Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion – online lernen

Du möchtest erfolgreich Mathe lernen, aber bitte mit Spaß? Egal, welches Thema, welche Klasse oder Schulform: Wir haben die besten Erklärungen zu allen Mathethemen!

Differentiale — Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion.
Wir zeigen dir im Folgenden ein Beispiel unserer Abi-Live-Foren, in denen dir Nachhilfelehrer dein Thema erklären und du interaktiv und anonym all deine Fragen stellen kannst, sobald du angemeldet bist.

Mit uns bereitest du dich optimal auf dein Abitur vor! Und so geht’s:

Mit unserem Abi-Crashkurs Mathematik bieten wir dir für nur 299€ die ideale Kombination aus Unterricht in der Schülerhilfe und online Lernen.

Der Crashkurs beinhaltet 25 Unterrichtsstunden, davon 10 Doppelstunden als Präsenzunterricht zusammen mit anderen Abiturienten und 5 interaktive Live-Foren zu deinen abirelevanten Themen hier im Online-LernCenter.

Im Präsenzunterricht in der Schülerhilfe werden alle Mathethemen aus deinem Bundesland für das schriftliche Abitur aufgearbeitet und gezielt mit Musteraufgaben und Inhalten von Originalprüfungen der letzten Jahre vertieft. Zusätzlich helfen dir unsere Nachhilfelehrer in den Live-Foren, dein Thema noch besser zu verstehen und die letzten Fragen zu klären.

Hast du Fragen oder möchtest direkt einen Beratungstermin in deiner Schülerhilfe vor Ort vereinbaren?
Dann rufe uns direkt an 0800 30 200 40 24 oder fülle unten stehendes Kontaktformular aus, damit wir uns umgehend mit dir in Verbindung setzen können.

* Pflichtfelder

Strukturierter Text des Videos

Dieser Text wurde maschinell erstellt.

3 - Differentiale - Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion

00:00 Einleitung

00:13 Funktion

00:45 Definitionsbereich

01:47 Nullstellen

03:20 y-Achsenabschnitt

04:11 Polstellen

10:31 Verhalten im Unendlichen

12:32 Symmetrieverhalten

13:58 Extremwerte berechnen

15:56 Welche Art ist der Extrempunkt?

17:01 Monotonieverhalten

18:18 Wendepunkt und Krümmung

20:20 Funktionsgraph

21:42 Schlussworte



Hallo und herzlich Willkommen bei den Lernvideos der Schülerhilfe.Mein Name ist Markus und ich erzähle dir, wie man eine Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion durchführt.

Zunächst einmal brauchen wir eine Funktion. Gegeben ist hier folgende: f von x ist gleich x Quadrat minus viergeteilt durch x Quadrat minus eins. Unsere Aufgabe wird nun sein:von dieser Funktion eine Kurvendiskussion durchzuführen. Darüber hinaus lernst du zu jedem Thema, welches Handwerkszeug du generell beherrschen musst, um jede beliebige Funktion analysieren zu können.

Der erste Schritt einer Kurvendiskussion ist die Bestimmung des maximalen Definitionsbereichs. Was du nicht einsetzen darfst, sind alle Zahlen für die der Nenner den Wert null ergeben würde, da man in der Mathematik niemals durch null teilen darf. Das geht einfach nicht. Das heißt, du schaust dir den Nenner x Quadrat minus eins an und setzt diesen gleich null. Löse das Ganze nach x auf, also x Quadrat minus eins gleich null führt zu x Quadrat gleich eins und wenn du die Wurzel ziehst, bekommst du die Definitionsmenge gleich r ohne plus minus eins. Diese Definitionsmenge musst du dir während der gesamten Kurvendiskussion immer gut merken.

Als nächstes bestimmst du die Nullstellen. Damit ein Bruch den Wert null annimmt, muss der Zähler den Wert null annehmen. Das heißt, alles, was du machen musst, ist den Zähler, also x Quadrat minus vier nehmen und mit null gleichsetzen. Also x Quadrat minus vier gleich null führt zu x Quadrat gleich vier und wenn man die Wurzel zieht, ist x plus minus zwei.

