Fortgeschrittene Methoden der Differentialrechnung – online lernen

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Differentiale — Fortgeschrittene Methoden der Differentialrechnung

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Strukturierter Text des Videos

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5 ? Differentiale ? Fortgeschrittene Methoden der Differentialrechnung

00:11 Themen des Vortrags ? Was erwartet dich heute?

00:29 Funktionsscharen ? Kurvendiskussion für mehrere Kurven

01:54 Kurvendiskussion ? Unterschiede zwischen Funktionen und Funktionsscharen

02:27 Beispielrechnung

08:05 Ortskurven

11:54 Grenzwerte

15:32 Regel von l´Hospital

18:53 Schlussworte



Hallo und herzlich Willkommen zum Lernvideo über die fortgeschrittenen Methoden der Differentialrechnung.

Heute geht es im Speziellen um die Funktionsscharen und die Grenzwerte.

Wir beginnen mit einer Übersicht zu den Themen des Vortrags.

Zum einen wird es halt um die Funktionsscharen gehen, dementsprechend auch um Ortskurven, die entstehen, wenn wir beispielsweise Extrempunkte berechnen.

Danach geht es nochmal um Grenzwerte und speziell um die Anwendung der Regel von de L?Hospital.

Funktionsscharen und im Speziellen Kurvendiskussionen für mehrere Kurven hat man immer dann, wenn wir einen Parameter in unserer Funktion haben. Eine normale Funktion, wie wir sie hier stehen haben: f von x ist gleich x Quadrat plus vier x minus eins. Hier wird genau jedem x- Wert des Definitionsbereichs exakt ein y- Wert zugeordnet. Das ergibt eine Kurve. Falls wir aber eine Funktionsschar haben, wobei noch ein Parameter hier in der Funktionsgleichung auftreten kann, werden für alle Parameter a aus dem Definitionsbereich für a jedem x- Wert ein y- Wert zugeordnet.

Das ergibt für jedes a eine Kurve.

Wir gucken uns das Beispiel mal an:f a von x ist gleich x Quadrat minus zwei geteilt durch a mal x plus zwei. Jetzt können wir das a in unserer Funktionsgleichung jeweils durch verschiedene reelle Zahlen ersetzen und erhalten jeweils immer eine andere Funktion, die wir im Nachfolgenden dann diskutieren können.

Zum Bespiel erhalten wir, wenn wir eine eins für das a hier unten einsetzen die Funktion: f eins von x ist gleich x Quadrat minus zwei x plus zwei.

Setzen wir eine zwei ein, erhalten wir die Funktion: x Quadrat minus x plus zwei und wenn wir eine minus zehn einsetzten erhalten wir: x Quadrat plus ein Fünftel x plus zwei. Viel ändert sich also nicht in unserer Funktionsgleichung, aber der Faktor vor dem x ändert sich halt immer.

Unterschiede zwischen Funktionen und Funktionsscharen:

die notwendigen Kriterien für die Existenz von Nullstellen und Extrema und Wendepunkten bleiben erhalten. Die Lösungen für die Koordinaten von Nullstellen, Extrema und Wendepunkte sind bei Funktionen eindeutig. Das Problem ist die Lösungen für die Koordination von Funktionsscharen sind unter Umständen vom gegebenen Parameter abhängig. Das bedeutet, dass es nicht immer so ist, dass alle Funktionen einer Funktionsschar eine eindeutige Nullstelle haben, sondern es auch sein kann, dass diese sich entlang einer Kurve bewegen. Das sehen wir dann aber gleich.

Beispielrechnung für folgende Funktionsscharen: f k von x ist gleich k mal x geteilt durch x Quadrat plus eins. Wir sehen: das k, was wir als Parameter gewählt haben, taucht nur im Zäher auf. Das bedeutet der Nenner ist unabhängig von diesem k.

Die Aufgabenstellung lautet: berechne die Nullstellen und die Extrema. Die Nullstellen haben die Bedingung, dass der Funktionsterm null werden soll. Das bedeutet: wir setzen den Funktionsterm vor dem Gleichheitszeichen gleich null und stellen nach x um. Null ist also gleich k mal x geteilt durch x Quadrat plus eins.

