Allgemein – online lernen

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Gleichungssysteme — Allgemein

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Strukturierter Text des Videos

Dieser Text wurde maschinell erstellt.

Thema: Lineare Gleichungssysteme

00:00 Einleitung: Lineare Gleichungssysteme

00:10 Gliederung

00:32 Gauß-Algorithmus: Einführung

01:01 Gauß-Algorithmus: Erklärung

07:33 Graphische Darstellung: Übersicht

07:33 Graphische Darstellung: Genau eine Lösung

08:09 Graphische Darstellung: Keine Lösung

08:54 Graphische Darstellung: Unendlich viele Lösungen

09:43 Graphische Darstellung: Kurzzusammenfassung

10:03 Beispiel: Keine Lösung / Unendlich viele Lösungen

12:27 Berechnen der Lösung eines unterbestimmten Gleichungssystems

15:17 Erkennen unterbestimmter Gleichungssysteme

16:00 Verabschiedung



Hallo und Herzlich Willkommen zu den Lernvideos der Schülerhilfe. Mein Name ist Markus und ich zeige dir hier wie man lineare Gleichungssysteme löst.

Zuerst schauen wir uns einmal den Gauß-Algorithmus an. Den brauchen wir eigentlich immer, wenn wir ein lineares Gleichungssystem lösen wollen. Danach betrachten wir lineare Gleichungssysteme einmal graphisch, um zu sehen, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt wirklich macht. Zum Schluss schauen wir uns noch den Sonderfall an, der euch evtl. einmal begegnen könnte, nämlich ein unterbestimmtes Gleichungssystem zu haben.

Kommen wir direkt mal zum Gauß-Algorithmus. Der Gauß-Algorithmus ist an sich ein sehr übersichtliches Lösungsverfahren zum lösen linearer Gleichungssysteme. Hierbei vereinfacht man die ursprünglichen Gleichungen mithilfe der anderen, um das Gleichungssystem lösen zu können. Ist man dann fertig, muss man nur noch rückwärts rechnen und hat am Ende alle Variablen bestimmt. Am einfachsten lernt man den Algorithmus anhand eines Beispiels. Dann wird denke ich recht schnell klar, wie er funktioniert und was man machen muss.

Schauen wir uns mal ein lineares Gleichungssystem an. Hier haben wir drei Gleichungen mit je drei unbekannten Variablen: X, Y und Z. Zur einfacheren Darstellung werden den Gleichungen auch oft römische Nummern gegeben, also Gleichung eins bekommt römisch eins und so weiter. Nun haben wir hier stehen: Römisch eins ist die Gleichung x plus zwei y plus drei z ist zwei. Römisch zwei ist x plus y plus z gleich zwei und römisch drei ist drei x plus drei y plus z und das soll Null ergeben. Im ersten Schritt des Gauß-Algorithmus versucht man nun, mithilfe der ersten Gleichung, die erste, hier Gelb dargestellte, Unbekannte in der zweiten und der dritten Gleichung zu entfernen. Man sagt hier auch der x-Wert wird bei zwei und drei eliminiert. Damit man das hinbekommt, benutzt man das Additions- bzw. Subtraktionsverfahren, aus der achten Klasse ist das glaube ich. Also, die erste Gleichung bleibt unverändert erhalten. Bei der zweiten Gleichung soll ja das x weg. Also rechnen wir einfach die Zweite minus die Erste. Somit erhält man als neue zweite Gleichung erst einmal x minus x plus y minus zwei y plus z minus drei z und das ergibt dann zwei minus zwei. Bei der dritten Gleichung haben wir drei x stehen, also müssen wir von der dritten Gleichung dreimal die erste Gleichung abziehen, damit das x weg fällt. Somit erhalten wir dann für die neue dritte Gleichung drei x minus dreimal x plus drei y minus dreimal zwei y plus z minus dreimal drei z und das Ganze ergibt dann Null minus dreimal zwei.

