Grundlagen – online lernen

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Exponential- und Logarithmusfunktionen — Grundlagen

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20 ? Exponential- und Logarithmusfunktionen

00:14 Um was soll es heute gehen?

00:56 Exponentialfunktionen.

02:15 Rechenregeln: Exponentialfunktionen

04:33 Besondere Exponentialfunktionen

07:37 Wie löst man Exponentialgleichungen?

10:08 Logarithmusfunktion

12:03 Rechenregeln Logarithmus

13:08 Besondere Logarithmusfunktion

15:33 Wie löst man Logarithmusgleichungen

20:05 Anwendung

21:27 Ende



Exponential- und Logarithmusfunktion

?Hallo und herzlich willkommen zum Liveforum Exponential- und Logarithmusfunktion. Ich bin Kati und ich versuche dir hier das Thema ein bisschen näherzubringen. Es soll also heute um Exponentialfunktionen gehen.

Wichtig ist, wir wollen als Erstes die Frage klären: Woran erkenne ich überhaupt Exponentialfunktionen? Dann möchten wir uns mit den Eigenschaften einer ganz speziellen Exponentialfunktion, nämlich der e-Funktion, beschäftigen. Zum Schluss eine der wohl wichtigsten Fragen: Wie wende ich das Ganze an, d.h. wie löse ich eigentlich eine Exponentialgleichung?

Ähnlich gehen wir auch beim Logarithmus vor, d.h. als Erstes wollen wir uns damit beschäftigen, woran man ihn überhaupt erkennt. Dann gehen wir auf den Spezialfall, den natürlichen Logarithmus, als Funktion ein und überlegen uns anschließend, wie man Logarithmusgleichungen eigentlich löst.

Aber beginnen wir mit den Exponentialfunktionen:

Bei anderen Funktionen, also keinen Exponentialfunktionen, steht die Variable immer in der Basis einer Potenz. Hier sind 2 Beispiele dafür, was keine Exponentialfunktion ist:

7 plus x hoch 3 ist keine Exponentialfunktion, auch wenn man im ersten Moment vielleicht denkt, es wäre eine, weil es hat ja eine Potenz im Term. Nein, ist keine, denn die Variable steht in der Basis genauso wie bei 13 plus x hoch 4.

Wir merken uns also: Wenn x nur in der Basis vorkommt, können wir nicht von einer Exponentialfunktion sprechen.

Wenn x, also die Variable, jetzt im Exponenten auftaucht, wie bei 7 plus 3 hoch x oder f(x) gleich 13 hoch x plus 4, dann sprechen wir von einer Exponentialfunktion.

Jetzt fragen sich vielleicht einige, warum spreche ich bei der zweiten Gleichung von einer Exponentialfunktion? Wir reden von einer Exponentialfunktion, weil bei 13 mal 2 hoch x die Variable im Exponenten steht.

Also wir merken uns: Exponentialfunktionen erkennen wir daran, dass x, also die Variable, im Exponenten steht.

Für Exponentialfunktionen oder generell für Potenzen gelten wichtige Rechenregeln - an die wollen wir uns jetzt einmal erinnern. Als Erstes wollen wir uns überlegen: Wie war das nochmal, wenn in einer Potenz ein negatives Vorzeichen vor einem Exponenten steht, wie bei x hoch 7 minus x? Das ist eigentlich ganz einfach:

Wir nehmen das negative Vorzeichen weg und streichen dafür 1 durch, also das Ganze als Bruch, und lassen den Rest der Potenz einmal stehen. Also hier 7 hoch minus x, wir schnappen uns das, machen es zu einem 1 durch und lassen 7 hoch x stehen unten im Nenner. Wenn wir eine gleiche Basis vorliegen haben, dann gelten ganz wichtige Rechenregeln:

Wenn ich dann im Exponenten ein Produkt habe, also ?mal? rechne, dann kann ich auch schreiben, das ist 33 hoch 3 und dann das Ganze nochmal hoch x ist. Addiere ich im Exponenten, kann ich auch hier das Ganze auseinander ziehen. Ich ziehe es auseinander, indem ich 4 hoch 3 mal gleiche Basis 4 hoch x rechne. Bei der Subtraktion gilt Ähnliches: 19 hoch x minus 6, auch das kann ich auseinander ziehen ? nur jetzt rechne ich nicht mehr minus, ich dividiere ? ich teile, also rechne ich 19 hoch x minus 19 hoch 6. Wichtig ist: die Basen müssen hierbei immer die gleichen sein. D.h. ich kann das Ganze dann auch als Bruch schreiben. Was ist für den Fall, dass wir nicht die gleiche Basis haben, sondern den gleichen Exponenten? Auch hier gelten 2 Rechenregeln: Wenn ich den gleichen Exponenten habe und ich multipliziere, dann kann ich auch einfach die beiden Basen miteinander multiplizieren hoch den gemeinsamen Exponenten. Für das Dividieren gilt es genauso: ich kann also auch nur die Basen dividieren und dann hoch den gleichen Exponenten.

