Kurvendiskussion – online lernen

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Differentiale — Kurvendiskussion

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Kurvendiskussion.
Wir zeigen dir im Folgenden ein Beispiel unserer Abi-Live-Foren, in denen dir Nachhilfelehrer dein Thema erklären und du interaktiv und anonym all deine Fragen stellen kannst, sobald du angemeldet bist.

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Thema: Kurvendiskussion Allgemein

00:01 Vorstellung des Themas

00:10 Wozu benötigt man eine Kurvendiskussion?

00:49 Einführung ? eine Funktion als Beispiel

01:19 Die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs

02:05 Die Berechnung der Nullstellen

03:15 Die Vielfachheit der Nullstellen

03:52 Die Berechnung des y-Achsenabschnitts

04:30 Das Symmetrieverhalten

06:10 Das Verhalten im Unendlichen

07:19 Die Berechnung der Extrempunkte

8:44 Welche Art des Extrempunktes liegt vor?

10:04 Die Bestimmung des Monotonieverhaltens

10:34 Die Berechnung der Wendepunkte und des Krümmungsverhaltens

11:58 Charakterisierung des Wendepunktes und des Krümmungsverhaltens

12:45 Das Ergebnis der Kurvendiskussion ? der Funktionsgraph

13:14 Zusammenfassung der Bedingungen für die markanten Punkte

14:18 Schlussworte



Hallo und Herzlich Willkommen! Ich bin Manuel und ich erkläre dir heute, wie du eine Kurvendiskussion allgemein durchführen kannst.

Zunächst einmal eine kurze Einführung, wozu wir eine Kurvendiskussion benötigen. Um eine Kurve vollständig charakterisieren zu können, muss man ihre markanten Punkte kennen. Beschreibt man das Aussehen einer Kurve nur mithilfe einer Wertetabelle, kann es dabei an diesen Punkten zu Ungenauigkeiten kommen. Was sind diese speziellen Punkte? Zum einen Nullstellen, also Schnittpunkte mit der x-Achse, zum anderen Wendepunkte, also die Punkte, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert und Extrempunkte, also Punkte, an denen die Steigung der Funktion den Wert 0 annimmt.

Ich möchte dir die Kurvendiskussion anhand eines Beispiels erläutern. Gegeben ist die Funktion f von x gleich ein halb x hoch 3 minus ein halb x Quadrat minus 3x. Unsere Aufgabe besteht nun darin, von dieser Funktion eine Kurvendiskussion durchzuführen. Darüber hinaus lernst du zu jedem Thema, welches Handwerkszeug du generell beherrschen musst, um jede beliebige Funktion analysieren zu können.

Der erste Schritt der Kurvendiskussion ist die Bestimmung des Definitionsbereichs und die Frage, ob der Definitionsbereich in irgendeiner Weise eingeschränkt ist. Eine ganzrationale Funktion, wie wir es in diesem Fall vorliegen haben, ist im vollständigen reellen Raum definiert. Das bedeutet: D=R. Welche Funktionen hätten einen eingeschränkten Definitionsbereich? Bei Brüchen darf der Nenner nicht 0 werden, in Wurzeln darf nichts Negatives stehen und im Logarithmus darf nur ein Wert größer 0 stehen. Für die x-Werte, für die einer von diesen Fällen auftritt, ist eine Funktion nicht definiert und der Definitionsbereich entsprechend eingeschränkt.

Als nächstes Betrachten wir die Nullstellen. Nullstellen einer Funktion sind die Punkte eines Funktionsgraphen, an denen der Funktionsgraph Schnittpunkte mit der x-Achse aufweist. Die Bedingung für eine Nullstelle ist f von x gleich 0. Das bedeutet wir setzen die Funktion mit 0 gleich und lösen nach x auf. Das Ganze möchte ich dir anhand dieser Funktion erklären: f von x gleich ein halb x hoch 3 minus ein halb x Quadrat minus 3x ist gleich 0. Nun klammern wir ein halb x aus und erhalten: Ein halb x mal Klammer auf x Quadrat minus x minus 6 [Klammer zu] ist gleich 0. Ein halb x ist 0 für x1 gleich 0. X Quadrat minus x minus 6 ist 0 für x2 gleich 3 und x3 gleich minus 2. X2 und x3 lassen sich mit der Mitternachtsformel ausrechnen. Schau dir für die Funktion dritten Grades auch die Polynomdivision nochmal an.

Wenn eine Nullstelle einmal auftritt, handelt es sich um eine einfache Nullstelle, tritt diese zweimal auf, ist es eine doppelte. Man spricht hierbei auch von der Vielfachheit der Nullstellen. In diesem Fall tritt die 0 einmal auf, ebenso die 3 und die minus 2, also handelt es sich bei allen drei Nullstellen um eine einfache Nullstelle. Ganz wichtig ist, dass du die Nullstellen am Schluss auch als Punkte angibst, also (0/0), (3/0) und (minus 2/0).

