lösung lautet insgesamt:Stammfunktion von u(x)*v(x) minus das Integral von u strich (x) * v(x). Das v strich von x muss also so gewählt werden, dass dieser Teil ohne Probleme integriert werden kann.Insgesamt kann gesagt werden: Die Ableitung wechselt zwischen den beiden Integralen.So solltest du vorgehen: Wähle die Ableitung im ersten Integral. Achte dabei, dass du immer e-Funktionen als Ableitung wählst, da sie meist sehr einfach integrierbar sind. Meide dagegen Logarithmen. Schauen wir uns ein Beispiel an: f(x) sei x*e hoch x. Wie im Hinweis eben gesagt, wählen wir e hoch x als Ableitung, also ist e hoch v strich von x. Folglich muss x=u(x) gewählt werden.Jetzt bestimmen wir in einem einzelnen Schritt die Ableitung von u, also u?(x)=1. Ebenso die Stammfunktion von v strich (x), also v(x). In unserem Fall ist es wieder e hoch x.Im 3. Schritt setzten wir unsere neu ermittelten Werte in die Formel ein. Du findest diese oben rechts. Wir erhalten also die Stammfunktion x mal e hoch x minus das Integral von 1 mal e^x. Wir haben zwar noch kein Endergebnis erhalten, haben das Integral immerhin vereinfachen können.Jetzt müssen wir nur noch das rechte Integral lösen und erhalten also als Stammfunktion: x mal e hoch x ? e hoch x. Vereinfacht lautet die Stammfunktion also F(x)=(x-1) mal e hoch x. Das war die partielle Integration an einem Beispiel angewandt.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Integrale? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst. In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

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