Im Folgenden rechnen wir mal x Quadrat plus eins und eliminieren damit den Nenner. Die linke Seite bleibt gleich null und wir erhalten k mal x als restlichen Term auf der rechten Seite.

Daraus folgt automatisch, dass die Nullstelle bei null ist. Dies ist unabhängig von dem k, denn dieser Term - der hier in der zweiten Zeile der Rechnung steht -null ist gleich k x ist immer dann null, wenn x gleich null ist. Das k hat damit nichts zu tun.

Merksatz: Die Nullstelle einer Bruchfunktion hängt nicht vom Nenner ab. Das sehen wir hier im ersten Rechenschritt. Mit dem Nenner können wir immer multiplizieren, weil wir davon ausgehen können, dass dieser ungleich null ist.

Kommen wir zu den Extrema. Hier habe ich nochmal die Bedingungen aufgeschrieben für die Existenz eines Extremums. Das bedeutet wir müssen einmal die erste Ableitung gleich null setzen und den x- Wert, den wir daraus folgend ausrechnen, in die zweite Ableitung einsetzen.

Ist der Wert in der zweiten Ableitung zu dem gegebenen x- Wertkleiner als null, handelt es sich um ein Maximum.

Ist dieser größer als null handelt es sich um ein Minimum.

Für gleich null erhalten wir keine Aussage.

Weil wir hier eine Bruchfunktion haben, müssen wir das Ganze mit der QuotientenRegel ableiten. Die habe ich hier nochmal kurz aufgeschrieben.

Das heißt, wir behandeln den Zähler und den Nenner als eigenständige Funktion u und v und müssen diese nur irgendwie festlegen. U ist also mein Zähler, also das k mal x und v ist der Nenner x Quadrat plus eins. Leite ich den Zähler ab, erhalte ich als Ableitung k, und leite ich den Nenner ab, erhalte ich als Ableitung zwei x.

Diese vier Sachen muss ich jetzt hier oben in das Schema für die Quotientenregel einsortieren. Ich erhalte also den Term k mal x Quadrat plus eins minus zwei x mal kx geteilt durch x Quadrat plus eins zum Quadrat.

Im Anschluss soll ich das Ganze null setzen und ich kann es auch sofort wieder mit dem Nenner multiplizieren, denn wir hatten ja grade gelernt, dass wenn wir eine Bruchfunktion oder einen Bruch null setzen sollen, wir immer, wenn die Variable auch im Nenner steht, mit dem Nenner multiplizieren können und uns so einiges an Arbeit ersparen.

Das heißt, ich muss jetzt nur noch gucken, wann der Zähler null wird. Das guck ich mir kurz nochmal auf der nächsten Folie an.

Ich halte also die Gleichung null ist gleich k mal in Klammern x Quadrat plus eins minus zwei x mal k x. Das Ganze werde ich ausmultiplizieren und erhalte null ist gleich k x Quadrat plus k minus zwei k x Quadrat.

Im Anschluss kann ich ein k x Quadrat sozusagen rausziehen, indem ich den ersten Term aus der zweiten Zeile minus den dritten Term aus der zweiten Zeile rechne. Und im Anschluss kann ich das k sogar ausklammern und erhalte null ist gleich k in Klammern minus x Quadrat plus eins.

Ich kann an dieser Stelle durch k teilen, muss aber vorher festlegen, dass k niemals null werden darf. Das ist ganz wichtig. Man darf nämlich nicht durch null teilen.

Ansonsten erhalte ich dann, dass null gleich minus x Quadrat plus eins ist, wenn ich das Ganze jetzt plus x Quadrat rechne, erhalte ich x Quadrat gleich eins und die beiden Lösungen sind dann eins und minus eins.

Auch hier wieder, der x- Wert unseres Extremums ist offensichtlich nicht vom Parameter abhängig, denn der taucht hier unten in der Lösung nicht mehr auf.