Ich denke, das war ein kleiner Rückblick auf das, was man schon kennt, allerdings werden die wieder gleich wichtig werden.

Vorher aber zu einer ganz besonderen Exponentialfunktion: Der e- Funktion.

Du hast sicherlich schon mal von ihr gehört. Ganz allgemeine Funktion heißt eigentlich nur f(x) ist gleich e hoch x. Doch was für Eigenschaften hat die e-Funktion?

Der Definitionsbereich ist komplett R. Er beschreibt nichts anderes als dass er mir sagt, was für x-Werte kann ich eigentlich in die Funktion einsetzen? Also hier für das x einsetzen? Da ich weiß, dass es die ganzen reellen Zahlen sind, kann ich sowohl negative, als auch positive Zahlen einsetzen und ich könnte auch 0 einsetzen. Der Wertebereich dagegen ist nur plus R, also alle positive reellen Zahlen, also alles was größer ist als null. D.h. suche ich den Funktionsgraphen der Funktion, werde ich ihn immer oberhalb der x-Achse finden. Also hier niemals darunter bei den negative y-Werten. Du kannst dir also nochmal merken: Der Definitionsbereich gibt an, was für x du einsetzen kannst in deiner Funktion und der Wertebereich gibt an, was für f von x herauskommt, also was für y-Werte angenommen werden können. F von x, also die Funktion, ist immer streng monoton wachsend. Und das kannst du dir auch merken: Wenn e hoch x vorliegt, hat die ganze Funktion eine stetige Linkskrümmung. Wenn x nun gegen unendlich läuft, wir also eine Grenzwertbetrachtung machen, wir immer weiter entlang der x-Achse laufen, dann wird auch der y-Wert unendlich groß.

Wenn x jetzt aber immer weiter gegen minus unendlich geht, wir also diese Strecke hier

verlängern, dann sehen wir, dass die y-Werte, also f von x, gegen null gehen. Wichtige

charakteristische Punkte der Funktion sind, dass wenn ich null einsetze, also e hoch null, dass das

immer eins ist. Das heißt, e hoch x wird immer den Punkt (0|1) haben. Betrachten wir noch einmal

die Stammfunktion und die Ableitungen. Die Stammfunktion der e-Funktion ist wieder die e-

Funktion selber, die erste Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion selber und die zweite

Ableitung ist auch wieder die e-Funktion selber. Das heißt, man sagt auch: Die e-Funktion reproduziert sich selber. Die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist der natürliche Logarithmus: Die Logarithmus-Funktion. Achtung: Die e-Funktion wächst immer schneller als alle anderen Funktionen. Das heißt, solltest du einmal zwei Funktionen miteinander vergleichen müssen, achte darauf, dass die e-Funktion immer schneller wachsen wird, als die andere Funktion.

Kommen wir nun zu dem wirklich Handfesten, was wir brauchen, und zwar der Frage:

Wie löst man eigentlich Exponentialgleichungen?

Dafür wollen wir nach dem folgenden Rezept vorgehen:

Als erstes formen wir die Gleichung um. Die Potenz steht dann auf der einen Seite des

Gleichheitszeichens und alles andere, in der die Potenz ? also Exponent nicht x ist - steht auf der

anderen Seite des Gleichheitszeichens. Dann logarithmieren wir die Gleichung auf beiden Seiten

und achten dabei auf die Klammersetzung. Und dann stellen wir nach x um und lösen die

Gleichung.

Machen wir das einmal an dem Beispiel: 43 ist gleich sieben plus drei hoch x. Erstes war: Gleichung