Und jetzt musst du aufpassen: Man muss nämlich schauen, ob die Zahlen, die man rausbekommt, Elemente der Definitionsmenge sind. Definitionsmenge war d gleich r ohne plus minus eins. Das heißt, plus und minus zwei sind erlaubt und somit Nullstellen der Funktion. Beachte hierbei, dass du gegebenenfalls die Nullstellen mit Mitternachtsformel oder Polynomdivision errechnen musst. Die Nullstellen müssen natürlich immer auch als Punkte angegeben werden. Der y-Wert ist hier bei den Nullstellen klar, nämlich null. Das heißt, wir haben die Punkte null und zwei und minus zwei und null. Während die Nullstellen die Schnittpunkte mit der x-Achse darstellen gibt es natürlich auch den Schnittpunkt mit der y-Achse, dieser heißt auch y-Achsenabschnitt. Hierfür setzt du für x einfach den Wert null ein. Und wir haben f von null gleich null Quadrat minus vier durch null Quadrat minus eins. Das ist dann gleich minus vier minus eins und das ist dann gleich vier. Auch hier nicht vergessen, das als Punkt anzugeben, also haben wir den Punkt null und vier, weil wir null für x ausgewählt haben und vier errechnet haben. Das schreiben wir dann auch schon mal auf, da wir das später für die Zeichnung des Graphen verwenden können.

Als Nächstes berechnen wir die Polstellen. Polstellen sind Senkrechte, sogenannte Asymptoten, bei gebrochen rationalen Funktionen, also die x-Werte, an denen die Funktion nicht definiert ist und gleichzeitig der Funktionswert gegen unendlich läuft.

Eine Definitionslücke kann nur dann eine Polstelle sein, wenn dieselbe Nullstelle des Nenners nicht auch im Zähler vorkam. Wie du damit umgehst, erfährst du nach diesem Unterpunkt.

Hier sind beide Definitionslücken nur als Nullstellen im Nenner vorgekommen. Also sind es Polstellen. Uns interessiert also der Verlauf der Funktion an der Polstelle, also an den nicht definierten x-Werten.

An den Definitionslücken wird der Grenzwert sowohl auf der linken Seite, als auch von der rechten Seite mit Hilfe des Limes berechnet. Das heißt, wir haben die Definitionslücken plus und minus eins und wir müssen den Limes gegen minus eins von der rechten Seite und für x gegen minus eins von der linken Seite berechnen. Das selbe müssen wir für den Limes gegen plus eins von der linken und der rechten Seite berechnen. Das Vorzeichen als Exponent von der eins bedeutet, ob man sich von links oder von rechts an die Definitionslücke annähert.

Wir schauen uns das Ganze an einem Beispiel an: nämlich für Limes x gegen minus eins von der rechten Seite. Limes von x gegen eins von f von x ist Limes x gegen eins von x Quadrat minus vier geteilt durch x Quadrat minus eins und jetzt ist ganz wichtig, dass du Zähler und Nenner im nächsten Schritt faktorisierst. Nur so lässt sich der Grenzwert berechnen. Wenn du das Ganze faktorisiert hast, steht im Zähler x minus zwei mal x plus zwei. Wenn du jetzt für x Minus eins einsetzt, erhältst du minus eins minus zwei mal minus eins plus zwei. Im Nenner hast du x minus eins mal x plus eins. Das heißt, wenn wir hier minus eins eingesetzt haben, wird minus eins minus eins mal minus eins plus eins. Im Zähler bekommen wir minus drei mal eins und im Nenner bekommen wir minus zwei mal null. Und jetzt ist ganz wichtig von welcher Seite wir uns dem Grenzwert angenähert haben. Das heißt, irgendwelche Werte, die etwas größer sind als minus eins, zum Beispiel minus null Komma neun neun neun neun. Wenn wir jetzt eine etwas größere Zahl wählen, bekommen wir eine positive Zahl heraus. In dem Fall schreiben wir hier null plus in den Nenner. Der Zähler minus drei mal eins ergibt minus drei. Der Nenner minus zwei mal einer sehr sehr kleinen, aber positiven Zahl, ergibt nun eine sehr, sehr kleine negative Zahl. Minus drei durch eine sehr, sehr kleine negative Zahl ergibt dann plus unendlich. Wenn wir das Ganze für alle vier Grenzwerte durchführen, bekommen wir für den linksseitigen Grenzwert: an minus eins minus unendlich. Für den rechtsseitigen Grenzwert an plus eins kriegen wir ebenfalls minus unendlich raus und für den rechtsseitigen Grenzwert an plus eins kriegen wir plus unendlich raus. Wie eben erwähnt, kann eine Definitionslücke nur dann eine Polstelle sein, wenn die Nullstelle nicht auch im Zähler vorkommt.