Während die Nullstellen die Schnittpunkte mit der x-Achse darstellen, gibt es auch einen Schnittpunkt mit der y-Achse, den sogenannten y-Achsenabschnitt. Für den y-Achsenabschnitt wird für x in die Funktion einfach 0 eingesetzt. Das bedeutet: f von 0 ist gleich ein halb mal 0 hoch 3 minus ein halb mal 0 Quadrat minus 3 mal 0 ist gleich 0. Das bedeutet wir haben als Punkt P(0/0). Diesen Punkt merken wir uns gleich vor, um später unseren Funktionsgraph zeichnen zu können.

Als nächstes betrachten wir das Symmetrieverhalten der Funktion. Es gibt zwei mögliche einfache Symmetrien: Für die Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: f von minus x gleich f von x. Für die Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: f von minus x gleich minus f von x. Schauen wir das Ganze anhand unserer Funktion an. Für x setzen wir minus x ein und haben ein halb mal minus x hoch 3 minus ein halb mal minus x Quadrat minus 3 mal minus x ist gleich minus ein halb mal x hoch 3 minus ein halb x Quadrat plus 3 mal x. Nun schauen wir, ob diese Funktion die ursprüngliche Funktion darstellt, und sehen: Wir haben ein negatives Vorzeichen vor dem x hoch 3 und ein negatives Vorzeichen vor dem x Quadrat, vorher hatten wir ein positives Vorzeichen vor dem x hoch 3, also ist f von minus x nicht gleich f von x. Anschließend klammern wir ein Minus aus und schauen, ob der Term in Klammern f von x ist und wir sehen, dass wir zwar vor x hoch 3 ein positives Vorzeichen haben, aber vor x Quadrat haben wir kein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, die Funktion ist auch nicht f von x und das Gesamte ist nicht minus f von x. Es liegt also weder eine einfache Symmetrie zur y-Achse noch eine einfache Punktsymmetrie zum Ursprung vor.

Als Nächstes betrachten wir das Verhalten im Unendlichen. Um das Verhalten im Unendlichen einer ganzrationalen Funktion zu betrachten, muss man lediglich die größte Potenz betrachten. Das bedeutet der Limes für x gegen plus unendlich von f von x ist gleich ein halb Mal plus unendlich hoch 3 minus ein halb mal plus unendlich Quadrat minus 3 mal plus unendlich. Nun betrachten wir die größte Potenz und wir bekommen für plus unendlich plus unendlich heraus. Der Limes für x gegen minus unendlich von f von x ist gleich ein halb Mal minus unendlich hoch 3 minus ein halb Mal minus unendlich Quadrat minus 3 Mal minus unendlich; wir betrachten auch hier die größte Potenz: Minus unendlich hoch 3 ergibt minus unendlich, also ist der Grenzwert minus unendlich. Die höchste Potenz bestimmt das Vorzeichen im Unendlichen, weil x hoch 3 schneller wächst als x Quadrat oder x.

Als Nächstes betrachten wir die Extrempunkte: Die notwendige Bedingung für Extremstellen ist, dass die erste Ableitung von f von x gleich 0 ist. Die hinreichende Bedingung für Extremstellen ist, dass bei einem Maximum die zweite Ableitung kleiner 0 ist, bei einem Minimum die zweite Ableitung größer 0. Wenn die zweite Ableitung gleich 0 ist und zusätzlich die dritte Ableitung ungleich 0, liegt ein Sattelpunkt vor. Um die Extrempunkte und die Monotonie zu berechnen, benötigen wir nun die erste Ableitung von dieser Funktion. Die erste Ableitung von dieser Funktion wäre: ein halb mal 3 mal x Quadrat minus ein halb mal 2 mal x minus 3 ist gleich 1,5 x Quadrat minus x minus 3. Diese erste Ableitung wird nun mit 0 gleichgesetzt. Mit der Mitternachtsformel erhalten wir die Lösungen x1 gleich Wurzel aus 19 plus 1 geteilt durch 3 und x2 gleich minus Wurzel aus 19 minus 1 geteilt durch 3. Setzen wir die beiden Lösungen in die ursprüngliche Funktion ein, erhalten wir die y-Werte. Für x1 erhalten wir minus 4,14 und für x2 erhalten wir 2,03.

Nun stellt sich die Fragen, welche Art von Extrempunkt vorliegt. Hier haben wir 2 Möglichkeiten, die Art des Extrempunkts zu bestimmen. Entweder mit der zweiten Ableitung oder mithilfe der Monotonietabelle. Die zweite Ableitung ist die Ableitung von der ersten Ableitung, das bedeutet 3x minus 1. Hier setzen wir nun x1 und x2 ein und erhalten für x1 plus Wurzel 19, und das ist größer 0. Das bedeutet, wir haben bei x1 ein Minimum. Für x2 erhalten wir minus Wurzel 19, das ist kleiner als 0. Das heißt, bei x2 haben wir ein Maximum. In der Monotonietabelle betrachten wir die Vorzeichen der ersten Ableitung links von der Nullstelle und rechts von der Nullstelle. Links von der ersten Nullstelle ist die erste Ableitung größer 0, das heißt, der Funktionsgraph steigt. Rechts von der ersten Nullstelle ist die erste Ableitung kleiner 0, das heißt, der Funktionsgraph fällt, und wir haben einen Hochpunkt. Nach der ersten Ableitung ist die erste Ableitung wieder größer 0, das heißt, hier steigt der Funktionsgraph wieder und wir haben einen Tiefpunkt.