umformen und die Potenz auf der einen Seite ? also hier drei hoch x - stehen zu haben und alles andere auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens. Das machen wir ganz einfach, indem wir sieben auf die andere Seite bringen und so die Gleichung 36 gleich drei hoch x erhalten. Zweiter Teil unseres Rezepts war es, dass wir nun die Gleichung logarithmieren wollen auf beiden Seiten. Das heißt, wir ziehen den Zehner-Logarithmus von beiden. Wenn wir das tun, kommen wir auf den log (oder den lg) von 36 und müssen dann aber natürlich auch den Logarithmus auf der anderen Seite ziehen. Wichtig ist, wenn du logarithmierst, dass, wenn du irgendetwas auf/an der Gleichung ändern möchtest, musst du es auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens tun. Hier ist ein wichtiger Hinweis: Wenn die Basis hier e ist, dann verwendet man übrigens immer den ln. Nun wollen wir das Ganze nach x umstellen. Wichtig ist: nun müssen wir Logarithmen-Gesetze anwenden, denn (wir kommen gleich nochmal ausführlich dazu) wir kennen das Logarithmus-Gesetz: Der Logarithmus von a hoch b ist genau das gleiche wie b mal der Logarithmus von a. Was ist hier a und b? Die drei ist mein a, meine Basis, das x ist mein b, mein Exponent, also kann ich das x vor den Logarithmus ziehen. Den Exponenten kann ich also vor den Logarithmus ziehen. Und komme dann auf die Gleichung Logarithmus von 36 ist gleich x mal Logarithmus von drei. Nun ist es relativ einfach: Ich teile nur noch durch den Logarithmus von drei und erhalten den Wert für x. Das tippe ich in meinen Taschenrechner ein und sehe, dass x ungefähr 3,61 ist. Damit haben wir schon unsere Exponentialgleichung gelöst.

Kommen wir nun von den Exponentialgleichungen zu den Logarithmusfunktionen. Auch hier

wollen wir uns als erstes überlegen, wie erkenne ich überhaupt eine Logarithmusfunktion? Bei

anderen Funktionen als Logarithmusfunktionen steht die Variable nicht im Logarithmus. F von x

ist also gleich vier x plus vier mal Logarithmus von vier ist noch längst keine Logarithmusfunktion

nur weil da ein Logarithmus drinsteht. Erinnere dich noch einmal, wenn du den Logarithmus von

vier in deinen Taschenrechner eingibst, wirst du immer eine gerundete Zahl dafür bekommen. Das

heißt, hier ist, nur weil dort ein Logarithmus steht, noch lange nicht eine Logarithmusfunktion

vorhanden. Genau das gleiche gilt für die nächste Aufgabe oder auch die darauffolgende. Denn,

warum ist die dritte Gleichung jetzt keine Logarithmusgleichung? Naja, wir haben gerade eben

schon gesehen, es gibt hier eine gewisse Regel - die Logarithmenregel - die besagt, dass ich das x

im Exponenten vor den Logarithmus ziehen kann und somit hab ich keine Logarithmusfunktion

mehr. Wir merken uns also: bei anderen Funktionen steht x nicht im Logarithmus.

Also steht bei den Logarithmusfunktionen die Variable immer im Logarithmus. F von x gleich der

Zehner-Logarithmus von x, ist also eine Logarithmusfunktion. F von x gleich drei minus vier mal

der Zehnerlogarithmus von x ist auch eine Logarithmusfunktion. Auch die letzte, sieben minus

zwei mal Logarithmus von x hoch drei, ist wieder eine Logarithmusfunktion. Hier kann ich jetzt

aber auch wieder Logarithmen-Regeln anwenden: Ich kann einen Exponenten nach vorne ziehen

mit einem Mal und habe dann sieben minus zweimal ? den Exponenten ? mal Drei mal

Logarithmus von x. Aber auch hier steht die Variable x immer noch im Logarithmus. Das heißt, ich

habe eine Logarithmusfunktion.

Wie war das nochmal mit den Rechenregeln vom Logarithmus? Wir haben gerade schon zwei Mal

welche angewendet, bzw. sogar drei mal und wollen uns jetzt aber diese Rechenregeln nochmal

richtig in den Kopf rufen. Wenn wir zwei Logarithmen miteinander addieren wollen, wie der

Logarithmus von a plus den Logarithmus von drei. Das geht übrigens immer nur dann, wenn ich den

gleichen Logarithmus nehme, hier nämlich den Zehner-Logarithmus. Ich könnte statt dem Zehner-

Logarithmus aber auch den natürlichen Logarithmus schreiben. Überhaupt gar kein Problem, nur

wenn ich Logarithmen zu unterschiedlichen Basen habe, dann gelten meine Rechenregeln nicht.

Wir gehen jetzt also von Logarithmen zur gleichen Basis aus und zwar zur Basis zehn. Wenn ich

zwei Logarithmen addiere, zur gleichen Basis, dann kann ich auch einfach im Logarithmus

multiplizieren. Wenn ich zwei Logarithmen voneinander subtrahiere, dann kann ich im

Logarithmus auch dividieren. Oder aber, wenn ich den Logarithmus von einer Potenz habe ? das

haben wie gerade eben schon einmal geklärt ? dann kann ich den Exponenten auch einfach als

Vorfaktor vor den Logarithmus ziehen.