Hier ein Beispiel: Wir haben als Funktion fvon x Quadrat minus x minus zwei geteilt durch x Quadrat minus eins und wir betrachten den Grenzwert für x gegen minus eins von der rechten Seite. Wenn wir den Zähler faktorisieren, erhalten wir x minus zwei mal x plus eins und wenn wir den Nennerfaktorisieren, haben wir wieder x minus eins mal x plus eins. Nun siehst du, dass sowohl im Nenner als auch im Zähler dieselbe Nullstelle vorkommt, nämlich die minus eins. Das heißt, hier lässt sich der Klammerausdruck x plus eins wegkürzen. Wenn wir das Ganze nun wegkürzen erhalten wir: Limes für x gegen minus eins von der rechten Seite von x minus zwei durch x minus eins und wenn wir jetzt minus eins einsetzen, bekommen wir im Zähler minus eins minus zwei, also minus drei und im Nenner minus eins minus eins, also minus zwei. Und minus drei durch minus zwei ist eins Komma fünf. Das heißt, im Gegenzug zu unseren Polstellen kommt hier ein fester Wert raus. Und das ist der Unterschied zu dem Fall, wenn Nullstellen im Zähler und im Nenner vorkommen. Und dann ist es keine Polstelle, sondern eine stetig behebbare Definitionslücke.

Anschließend lässt sich das Verhalten im Unendlichen bestimmen. Das Verhalten im Unendlichen ist ein bisschen leichter zu berechnen, denn hier muss einfach die höchste Potenz des Zählers und im Nenner ausgeklammert werden und wir müssen nur einen einzigen Grenzwert berechnen, nämlich nur x gegen plus minus unendlich von f von x. Wichtig ist hier, dass Zähler und Nenner nichtfaktorisiert werden dürfen. Das liegt daran, dass sich nur dann die höchste Potenz ausklammern lässt. Das heißt, wir schauen den Nenner an - höchste Potenz ist x Quadrat und diese Potenz müssen wir im Nenner und im Zähler ausklammern und bekommen im Zähler: x Quadrat mal eins minus vier durch x Quadrat und im Nenner: x Quadrat mal eins minus eins durch x Quadrat. Das x Quadrat lässt sich nun wegkürzen. Jetzt überlegt man sich, was hier in den beiden Nennern geschieht, wenn x Quadrat gegen plus minus unendlich geht. Dann wird der Nenner in beiden Fällen positiv und unendlich groß und somit ist dieser Term nahezu null. Der Term ist auch nahezu null. Das heißt, wir bekommen als festen Wert eine eins heraus. Als Ergebnis kommt hier entweder eine null oder eine beliebige Zahl oder unendlich heraus. Für den Spezialfall, wenn der Zähler genau eine Potenz größer ist als der Nenner, würde hier eine schräge Asymptote vorliegen. Indem Fall, wenn eine feste Zahl rauskommt, oder Null, wäre das eine waagerechte Asymptote. Entsprechend hier bei y gleich eins.

