Wachstums- und Zerfallprozesse – online lernen

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Differentiale — Wachstums- und Zerfallprozesse

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Wachstums- und Zerfallprozesse.
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4 ? Differentiale - Wachstums- und Zerfallsprozesse

00:00 Einleitung

00:10 Beispielaufgabe: Bakterienkultur

03:50 Exponentieller Zerfall/ Exponentielle Abnahme

04:44 Beispielaufgabe: Radioaktiver Zerfall

06:55 Das begrenzte Wachstum/ Die begrenzte Abnahme

08:09 Beispielanwendung: Thermisches Abkühlen

11:25 Logistisches Wachstum

12:42 Beispielaufgabe: Gerüchteküche

15:19 Schlussworte



Hallo und herzlich Willkommen zum Live-Forum über die Wachstums- und Zerfallsprozesse. Heute wollen wir anhand einiger Beispiele die Anwendungen dieser Exponentialfunktion durchgehen.

Zu Anfang beginnen wir mit der leichtesten Exponentialfunktion, der Wachstumsfunktion. Die Beispielaufgabe ist die über die Bakterienkultur. Die Aufgabenstellung lautet: Eine Bakterienkultur bestehe zu Messbeginn aus sechshundert Einheiten. Nach vier Stunden werden bereits dreitausendzweihundertsechsundfünfzigEinheiten gezählt.

Unsere Aufgabenstellungen lauten:

Stelle die Funktionsgleichung auf, berechneden Bestand nach drei, fünf und zehn Stunden und berechne die Verdopplungszeit.

Zunächst sollen wir die Funktionsgleichung aufstellen. Dazu benutzen wir den allgemeinen Ansatz für die Wachstumsfunktion. N von tist gleich n null male hoch k t mit dem Wachstumsfaktor k und dem Startwert nnull. Den Startwertkönnen wir direkt aus der Aufgabenstellung ablesen. Wir wissen, dass n von null gleich sechshundertist. N von Zeitpunkt vierist gleichdreitausendzweihundertsechsundfünfzig. Auch das steht direkt in der Aufgabenstellung. Wenn wir die erste Gleichung aufstellen und für n von t sechshunderteinsetzen und für t gleich null, erhalten wirsechshundertist gleich n null mal e hoch null mal k. Da wir wissen, dass e hoch null oder jede Zahl hoch null gleich eins ist, folgt daraus, dass sechshundert gleich nnull ist. Das ist auch der erste Wert, den wir in unserer Funktionsgleichung ersetzen müssen.

Die zweite Gleichung lautet:dreitausendzweihundertsechsundfünfzigist gleich n null mal e hoch vier k. Diese müssen wir nun, nachdem wir n null durch sechshundertersetzt haben,nach k umstellen. Zuerst rechnen wir durch sechshundert und erhalten:fünf Komma vier zwei sieben ist gleich e hoch vier k. Wenn wir jetzt auf beiden Seiten den Logarithmus Naturalis ziehen, erhalten wir eins Komma sieben ist gleich vier mal k. Nun noch beide Seiten durch vier teilen und wir erhalten k gleichnull Komma vier zwei. Dieses n null und das k, was jetzthier blau eingerahmt ist,können wir nun in den Ansatz einsetzen und erhalten n von t ist gleichsechshundertmal e hoch null Komma vier zwei t. Dies ist nunmehr unsere Gleichungmit der wir weiterrechnen können, um die Aufgaben im Nachhinein zu bearbeiten.

Berechne den Bestand nach drei, fünf und zehn Stunden. Hierfür müssen wir lediglich die Werte für t in die Funktionsgleichung einsetzen. Das heißt, unsere Funktionsgleichungn von t ist gleichsechshundertmal e hoch null Komma vier zwei t wird im Fall von tersetzt durch die Werte drei, fünf und zehn. Dadurch ergeben sich verschiedene Terme, die wir erst mal noch zu berechnen brauchen. Nach drei Stunden erhalten wir so zweitausendeinhundertfünfzehnBakterien, nach fünf Stunden viertausendachthundertneunundneunzigund nach zehn Stunden bereits vierzigtausendundelf.

Berechne die Verdopplungszeit. Hierfür lautet die Strategie, dass wir uns denken müssen für welchen Wert von t das Doppelte der Startmenge erreicht wird. Im Nachhinein ersetzen wir also das n von t mit dem doppelten der Startmenge, das heißttausendzweihundert. Jetzt müssen wir die nachfolgende Gleichung lediglich nach t umstellen und erhalten den genauen Zeitpunkt,wann sich der Startwert verdoppelt hat. Da es sich um einexponentielles Wachstum handelt, ist diese Verdopplungszeit allgemein auf alle Zeiten anwendbar.Wirteilen auf beiden Seiten durch sechshundert und erhalten zweiist gleich e hoch null Komma vier zwei t.Auf beiden Seiten logarithmieren ergibt:ln von zweiist gleich null Komma vier zwei mal t. Im Anschluss nur noch durch null Komma vier zwei teilen und wir erhalten die Verdoppelungszeit eins Komma sechs fünf Stunden. Auf der linken Seite sehen wir den Teil der Gleichung, den wir sofort als allgemeine Form für die Verdopplungszeit annehmen können. Ln von zwei geteilt durch k ist hierbei dann t zwei und t zwei steht für die Verdopplungszeit.