Wollen wir uns nun die besondere Logarithmusfunktion ? die ln-Funktion anschauen: den

natürlichen Logarithmus. Der Definitionsbereich von dem natürlichen Logarithmus ist jetzt nur alle

positiven reellen Zahlen. Das bedeutet, alle Zahlen, die größer gleich null sind. Das heißt, alle

Zahlen, die hier entlang der x-Achse laufen. Der Wertebereich dagegen ist komplett R, das heißt,

ich finde sowohl negative y-Werte, alles was hier kleiner wird als die x-Achse, also kleiner wird als

null, finde ich definitiv, und ich finde aber auch positive, alle positiven Werte werden

getroffen. F ist streng monoton wachsend, das heißt, auch wenn es hier nicht so aussieht: auch die

Logarithmus-Funktion ist eine immer weiter wachsende Funktion. Im Gegensatz zur e-Funktion ist

die Logarithmus-Funktion allerdings rechts herum gekrümmt. Wenn wir uns das Verhalten im

Unendlichen angucken, das heißt, wenn wir uns überlegen: was passiert wenn ich immer größere x-

Werte einsetze, oder, anders ausgedrückt, wenn ich mir die x-Achse so lange verlängere, bis ich

unendlich große Werte habe, dann wird auch mein y-Wert der Funktion immer größer, also

unendlich groß. Wenn ich x jetzt allerdings gegen null laufen lasse ? denn, zur Erinnerung: ich darf

nur positive Werte einsetzen, das heißt maximal die null einsetzen ? dann werden die Werte, die y-

Werte, kleiner und gegen minus unendlich. Ein sehr charakteristischer Punkt, der natürlichen

Logarithmus-Funktion ist (0|1), das heißt f von eins ist null. Entschuldigung, (1|0) natürlich.

Wichtig ist auch: f von e, also wenn ich für den Logarithmus, in dem Logarithmus hier, e einsetze,

dann kommt dabei eins heraus. Und wenn ich die Logarithmus-Funktion ableite, dann ist die

Ableitung immer eins durch x. Auch sehr wichtig, weil man diese Funktion nicht so einfach

erkennt. Die Logarithmus- bzw. natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der

Exponentialfunktion .

Also der e-Funktion. Nun wieder zu der wichtigen Frage, wie löse ich eigentliche eine Logarithmusgleichung? Auch hier möchte ich dir wieder ein Rezept mit an die Hand geben. Erstens, forme die Gleichung wieder um und zwar so, dass auf der einen Seite der Logarithmus und auf der anderen Seite alles andere steht. Dann mit der Basis des Exponenten des Logarithmus exponieren und dann ausrechnen. Wichtig, achte auf Logarithmen- und Exponentialregeln und viertens, nur noch nach x umstellen und lösen.