Kommen wir nun zum Symmetrieverhalten der Funktion. Es gibt zwei mögliche einfache Symmetrien: die Achsensymmetrie und die Punktsymmetrie. Für die Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: f von minus x ist gleich f von x und für die Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: f von minus x ist minus f von x. Wenn wir uns das Ganze an unserer Funktion angucken und wenn wir jetzt für x minus x einsetzen erhalten wir: minus x zum Quadrat minus vier durch minus x zum Quadrat minus eins. Das ist dasselbe wie x Quadrat minus vier durch x Quadrat minus eins und das hier ist nichts anderes als unsere normale Funktion f von x. Also folgern wir daraus, dass hier Achsensymmetrie vorliegt, da f von minus x identisch ist mit f von x.

Wichtig ist: Du musst nur zwei Symmetrien berechnen können: die Symmetrie zur y-Achse oder die Symmetrie zum Ursprung. Es gibt noch weitere Symmetrien, wenn du die Funktion verschiebst, aber die sind nicht Teil dieses Vortrags.

Anschließend lassen sich Extremwerte berechnen. Um Extremwerte berechnen zu können, benötigen wir die erste Ableitung. F von x gleich x Quadrat minus vier durch x Quadrat minus eins lässt sich mit Hilfe der Quotientenregel ableiten. Das bedeutet, zunächst einmal schreiben wir den Nenner hin und leiten den Zähler ab minus. Wir schreiben den Zähler hin und leiten den Nenner ab und im Nenner steht einfach der ursprüngliche Nenner zum Quadrat. Anschließend lässt sich zwei x ausklammern und übrig bleibt x Quadrat minus eins minus x Quadrat minus vier. Und wenn wir diese Klammer hier aufgelösen, haben wir x Quadrat minus eins minus x Quadrat plus vier. Und wir sehen das x Quadrat fällt weg und wir habenminus eins plus vier stehen. Minus eins plus vier ist drei und drei mal zwei x ist sechs x geteilt durch den Nenner x Quadrat, x Quadrat minus eins zum Quadrat. Und das Gesamte ist unsere erste Ableitung.

Diese wird anschließend mit Null gleichgesetzt. Wir erinnern uns: ein Bruch ist genau dann null, wenn der Zähler null ist. Das bedeutet, in dem Fall, wenn wir einfach nur wissen wollen, ob die Ableitung gleich null ist, müssen wir den Zähler gleich null setzen, also sechs x gleich null. Und das ist genau der Fall für x gleich null.

Nun ist die Frage: Welche Art von Extrempunkt liegt vor? Minimum, Maximum oder vielleicht sogar ein Sattelpunkt? Die erste Möglichkeit wäre mit Hilfe der zweiten Ableitung. Bei Brüchen vielleicht ein wenig umständlich, weil du jetzt wiederum von der Ableitung die Quotientenregel anwenden musst. In dem Fall kriegst du raus: minus achtzehn x Quadrat minus sechs geteilt durch in Klammern x Quadrat minus eins hoch drei; wenn du null in die zweite Ableitung einsetzt, bekommst du sechs raus. Und sechs ist größer als null. Das bedeutet, es liegt ein Minimum vor. Die zweite Variante wäre mit Hilfe der Monotonietabelle. Du schaust dir an, welches Vorzeichen die erste Ableitung hat für ein x-Wer kleiner als null und für einen x Wert größer als null. Links von deiner Nullstelle ist die Ableitung kleiner als null und rechts ist die Nullstelle größer als null. Das heißt, das Gesamte ist ein Minimum,weil ein Vorzeichenwechsel von minus nach plus vorliegt.

Das Monotonieverhalten bestimmst du ähnlich wie bei der Extrempunktbestimmung mit der Monotonietabelle. Nur, dass du die Definitionslücken ebenfalls berücksichtigen musst. Das liegt daran, dass sich auch an den Definitionslücken das Monotonieverhalten ändern könnte. Wir haben als Definitionslücke minus eins und eins gehabt und müssen jetzt angucken, wie ist die erste Ableitung vor der Definitionslücke kleiner null - bei minus eins natürlich nicht definiert.