Kommen wir mal zum exponentiellen Zerfall. Die Funktionsgleichung sieht ähnlich der der exponentiellenZunahme aus.N von t ist gleich null mal e hoch minus k t, lediglich das minus ist verschieden.K heißt jetzt auch nicht mehrZunahmefaktor oder Wachstumsfaktor, sondern Abnahmefaktor.

Wichtige Anwendung dieser Funktion ist die Halbwertszeit, die häufig beim radioaktiven Zerfall auftritt. N null geteilt durch zweiist gleich ein n null mal e hoch minus k t. Hierbei wollen wir wissen, wann nur noch die Hälfte des Anfangsbestands verfügbar ist.Wir teilen auf beiden Seiten durch nnull und ziehen den Logarithmus Naturalis. Ln von ein halb ist also gleich minus k t. Zum Schluss noch durch minuskteilen und wir erhalten die Bestimmungsgleichung für die Halbwertszeit, die sich auch nieverändert.Ln von ein halbgeteilt durch minus k, dassbedeutet, die Halbwertszeit ist nur noch vom Abnahmefaktor k abhängig.

Die Beispielrechnung kümmert sich um den radioaktiven Zerfall. Ein radioaktives Element hat eine Halbwertszeit von circa sechshundertdreiundfünfzig Tagen. Nach vier Jahrensind etwa tausend Gramm der Ausgangsmenge nicht zerfallen. Wie groß war die Ausgangsmenge,ist die Frage. Wir schreiben zunächst den Ansatz auf: n von t ist gleichnnull mal e hochminus k t und schreiben auf, was gesucht ist, nämlich die Startmenge n null. Wir wissen, dass n null halbe gleich n null mal e hoch minus k malsechshundertdreiundfünfzigist, denn wir kennen die Halbwertszeit, nämlich sechshundertdreiundfünfzig Tage.N von vier mal dreihundertfünfundsechzig ist gleich tausend. Die vier mal dreihundertfünfundsechzig rühren von der Angabe her, dass nach vier Jahren tausend Gramm der Ausgangsmenge nicht zerfallen sind. Das heißt, der momentane Bestand nach vier mal dreihundertfünfundsechzig Tagen, also nach vier Jahren,ist tausend Gramm.

Mit der ersten Gleichung können wir sofort k ausrechnen. Gleichung eins nach k umstellen und inGleichung zwei einsetzen, lautet hierbei unsere Strategie,um k und n null schlussendlich zu erfahren. Warum wir nicht mit Gleichung zweianfangen, ist eindeutig, denn diese beinhaltet zwei Variablen: n null und k. Bei Gleichungeins können wir direkt durch nnull teilen und habennur noch eine Variable übrig, nämlich das k. Nachdem wir durch n null geteilt haben, können wir den LogarithmusNaturalisziehen und im Anschluss durch minus sechshundertdreiundfünfzig teilen. Wir erhalten den Wachstumsfaktor,beziehungsweise Abnahmefaktor,null Komma null null eins null sechs eins.Diesen setzen wir jetztin die zweite Gleichung und können diese danach nach nnull umstellen. Tausendist alsogleichn nullmal e hoch minus null Komma null null eins null sechs einsmal tausendvierhundertsechzig. Zur Erinnerung: diese tausendvierhundertsechzig entspricht genau der Anzahl Tage die vier Jahre beinhalten.E hoch minus null Komma null null eins null sechs einsmal tausendvierhundertsechzig ergibt genau null Komma zwei eins zwei. Im Anschlusskönnen wir durch diese null Komma zwei zweiteilen und erhalten als n null viertausendsiebenhundertzehn Komma drei drei. Das heißt, zu Beginn der Messungen waren vier Komma sieben eins null drei Kilogramm des Materials vorhanden.

Das nächste Thema lautet begrenztes Wachstum,beziehungsweise begrenzte Abnahme. Das begrenzte Wachstum findet immer dann Anwendung, wenn sich die Funktion einem bestimmten Wert annähert, aber nicht erreicht. Der Ansatz lautet n von t ist gleich e plus minus a male hoch minus k t. Das siehtso ähnlich aus wie die Wachstumsfunktion von gerade eben. Wir haben aber noch einenFaktorbeziehungsweise einenSummandendavor, der bestimmt, ob es sich um eine Abnahme oder eine Zunahme handelt.