Hat man diese drei neuen Gleichungen, werden die unteren beiden ausgerechnet und somit vereinfacht. Das ergibt dann in der zweiten Gleichung: x minus x wird zu Null, y minus zwei y wird zu minus y, z minus drei z ist dann minus zwei z und zwei minus zwei ergibt natürlich Null. In der dritten Gleichung steht dann: drei x minus drei x also auch Null, so wie wir es ja geplant hatten. Drei y minus das ist dann sechs y ist minus drei y, z minus neun z ist dann minus acht z. Und Null minus dreimal zwei ist minus sechs, also minus sechs. Diese beiden neuen Gleichungen kann man nun zur besseren Übersicht römisch vier und römisch fünf nennen, da sie ja mit der ursprünglichen Zweiten und Dritten nicht mehr viel zu tun haben. Unser lineares Gleichungssystem sieht also nach dem ersten Schritt des Gauß-Algorithmus nun so aus. Die erste Gleichung ist unverändert, in der Zweiten und Dritten haben wir mithilfe der ersten Gleichung das x eliminieren können. Der zweite Schritt geht dann ganz ähnlich.

Hier versucht man nun bei der römischen fünf mithilfe der Gleichung römisch vier genau das gleiche wie eben. Nur wird jetzt nicht das x, sondern das y eliminiert. Man schreibt dann die erste Gleichung unverändert auf, die zweite Gleichung bleibt hier ja dann auch unverändert und bei der dritten Gleichung überlegt man sich, wie man die zweite verändern muss, um das y weg zu bekommen. Hier muss man also römisch fünf minus dreimal römisch vier rechnen, damit das y wegfällt. In der dritten Zeile steht dann also minus drei y minus dreimal minus y, das ist dann, wegen minus mal minus gleich plus, Null. Das wollten wir ja auch. Dann kommt minus acht z minus dreimal minus zwei z, also minus acht z minus minus, macht wie eben wieder plus, sechs z ergibt minus zwei z und hinten steht dann minus sechs minus dreimal Null also bleibt das einfach minus sechs. Die daraus entstandene Gleichung benennen wir dann wieder neu und zwar römisch sechs. Jetzt ist unser Gauß-Algorithmus auch schon fast fertig. Wir müssen jetzt nur noch von unten nach oben die einzelnen Gleichungen lösen.

Fangen wir also von unten an. Römisch sechs wird einfach durch minus zwei geteilt und man erhält ganz schnell das Ergebnis für z, nämlich z gleich drei. Damit geht man dann nach oben in römisch vier und ersetzt z durch drei, da wir ja diese Unbekannte jetzt kennen. Zwei mal drei ist dann einfach sechs und mit plus y bringen wir y auf die rechte Seite. Somit erhalten wir minus sechs ist y und die zweite Variable ist uns dann auch bekannt.

Das ganze jetzt nochmal bei der Gleichung römisch eins und wir sind fertig, also für z die drei einsetzen, für y die minus sechs. Ausrechnen. Zweimal minus sechs ist minus zwölf, dreimal drei ist neun. Dann haben wir hier minus zwölf plus neun das macht dann minus drei und wenn wir nun auf beiden Seiten plus drei rechnen bekommen wir raus, dass x gleich fünf ist. Somit ist x gleich fünf, y gleich minus sechs und z gleich drei. Das war dann auch schon der Gauß-Algorithmus. Das Schöne daran ist: Das Ganze geht immer so. Also immer, wenn ein lineares Gleichungssystem mit drei, oder auch mehr, unbekannten da liegt, kann man das anwenden. Also einfach von oben nach unten immer Schritt für Schritt die einzelnen Variablen eliminieren, bis man am Ende nur noch eine übrig hat und dann von unten nach oben auflösen, einsetzen und wieder auflösen, bis man jede Unbekannte kennt.