Wie ist die erste Ableitung zwischen der ersten Definitionslücke und unserer Nullstelle? Immer noch kleiner null. An der Nullstelle ist sie natürlich null. Wie ist nun die Ableitung zwischen der Nullstelle und der zweiten Definitionslücke? In dem Fall größer null - bei eins nicht definiert und nach der zweiten Definitionslücke auch größer null. Das heißt, hier fällt der Funktionsgraph, sowie hier und hier. Ebenfalls liegt hier ein Tiefpunkt vor. Steigt unser Graph nach der zweiten Definitionslücke, steigt unser Graph ebenfalls.

Als letztes schauen wir uns noch den Wendepunkt und das Krümmungsverhalten an. Den Wendepunkt, sowie das Krümmungsverhalten, bestimmst du mit der zweiten Ableitung. Dies ist analog dazu, wie du das Monotonieverhalten mit der ersten Ableitung bestimmt hast.

Die zweite Ableitung ist, wie gerade eben schon erwähnt, minus achtzehn x Quadrat minus sechs durch in Klammern x Quadrat minus eins hoch drei. Das müssen wir nun gleich null setzen und jeder Bruch ist null, wenn der Zähler null ist. Also setzen wir minus achtzehn x minus sechs gleich null und wir sehen hier keinen Wert, den wir für x rausbekommen würden. Analog zur Monotonietabelle kannst du mit Hilfe der Krümmungstabelle einen Wendepunkt charakterisieren. Es gibt zwar hier keinen Wendepunkt, weil die zweite Ableitung hier keine Nullstelle hat, das heißt allerdings nicht, dass die Funktion hier keine Krümmungsänderung aufweist. Man muss nämlich auch hier, genauso wie bei dem Monotonie Verhalten auch die Definitionslücken berücksichtigen. Das heißt: Wir schauen uns die zweite Ableitung vor der minus eins zwischen der minus eins und eins und nach eins an. Und bekommen heraus, dass vor der Definitionslücke die zweite Ableitung kleiner als null ist; nach der Definitionslücke größer als null; und nach der zweiten Definitionslücke kleiner als null. Das heißt, wir haben tatsächlich eine Änderung des Krümmungsverhaltens.

Vor der ersten Definitionslücke bedeutet kleiner null rechtsgekrümmt, nach der ersten Definitionslücke bedeutet linksgekrümmt und nach der zweiten Definitionslücke kleiner null, also ist die Funktion rechtsgekrümmt.

Hier jetzt nochmal die ganzen Angaben und Ergebnisse zusammengefasst. Wir haben den Funktionsgraphen, den y- Achsenabschnitt; Wir haben die Definitionsmenge berechnet; Wir wissen die beiden Nullstellen:zwei und null und minus zwei und null;Und wir wissen das Verhalten an den Definitionslücken, also an minus eins von links und von rechts und an plus eins von rechts und von links; Und wir wissen das Verhalten von x gegen plus und minus unendlich. Außerdem wissen wir, dass null und vier unser Tiefpunkt ist und mit dieser Information und mit der Monotonie und dem Krümmungsverhalten lässt sich nun der Funktionsgraph zeichnen.

Hier ist einmal der Funktionsgraph abgebildet. Hier ist unser Minimum und gleichzeitig der y-Achsenabschnitt. Unsere Definitionslücken bei minus eins und bei plus eins und die waagerechte Asymptote bei y gleich eins.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

In der Schülerhilfe vor Ort helfen wir dir, die wichtigsten Mathethemen bundeslandspezifisch aufzuarbeiten und dich so optimal auf die Prüfung vorzubereiten. Gemeinsam bearbeiten wir mit dir gezielt Musteraufgaben und wiederholen Originalprüfungen der letzten Jahre ? alles für deine bessere Note.

Nun musst du nur das Kontaktformular für ein Beratungsgespräch ausfüllen, kannst aber auch unter der angegebenen Rufnummer direkt Kontakt mit uns aufnehmen.Wir freuen uns auf dich.

Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion – Wir machen euch fit für eure Abiturprüfungen. Behandelt werden Themen für alle Schüler. Erfolgreich in die Schule starten.