Das Minuszeichen findet immer Anwendung bei begrenztem Wachstum; das Pluszeichen bei begrenzter Abnahme.N null ist hierbei definiert als n von null und entweder e plus a oder e minus a.Hierbei handelt es sich um den Startwert. Der hängt halt davon ab, ob man das plus oder minus benutzt,je nachdem, ob es sich um ein Wachstum oder eine Abnahme handelt.

Lassen wir die Funktionsvariablegegenunendlich laufen, erhalten wir die obere beziehungsweise untere Grenze.Wir müssen uns dabei nur überlegen, was passiert, wenn das t gegen unendlich läuft.Dann wird der hintere Faktora mal e hoch minus k t nämlich null und übrigbleibt nur das e. Dieses beschreibt dann unsere obere beziehungsweise untere Grenze.

Die Beispielanwendungen wären was Physikalischeswieder mal, nämlich thermisches Abkühlen. Ein warmes Getränk kühlt in einem Gefäß ab; Umgebungstemperatur beträgt einundzwanzig Grad Celsius. Das Getränk ist am Anfang sechzig Grad Celsius warm. Nach fünf Minuten beträgt die Temperatur aber nurnoch fünfundfünfzig Grad Celsius.

Die Aufgabe lautet: Wie lautet die entsprechende Funktionsgleichung tvon t? Das große t steht hierbei für die Temperatur und das kleine t für die vergangene Zeit. Der Ansatz lautet t von t ist gleich e plus a hoch minus k t, denn es handelt sich um eine exponentielle Abnahme ? der Tee wirdjakälter beziehungsweise das Gefäß. Die Berechnung von e und a gestaltet sich denkbar einfach. Wir wissen, dass die Endtemperatur gleich der Umgebungstemperatur sein muss, denn der Tee oder das Getränk in unserem Gefäß kann niemals kühler werden als die Umgebungstemperatur von einundzwanzig Grad. Das heißt, e ist gleich einundzwanzig. Die Starttemperatur ist t von null. Wenn wir t gleich null setzen, dann erhalten wir als Bestimmungsgleichung e plus a. Da wir wissen, dass das Getränke zu Anfang sechzig Grad warm war, ergibt sich füra der Wert neununddreißig. Somit haben wir schon mal zwei unserer Werte gefunden und können im nächsten Schritt fortfahren und mit der letzten Angabe, nämlich, dass das Getränk nach fünf Minuten die Temperatur fünfundfünfzigGrad Celsius hat, das k bestimmen. Dazu schreiben wir zuerstmal den Ansatz auf mit eingesetzteme und a. Im nächsten Schritt setzen wir für t eine fünf ein und als erhaltene Temperaturen die fünfundfünfzig, denn wir wissen ja: nach fünf Minuten beträgt die Temperatur noch fünfundfünfzig Grad. Die Gleichung lautet fünfundfünfzigist gleich einundzwanzig plus neununddreißigmal e hoch minus k mal fünf.

Im nächsten Schritt rechnen wir minus einundzwanzig und erhalten vierunddreißig istgleich neununddreißig mal e hoch minus k mal fünf. Nur noch durch neununddreißigteilen und wir erhalten vierunddreißig durch neununddreißig gleich e hoch minus k mal fünf. Jetzt noch den Logarithmus ziehenund durch fünf teilen und wir erhalten k gleich null Komma null zwei sieben.

Damit haben wirdie Funktionsgleichung bestimmt, diese lautete jetzt nämlich einundzwanzig plus neununddreißigmal e hoch minus null Komma null zwei sieben t.

Wir sind aber noch nicht fertig, denn wir wollen wissen: Wann ist das Getränk noch zwanzigProzent wärmer als die Umgebungstemperatur? Dazu stellen wir uns zunächst die Frage, wie viel überhaupt zwanzigProzent mehr als einundzwanzig Grad Celsius sind.Wir erhalten als Ergebnis fünfundzwanzig Komma zwei Grad. Diese setzen wir fürgroß t auf der linken Seite ein und erhalten die Gleichung fünfundzwanzig Komma zweiist gleich einundzwanzigplus neununddreißig mal e hoch minus null Komma null zwei sieben t.

Jetzt rechnen wir auf beiden Seiten minus einundzwanzig und im Anschluss durch neununddreißig. Wenn wir dann aus dem Erhaltenen den Logarithmus Naturalisziehen,steht da: ln von vier Komma zwei geteilt durch neununddreißig ist gleich minus null Komma null zwei sieben mal t.Nur noch durch den Vorfaktor von t teilen und wir erhalten die Lösung: t ist gleich zweiundachtzig Komma fünf dreiMinute. Das heißt, es dauert über eine Stunde,knapp eineinhalb Stunden,bis der Tee zwanzig Prozent wärmer als die Umgebungstemperatur ist.