Diese Variante eignet sich auch, wenn man sowieso das Monotonieverhalten der Funktion bestimmen muss. Monotonie bedeutet: in welchem Intervall steigt ein Funktionsgraph? In diesem Fall von minus unendlich bis zur ersten Nullstelle. Und in welchen Intervallen fällt der Funktionsgraph? In dem Fall zwischen den beiden Nullstellen, also zwischen x1 und x2. Nach der 2. Nullstelle steigt der Funktionsgraph wieder.

Als nächstes möchten wir die Wendepunkte und das Krümmungsverhalten bestimmen. Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung von f von x gleich 0 ist. Die hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die dritte Ableitung entweder kleiner 0 ist für einen Wechsel von Linkskrümmung nach Rechtskrümmung oder größer 0 für einen Wechsel von einer Rechtskrümmung zu einer Linkskrümmung. Ist die dritte Ableitung gleich 0 liegt kein Wendepunkt vor. Ein Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich die Krümmung ändert. Du kannst es dir wie Autofahren vorstellen: Hier hast du eine Rechtskurve und hältst das Lenkrad nach rechts und ab hier musst du das Lenkrad nach links drehen, um die Linkskurve zu nehmen. Der Wendepunkt sowie das Krümmungsverhalten bestimmst du mit der zweiten Ableitung. Dies ist analog dazu, wie du das Monotonieverhalten mit der ersten Ableitung bestimmt hast. Wir brauchen die zweite Ableitung. Die zweite Ableitung ist 3x minus 1 und diese setzen wir gleich 0. 3x minus 1 ist gleich 0 für x gleich ein Drittel. Analog zur Monotonietabelle kannst du anhand der Krümmungstabelle einen Wendepunkt charakterisieren. Dass x gleich ein Drittel herauskommt, heißt noch lange nicht, dass ein Wendepunkt vorliegt.

Der Wendepunkt muss anhand der Krümmungstabelle charakterisiert werden. Wir betrachten das Vorzeichen für die zweite Ableitung vor der Nullstelle, also x kleiner als ein Drittel, und x größer als ein Drittel, also nach der Nullstelle. Vor der Nullstelle ist die zweite Ableitung kleiner als 0, das heißt, wir haben eine Rechtskrümmung. Nach der Nullstelle ist die zweite Ableitung größer als 0, das heißt, wir haben eine Linkskrümmung. Da wir einen Vorzeichenwechsel an der Nullstelle haben, liegt ein Wendepunkt vor. Durch Einsetzen des Wendepunkts in die Funktion erhalten wir noch den y-Wert und haben den Wendepunkt (0,33/ und minus 1,03).

Mit diesen ganzen Angaben, mithilfe der Funktionsgleichung, mithilfe der Nullstellen, unseres y-Achsenabschnitts und des Wendepunkts, mithilfe des Tiefpunktes, des Hochpunktes und des Verhaltens im Unendlichen lässt sich der Funktionsgraph zeichnen. Hier haben wir ein Maximum, hier ein Minimum, hier ungefähr ist der Wendepunkt und die Funktion geht von minus unendlich nach plus unendlich.

Hier das Ganze noch einmal zusammengefasst: Für eine Nullstelle ist die notwendige Bedingung, dass die Funktion f von x gleich 0 sein muss. Für ein Extrempunkt ist die notwendige Bedingung, dass die erste Ableitung 0 sein muss und die hinreichende Bedingung, dass für ein Maximum die zweite Ableitung kleiner 0 sein muss, für ein Minimum größer 0. Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn die zweite Ableitung gleich 0 ist und zusätzlich die dritte Ableitung ungleich 0. Alternativ lassen sich Extrempunkte auch mit der Monotonietabelle charakterisieren. Für einen Wendepunkt ist die notwendige Bedingung, dass die zweite Ableitung gleich 0 ist, und die hinreichende Bedingung ist, dass die dritte Ableitung ungleich 0 ist. Ist die dritte Ableitung gleich 0, liegt kein Wendepunkt vor. Alternativ lassen sich Wendepunkte mithilfe der Krümmungstabelle bestimmen.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Kurvendiskussion Allgemein? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

Nun musst du nur das Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen, kannst aber auch unter der angegebenen Rufnummer direkt Kontakt mit uns aufnehmen.Wir freuen uns auf dich.

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