Flächeninhalte – online lernen

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Integrale — Flächeninhalte

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Flächeninhalte.
Wir zeigen dir im Folgenden ein Beispiel unserer Abi-Live-Foren, in denen dir Nachhilfelehrer dein Thema erklären und du interaktiv und anonym all deine Fragen stellen kannst, sobald du angemeldet bist.

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Strukturierter Text des Videos

Dieser Text wurde maschinell erstellt.

Thema: Integrale-Flächeninhalte

0:00 Begrüßung

00:18 Bestimmte Integrale

01:45 Was ist ein Integral?

04:46 Fläche zwischen Funktionsgraphen

07:07 Uneigentliche Integrale

10:49 Rotationsvolumina



Hallo und herzlich Willkommen zu den Lernvideos der Schülerhilfe. Mein Name ist Markus und ich zeige dir hier, wie du mit Integralen umgehst und damit Flächen und Rotationsvolumina berechnen kannst.

Bestimmte Integrale erkennt man an den vorhandenen Integrationsgrenzen. Sind diese gegeben und erhält man reelle Werte für die in die Stammfunktion eingesetzten Werte, so ergibt sich die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse. Es gilt der Hauptsatz der Integralrechnung.

So sieht das Ganze dann aus. Wir haben hier das Integral von den Integralgrenzen von a bis b, die Funktion f von x, die nach dx integriert wird und berechnet wird dann die Stammfunktion mit dem eingesetzten b minus die Stammfunktion mit dem eingesetzten a.

Um dembestimmten Integral einen Wert zuzuordnen, muss die Funktion, über die man integriert, eine Regelfunktion sein. Das heißt, sie darf keine Lücken im Definitionsbereich aufweisen und muss aus abzählbaren, stetigen Funktionsabschnitten auf dem Funktionsintervall aufgebaut sein.Hier, mit einem grünen Haken versehen, ist eine solche Funktion dargestellt. Die rot gekreuzte Funktion besitzt dagegen im Definitionsbereich eine Lücke. Über sie kann nicht integriert werden.

Was ist das Integral eigentlich? Das bestimmte Integral berechnet die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der x-Achse im Intervall von a bis b. Ein Spezialfall ist das Intervall von null bis b, wo sich der Hauptsatz der Integralrechnung folgendermaßen verändert: Für die untere Grenze a gleich null nennt man das Ganze auch deshalb Flächeninhaltsfunktion.

Wie wendet man das jetzt nun an? Folgende Aufgabenstellung: Berechne den Flächeninhalt zwischen der Funktion f von x gleich zwei x Quadrat plus zwei im Intervall von null bis zwei.

Im ersten Schritt überlegen wir uns den Ansatz: Die untere Grenze ist Null, also nehmen wir die eben gelernte Flächeninhaltsfunktion. Zuerst setzen wir die Grenze und die Funktion ein. Danach bilden wir die Stammfunktion und werten diese an der Stelle x gleich zwei aus. Wir erhalten achtundzwanzig geteilt durch drei. Das ist auch unser Endergebnis.

Und wie sieht das Ganze aus? Ich habe hier mal eine Skizze zu dieser Aufgabe vorbereitet. Die grüne Fläche zwischen Funktion und x-Achse repräsentiert das Endergebnis.

Zweite Aufgabe: Diesmal sollen wir den Flächeninhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der Funktion x Quadrat plus zwei im Intervall zwischen eins und drei berechnen. Dafür benötigen wir dieses Mal den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung, also nicht die Flächeninhaltsfunktion, weil die untere Grenze nicht null ist. Zuerst setzen wir wieder die Funktion als auch die Grenzen in unseren Ansatz ein. Danach bilden wir die Stammfunktion und setzen die Grenzen ein.