Kommen wir nun zur graphischen Anschauung eines linearen Gleichungssystems. Will man ein Gleichungssystem lösen, können einem nämlich drei Dinge passieren. Das erste wäre das, was wir hier gerade hatten. Wir erhalten eine Gleichung am Ende mit einer Unbekannten und können dadurch für jede Variable genau einen einzigen Wert finden. Stellt man sich das dann graphisch vor, so wären die Werte für x, y und z Koordinaten. Man erhält also durch das Lösen einen genauen Punkt. Diesen Punkt haben dann alle drei Gleichungen gemeinsam. Es ist also ein Schnittpunkt. Allerdings kann es auch passieren, dass im Laufe einer Rechnung alle Variablen verschwinden und keine mehr zum Lösen übrig bleiben. Dann haben wir einen der folgenden zwei Fälle: Beim Ersten passiert es, dass nach dem Abziehen einer Gleichung von einer anderen auf einmal etwas dasteht, das eine Falsche Aussage wiedergibt. Das wäre dann so etwas wie hier sechs gleich Null. Sechs gleich Null ist ja nicht wahr und somit nicht richtig. Das bedeutet dann für uns, dass die Gleichungen keinen einzigen gemeinsamen Punkt haben. Sie schneiden sich also nicht. Im zweidimensionalen Raum bedeutet das dann, dass die beiden Gleichungen parallel zueinander sind und sich somit niemals berühren oder schneiden werden. Der Zweite Fall tritt ein, wenn nach dem Abziehen einer Gleichung von einer anderen eine wahre Aussage da steht. Zum Beispiel Null gleich Null oder acht gleich acht oder wenn auch immer eine Zahl gleich sich selbst da steht. Auch x gleich x wäre möglich, da man durch abziehen von x auf beiden Seiten wieder Null gleich Null erhält. Also immer, wenn etwas Wahres dasteht, mit dem wir aber nicht mehr weiter rechnen können, bedeutet das, dass die Gleichungen unendlich viele Lösungen besitzen. Jeder Punkt ist also auf allen Gleichungen enthalten. Will man sich das vorstellen, bedeutet das einfach nur, dass die Gleichungen identisch sind. Die liegen also auf- oder auch übereinander. Und sind mehrere Gleichungen identisch, so sind auch all ihre Punkte identisch, also unendlich viele Lösungen. Um das ganze nochmal kurz zu fassen: Haben wir genau eine Lösung, haben wir einen Schnittpunkt. Haben wir eine falsche Aussage, gibt es keine Lösung. Und haben wir eine wahre Aussage, dann gibt es unendlich viele Lösungen. Was das alles jetzt beim Rechnen bedeutet, schauen wir uns mal in ein paar Beispielen an.

Da wir den Fall mit genau einer Lösung ja schon hatten, schauen wir uns nun ein Beispiel für die beiden anderen Fälle mit keiner oder unendlich vielen Lösungen an. Hierzu nehmen wir dieses Gleichungssystem. Mit unserem eben gelernten Gauß-Algorithmus versuchen wir nun Schritt für Schritt erst x und dann y zu eliminieren. Also die zweite Gleichung minus sechsmal die Erste ergibt dann sechs x minus sechs x gleich Null plus sechs y minus zwölf y gleich minus sechs y und plus zwei minus achtzehn z ist minus sechzehn z. Hinten steht dann Null minus zwölf also minus zwölf. Bei der Dritten nehmen wir minus dreimal die Erste. Das gibt drei x minus dreimal x ist Null. Drei y minus sechs y ist minus drei y und ein z minus neun z ist minus acht z. Hinter dem Ist-Gleich steht dann Null minus sechs und das ist einfach minus sechs.