Hier ist ein Beispiel. Wir wollen also die Gleichung, Logarithmus von 5 minus x gleich minus 22 wieder minus den Logarithmus von x berechnen. Erstens, wir wollen die Gleichung umformen, d.h. alles, wo der Logarithmus von x irgendwie drin steht, auf die eine Seite und alles andere auf die andere Seite, d.h. ich addiere erstmal mit dem Logarithmus von x. Dann komme ich auf Logarithmus von 5 minus x plus Logarithmus von x gleich minus 22. Dann können wir ja jetzt froh sein, dass wir schon ein paar Logarithmenregeln gehört haben, denn wir wissen, dass wenn wir zwei Logarithmen der gleichen Basis - und das ist es hier, das ist beides die Basis 10 - miteinander addieren wollen, dann können wir auch einfach im Logarithmus multiplizieren. Achtung, hierbei müssen wir wieder ganz genau auf die Klammersetzung achten, denn in dem einen steht ja 5 minus x, d.h. wir kommen dann auf Logarithmus von Klammer auf 5 minus x Klammer zu mal x gleich minus 22. Nun ja, jetzt haben wir alles umgeformt und auch schon relativ weit vereinfacht, d.h. wir haben nur noch einen Logarithmus dort stehen, d.h. nun können wir mit der Basis des Exponenten des Logarithmus, also hier der Basis 10, exponieren. Also 10 hoch rechnen. Also einmal 10 hoch diesen Term, aber das was wir auf der linken Seite machen, müssen wir auch auf der rechten Seite machen, 10 hoch diesen Term. Dabei müssen wir auf jeden Fall auf die Klammersetzung achten. 10 hoch den Zehnerlogarithmus, ist aber wieder nur das innere Teil von dem Logarithmus, also 5 minus x Klammern mal x gleich 10 hoch minus 22, denn das kann ich nicht vereinfachen. Das muss ich jetzt nur noch ausrechnen. Wenn ich es ausmultipliziere, komme ich auf 5 x minus x Quadrat gleich 10 hoch minus 22. Das Ganze stelle ich jetzt nach x um. Das mache ich am besten, indem ich die p-q-Formel anwende oder zur p-q-Formel hinleite. D.h. dafür subtrahiere ich erst mal mit minus 10 hoch minus 22 und wenn ich mir dann den Vorfaktor vor dem x Quadrat anschaue, sehe ich, dass hier eine minus 1 steht. Das darf aber nicht, wenn ich gleich die p-q-Formel anwenden will, also multipliziere ich noch einmal mit minus 1 und stelle die Gleichung um, so dass die ganz normale Form sichtbar wird. Zur Erinnerung, die p-q-Formel ist x 1,2 gleich minus p halbe plus minus Wurzel aus p halbe zum Quadrat minus q. Was ist jetzt nochmal p und was ist q? P ist der Vorfaktor vor dem x, also minus 5. Achtung: hier immer auf die Vorzeichen achten. Und q ist der Teil der Gleichung, der keine Variable mehr beinhaltet, also plus 10 hoch minus 22. Das kann ich jetzt in die p-q-Formel einsetzen und komme auf x 1,2 gleich minus p halbe. Naja gut minus p, p war jetzt minus 5, also minus minus 5 halbe plus minus und jetzt kommt die kompliziertere Wurzel, p halbe zum Quadrat, also minus 5 halbe zum Quadrat minus q. Q war aber 10 hoch minus 22. Also minus 10 hoch minus 22. Wenn ich das zusammenfasse, komme ich auf x 1,2 ist gleich 2,5 plus minus Wurzel aus 6,25. Das ist jetzt einfach diese Diskriminante weiter ausgerechnet. Wenn ich jetzt das fertig ausrechne, rechne ich einmal 2,5 plus die Wurzel aus 6,25. Die Wurzel aus 6,25 ist aber auch 2,5. Also komme ich auf x 1 gleich 5 und x 2 ist 2,5 minus Wurzel aus 6,25, also minus 2,5 gleich 0.

Wann kann ich jetzt also Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion anwenden, d.h. wann muss man Textaufgaben typischerweise mit Logarithmen oder Exponentialgleichungen rechnen? Ganz einfach, in der Regel bei Wachstums- und Zerfallsprozessen, d.h. immer wenn du Wachstums- oder Zerfallsprozesse hörst, solltest du im Hinterkopf haben, dass es eventuell mit Exponentialfunktionen oder Logarithmusfunktionen zu lösen ist. Besonders beliebt ist dabei die Kapitalrechnung mit der Zinseszinsrechnung, denn dort gibt es so eine Formel, die heißt Kn, also das Kapital zu einem bestimmten Zeitpunkt n ist gleich das Startkapital mal 1 plus den Zinssatz durch 100 hoch der Zeit, die ich dafür brauche. Oder aber, das wird auch sehr gerne genommen, irgendein Wachstum von Bakterienstämmen, von Keimen oder von Viren oder eine Ausbreitung von Krankheiten. Auch bei solchen Textaufgaben solltest du immer die Exponentialfunktion im Hinterkopf haben. Hier ist so ein ganz typisches Beispiel: Ab dem fünften Tag kann man das Keimwachstum durch eine folgende Funktion beschreiben: f von x ist gleich 1,5 mal ln von x plus x Quadrat.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen und bedanke mich für deine Aufmerksamkeit und hoffe, dass ich dir deine Fragen zum Thema Exponential- und Logarithmusfunktion wirklich beantworten konnte. Um deine Abiprüfungsvorbereitung im Fach Mathematik zu intensivieren, empfehlen wir dir unser speziell neuen Abi-Crashkurs in Mathematik in deiner Schülerhilfe vor Ort, damit du dich bestens darauf vorbereiten kannst, auf deine ganzen Prüfungen und dann noch mit einem, vor allem besseren, Gefühl in die Prüfungen startest. In deiner Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so ganz optimal auf eine Prüfung vorzubereiten. Dabei wollen wir gemeinsam mit dir ganz spezielle Musteraufgaben und vor allem auch die typischen Originalaufgaben aus den letzten Jahren rechnen. Das alles, damit du hinterher eine bessere Note schreiben kannst. Und was nun? Nun musst du nur noch das Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen oder kannst unter der vorgegeben Rufnummer Kontakt mit uns aufnehmen.

Wir freuen uns auf dich!

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