Hier ein Tipp: Am besten einmal alles sehr detailliert und ohne Klammern aufschreiben, dann geht mit den Vorzeichen nichts schief. Das Ergebnis ist dann vierzig Drittel. In der Skizze sehen wir, dass die Fläche nicht direkt an der y-Achse startet, sondern etwas eingeschoben, erst bei x gleich eins beginnt. Deswegen konnten wir auch nicht die Flächeninhaltsfunktion verwenden.

Der nächste Schritt sieht vor, den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen zu berechnen. Um dieses zu bewerkstelligen, benötigen wir die sogenannte Differenzenfunktion f von x minus g von x. Dieses ist nun innerhalb des Integrals. Betragstriche sind notwendig, um am Ende auf einen positiven Flächeninhalt zu kommen. Die Beispielsaufgabe sieht nun vor, den Flächeninhalt zwischen den Funktionen f von x gleich minus x Quadrat plus drei halbe x plus vier und g von x ein halb x Quadrat plus eins zu bestimmen.

Hier sehen wir eine Skizze des Sachverhalts: Gesucht ist die blaue Fläche. Die Strategie sieht vor, zunächst die Integrationsgrenzen zu bestimmen, danach benutzen wir den Ansatz mit der Differenzenfunktion und können im Anschluss die Fläche berechnen. Die Grenzen sind in unserem Fall die Schnittpunkte der beiden Funktionen g und f. Diese bekommen wir durch Gleichsetzen der Funktionen, durch anschließendes Normieren und durch Anwenden der pq-Formel und erhalten für die Grenzen a gleich minus eins und b gleich zwei. Danach setzen wir unsere Differenzenfunktion, sowie die Grenzen, in den Ansatz ein und berechnen das Integral über die Stammfunktion der Differenzenfunktion. Nach der Bildung der Stammfunktion können wir die Grenzen einsetzen und erhalten für zwei eingesetzt fünf und für minus eins eingesetzt minus sieben Viertel. Als Endergebnis bekommen wir dann siebenundzwanzig Viertel.

Im nächsten Schritt geht es um die uneigentlichen Integrale. Bevor wir mit dem Rechnen loslegen, überlegen wir uns ein kleines Gedankenspiel: Mal angenommen, wir basteln uns unendlich viele Quadrate, wobei das nächste Quadrat nur noch ein Viertel der aktuellen Fläche besitzt. Die Frage ist: Ist die am Ende resultierende Fläche auch unendlich groß? Im ersten Moment scheint es so. Immerhin handelt es sich um unendlich viele Quadrate. Aber die Idee sieht vor, sich ganz einfach ein Dreieck vorzustellen, in dem alle Quadrate Platz finden. Das heißt, wir könnten theoretisch den Flächeninhalt des Dreiecks als obere Schranke für den Flächeninhalt der unteren Quadrate verwenden. Das Ganze klappt natürlich auch für Funktionen, jedoch nicht immer.

Wir werden mal zwei Beispiele durchrechnen und schauen, worauf man achten muss, wenn eine Integrationsgrenze im Unendlichen liegt.

Die erste Aufgabe lautet: Das Integral der Funktion e hoch minus x in den Grenzen null bis unendlich zu berechnen. Damit wir eine gescheite Rechnung durchführen können, tauschen wir die Integrationsgrenze mit einem Grenzwert, der die obere Grenze gegen unendlich gehen lässt. Jetzt bilden wir die Stammfunktion und setzen die Grenzen ein. Dabei führen wir den Grenzprozess für die obere Grenze aus. Per Definition ist der hintere Term gleich. Der erste Term überprüft gegen welchen Wert die Funktion minus e hoch minus b strebt, falls b sehr groß wird. Das Ergebnis lautet null. Somit bleibt nur der zweite Term übrig und das Ergebnis ist eins.