Jetzt machen wir mit den beiden unteren Gleichungen römisch vier und römisch fünf weiter. Um das y zu eliminieren, nehmen wir hierfür zweimal die fünf minus die vier. Dann erhalten wir minus sechs y minus minus sechs y, also plus. Das macht Null. Dann nehmen wir zweimal minus acht z und das dann wieder plus sechzehn z, wegen dem Doppelminus, und das ergibt auch Null. Und ganz hinten steht zweimal minus sechs plus zwölf und das ist auch Null. Wir haben also eine Nullzeile. Somit ist das eine wahre Aussage und wir haben unendlich viele Lösungen. Würde hier jetzt anstatt der minus sechs eine minus sieben oder minus acht oder irgendeine andere Zahl außer minus sechs stehen, dann würde man ja hier keine Nullzeile erhalten, sondern irgendwie sowas wie Null ist zwei oder Null ist fünf. Das wäre dann eine falsche Aussage und das lineare Gleichungssystem hätte keine Lösung. Hätten wir jetzt keine Lösung, wären wir fertig und könnten hier aufhören. Da wir aber eine Nullzeile haben, wissen wir nun, dass wir unendlich viele Lösungen für das Gleichungssystem haben. Das System wird dann als ?unterbestimmtes Gleichungssystem? bezeichnet. Dies ist dann der anfangs erwähnte Sonderfall. Wenn man hier nicht einfach nur sagt: ?Wir haben unendlich viele Lösungen?, sondern eine präzise Lösung angeben will, dann muss man sich eine der unbekannten Variablen ?frei wählen?. Man sagt dazu auch, dass man einen Parameter einführt. Wir nehmen hier das z als Parameter.

Wenn man sich für z als Parameter entscheidet, dann muss man in den noch vorhanden Gleichungen römisch vier und römisch eins jeweils erst nach y und dann nach x auflösen. So wie wir vorhin von unten nach oben die Gleichungen gelöst haben, machen wir das jetzt also auch. Nur, dass wir für z kein Ergebnis haben, sondern z einfach stehen lassen. Dann ist die zweite Zeile hier minus sechs y minus sechzehn z ist minus zwölf. Wir bringen nun also minus sechzehn z durch addieren auf die rechte Seite. Danach teilen wir beide Seiten durch minus sechs, damit unser y alleine steht. Wir erhalten dann also die Lösung für y gleich zwei minus acht drittel z, also minus zwölf durch minus sechs und sechzehn durch minus sechs gekürzt.

Nun setzen wir diesen Ausdruck für y in die oberste Gleichung ein und erhalten somit erst x plus zwei y plus drei z ist zwei und dann x plus zweimal Klammer auf zwei minus acht drittel z Klammer zu plus drei z und das ist zwei. Nun wird das alles ausgerechnet und aufgelöst. Also erst die Klammer ausmultiplizieren. Macht dann hier vier minus sechzehn drittel z. Dann das z zusammen ziehen, also minus sechzehn drittel z plus drei z macht dann minus sieben drittel z, da drei z ja gleich neun drittel z sind. Und zum Schluss muss das x noch alleine stehen, also wird sieben drittel z auf beiden Seiten addiert, damit es links wegfällt und rechts dazu kommt. Somit haben wir für die Lösung x dann minus zwei plus sieben drittel z. Das lineare Gleichungssystem hat dann unendlich viele Lösungen, wobei x gleich minus zwei plus sieben drittel z sein muss und y gleich zwei minus acht drittel z sein muss. Z ist frei wählbar. Man darf also für z einsetzen, was man will, und hat deshalb auch unendlich viele Lösungen.

Solch ein unterbestimmtes Gleichungssystem erkennt ihr daran, dass man eben beim Umformen eine Nullzeile bekommt wie wir sie vorhin ja auch hatten. Wenn man so eine Zeile hat, macht man dann eigentlich immer die gleichen Schritte: Bestimme eine der Variablen als Parameter (hier hatten wir z als Parameter gewählt). Dann stellt man die anderen Variablen durch den gewählten Parameter dar, indem man die restlichen Gleichungen so umstellt, dass die Variablen, die kein Parameter sind, alleine stehen. Und man muss darauf achten, dass man nur einen Parameter benutzt. Sonst wird die Lösung nicht eindeutig.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?lineare Gleichungssysteme? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

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Allgemein – Wir machen euch fit für eure Abiturprüfungen. Behandelt werden Themen für alle Schüler. Erfolgreich in die Schule starten.