Logistisches Wachstum. Logistisches Wachstum wird immer angewandt, wenn ein Wachstum exponentiell beginnt und begrenzt aufhört. Dieses beschreibt der Wachstumsfaktor nicht nur konstant, welche Form von Abnahmen und Zunahme vorliegt, sondern verändert sich mit steigenden Wertenvon n.Die zugrundeliegende Gleichung lautet:n Strich von t ist gleich k minus dnmal n. Hierbei handelt es sich um eine Differenzialgleichung, die man durch Trennung der Variablen nach n von t auflösen kann. Die Lösung der Gleichung ergibt sich zu n von t ist gleich Bruchstrich, im Zähler steht n null mal e hoch k t und im Nenner steht eins minus k durch d mal n null malin Klammern e hoch k t minus eins.Der Wachstumskoeffizientk spielthierbei eine Rolle, sowohl wieder Depressionskoeffizient d.Wir sehen an der Gleichungda drüber,n Strich von t ist gleichin Klammern k minusdn mal n, dass der Depressionsfaktor immer mehr bewirkt jegrößer n wird. K ist hierbei proportional zur Wachstumsgeschwindigkeit und d ist sogar doppelt proportionalzur Wachstumsgeschwindigkeit, also quadratisch davon abhängig. Der Endbestand, den kann man sich ausrechnen, indem man das t gegen unendlich laufen lässt, lautet d durch k.

Beispielaufgabe: eine Schule hat tausend Schüler. Ein Schüler streut um acht Uhr das Gerücht, dass am nächsten Tag die Schule ausfällt. Eine Stunde später wissen bereits sieben Schüler Bescheid. Die Frage beziehungsweise die Aufgabenstellung lautet, dass wir die logistische Wachstumsgleichung bestimmen müssen.Eine kleine Vereinfachung: die prozentuale Berechnung. Ein Schüler entspricht dem null Komma null null einsAnteil der Schülerschaft und dementsprechend sind sieben Schülernull Komma null null sieben. Das werden wir gleich noch brauchen, wenn wir die Funktionsgleichung suchen, denn das Verhältnis d durch k wird gleich eins, wenn wir alles in Dezimalbrüchen behandeln. Eins ist die Normierung der Gesamtzahl der Schüler.

Die logistische Wachstumsgleichung ist dann mit dem Ansatz Genüge getan, dass n von t gleichnull Komma null null einsmal e hoch k t ist, geteilt durch eins minus null Komma null null einsmal in Klammern e hoch k t minus eins, denn n null ist ja null Komma null null eins, weil am Anfang lediglich ein Schüler Bescheid weiß.

Im nächsten Schritt müssen wir das k ausrechnen. Wir wissen, dass n von einsgleich null Komma null null sieben ist, denn nach einer Stunde wissen bereits sieben Schüler Bescheid. Null Komma null null sieben ist also gleich nullmal e hoch kgeteilt durcheins plus null Komma null null eins mal e hoch k minus eins.

Jetzt müssen wir versuchen diese Gleichung nach kumzustellen. Wir sehen, dass das k im Nenner auftaucht und deswegen multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner. Im nächsten Schritt multipliziere ich die dabei auftretenden Klammer aus und versuche die Variable k zu isolieren.Wir sehen, dass diese sowohl auf der linken, als auch auf der rechten Seite auftaucht.Deswegen rechne ich zunächst minus siebenmal zehn hoch minus sechs mal k,denn nun habe ich auf der linken Seite keine Werte mehr mit k und diese sind noch auf der rechtenSeite. Im nächsten Schritt kann ich den Vorfaktor vor der Exponentialfunktion e hoch k ausklammern und durch diesenteilen.Das sehen wir hier: Hier wurde durch diese Klammer geteilt. Ich erhalte e hoch k ist gleichnull Komma null null sieben minus siebenmal zehn hoch minus sechsgeteilt durch null Komma null null einsminus siebenmal zehn hoch minus sechs. Den Wert auf der linken Seite kann ich direkt ausrechnen und den Logarithmus ziehen, so dass ich kbestimmen kann.K ist hierbei eins Komma neun fünf zwei, das bedeutet meine Funktionsgleichung ergibt sich zu null Komma null null einsmal e hoch eins Komma neun fünf zwei t geteilt durch einsminus null Komma null null eins mal e hoch eins Komma neun fünf zwei t minus eins Klammer zu.

Ja, ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeitund ich hoffe, dass ich all deine Fragen zum Thema exponentielles

Wachstum und Anwendung der Exponentialfunktion beantworten konnte.

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