Im zweiten Beispiel sehen wir ein Integral, wo es nicht funktioniert. Ähnlich wie e hoch minus x ist die Funktion x hoch minus eins, beziehungsweise eins durch x, eine stetig monoton fallende Kurve, die dem Grenzwert null entgegenstrebt. Man kann also logischerweise davon ausgehen, dass die Rechnung ein nach oben abschätzbares Ergebnis liefert, wie eben. Wir gehen jetzt genauso vor wie eben. Zuerst basteln wir uns für die uneigentliche Grenze einen Grenzwert, welcher gegen diese Grenze strebt. Im Anschluss bilden wir die Stammfunktion. Diese ist von x hoch minus eins gleich ln von x. Führen wir nun den Grenzprozess aus, merken wir, dass die Funktion für den ersten Term gegen unendlich strebt. Die Logarithmusfunktion steigt zwar sehr langsam, dafür monoton und konvergiert nicht. Deshalb bleibt der Ausdruck unendlich. Die zweite Logarithmusfunktion, in die wir eins einsetzen, ist null. Daher haben wir am Ende unendlich plus null. Das ist wiederum unendlich und somit existiert das Integral nicht.

Zum Schluss schauen wir uns nun die Rotationsvolumina an. Als Rotationsvolumen beschreibt man einen Körper, den man erzeugen kann, indem man eine Funktion innerhalb der Grenzen um die x- oder y-Achse rotieren lässt. Wir haben hier die zwei Achsen, hier haben wir eine Funktion und die lassen wir rotieren. Dadurch entsteht ein Rotationsvolumen.

Die Formeln für die Rotationsvolumina sind aufgeteilt für Rotation um die x- und y-Achse. Und sie lauten vx und vy. Vx ist hierbei Pi mal das Integral innerhalb der Integrationsgrenzen von a bis b von der Funktion f von x und die ganze Funktion zum Quadrat. Vy ist Pi mal das Integral der Integrationsgrenzen a bis b für die Umkehrfunktion f hoch minus eins von x, auch wieder zum Quadrat. Warum wir hier die Umkehrfunktion brauchen, sehen wir später. Zuerst aber ein Beispiel für die Rotation um die x-Achse. Die Aufgabe lautet, dass wir das Volumen des Körpers ausrechnen sollen, der durch Rotation des Graphen f von x gleich ein halb x Quadrat im Intervall von null bis eins um die x-Achse entsteht. Wir benutzen also die Formel für die x-Achsenrotation v von x und setzen alles ein, was wir haben. Eingesetzt ergibt das dann: v von x gleich Pi mal das Integral innerhalb der Grenzen von nullbis eins mal die Funktion ein halb x Quadrat komplett zu Quadrat dx. Diesen leiten wir auf und erhalten: Pi mal ein Zwanzigstel x hoch fünf für die Grenzen null und eins. Setzen wir nun die Grenzen ein, so erhalten wir Pi durch zwanzig, was ausgerechnet ungefähr null Komma eins sechs Volumeneinheiten entspricht.

Im zweiten Beispiel soll die Funktion um die y-Achse rotieren. Hier haben wir ein Rechenschritt mehr. Denn wir müssen laut Formel zunächst die Umkehrfunktion bestimmen. Das tun wir, indem wir den Funktionsterm nach x umstellen und im Anschluss die Namen der Variablen tauschen, y wird zu x und x wird zu y. Achtung, nicht jede Funktion besitzt eine Umkehrfunktion! Die Funktion, die wir gewählt haben, ist die quadratische Funktion und diese hat als Umkehrung immer eine Wurzelfunktion. Würden unsere Grenzen nicht im Positiven liegen, hätten wir spätestens nach der Bildung der Stammfunktion ein Problem. Der Rest geht wie gehabt. Die Funktion wird in die Formel eingesetzt, dann bilden wir die Stammfunktion, die Grenzen werden eingesetzt, es wird ausgerechnet und wir erhalten im Endeffekt vierundzwanzig Pi als Lösung. Vierundzwanzig Pi entsprechen einem Volumen von fünfundsiebzig Komma vier Volumeneinheiten. Damit wären wir dann fertig.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Integrale Flächeninhalte? perfekt beantworten konnte.

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