Die y der Extrema kann ich jetzt auch aufschreiben. Ich muss dafür nur die beiden x- Werte, die ich grade rausgefunden habe, oben in die Originalfunktion einmal einsetzen und erhalte für den Wert eins: k mal eins geteilt durch eins Quadrat plus eins gleich k halbe und für minus eins erhalte ich: minus k halbe.

Daraus folgen folgende Nullstellen: null null, der erste Extrempunkt liegt bei eins und k halbe und der zweite Extrempunkt bei minus eins und minus k halbe.

Die Diskussion der Extrema mache ich jetzt mal ohne die zweite Ableitung. Falls k positiv ist, ist E eins das Maximum und E zwei das Minimum. Das sehen wir auch, indem wir uns mal irgendwie positive Werte überlegen, dann muss ja hier der y- Wert des ersten Extremums positiv sein und der y- Wert des zweiten Extremums negativ. Dementsprechend ist k zwei, also der erste Extrempunkt Maximum und der zweite Extrempunkt ist ein Minimum.

Falls k negativ ist, was durchaus sein kann, dann wird der y- Wert des ersten Extremums negativ, somit ist dann der erste Extrempunkt das Minimum und dementsprechend der zweite Extrempunkt das Maximum.

Falls k gleich null ist, was offensichtlich eigentlich nicht sein darf, weil wir ja grade gesagt haben, dass wir ja durch null geteilt haben in der Berechnung für die Extrema, dann liegen sowieso alle Punkte von f k x auf der x- Achse und es gibt gar keine Extrema. Also die Rechnung erübrigt sich für k gleich null. Ihr könnt euch das mal überlegen, indem ihr k oben in den Funktionsterm einmal einsetzt, also k gleich null, und dann guckt, was dabei rauskommt. Da müsstest ihr nicht auf die Nullfunktion kommen.

Nochmal zur Wiederholung: die x- Koordinate ist also nicht abhängig von k, aber die y- Koordinate schon und somit auch die Art der Extrema.

Kommen wir nun zu den Ortskurven. Ortskurven entstehen, wenn man charakteristische Punkte einer Sorte verbindet.

Die Aufgabenstellung lautet: Berechne die Gleichung der Ortskurve auf der sich die Extrema der Funktionsschar f a von x ist gleich x Quadrat plus a x plus eins befindet.

Die Strategie sieht folgendermaßen aus: zuerst werden die x- Werte der Extrema über das notwendige Kriterium bestimmt. Das machen wir immer gleich. Wir leiten ab und setzen die Ableitung gleich null. Zweitens: die y- Werte werden durch Einsetzen in die Originalfunktion erhalten. Das heißt, der x- Wert, den wir durch den ersten Punkt gekriegt haben, wird in die Originalfunktion eingesetzt und dann wird der y- Wert berechnet.

Drittens: eine der beiden Koordinaten durch Umstellen nach dem Parameter a in die andere Koordinate einsetzen und nach y umstellen. Das klingt jetzt erstmal ein wenig kryptisch, weil es ein langer Satz ist, aber das kriegen wir gleich hin, wenn wir das sehen.

Also erstens Ableiten und Nullsetzen: f a Strich von x ist gleich zwei x plus a. Null ist gleich zwei x plus a, kommt aus der notwendigen Bedingung für die Existenz eines Extremums.

Das heißt, ich habe jetzt den Ableitungsterm gleich null gesetzt und stell den jetzt weiter nach x um.

Der erste Schritt lautet, dass ich das a auf die andere Seite hole. Ich muss also auf beiden Seiten minus a rechnen.

Zum Schluss noch durch zwei teilen und ich bekomme minus a halbe für den x- Wert des Extremums heraus.

Das bedeutet der x- Wert des Extremums ist schon mal von a abhängig.

Zweitens: den y- Wert erhalten durch Einsetzen in die Originalfunktion. Ganz einfach, wir setzen für x in unsere Originalfunktion minus a halbe ein und rechnen das Ganze aus.

Wir erhalten dann minus ein Viertel a Quadrat plus eins.

Das bedeutet unser Extrempunkt liegt abhängig von dem Parameter a, der ja irgendeine Zahl sein kann zwischen minus Unendlich und plus Unendlich bei minus a halbe für den x- Wert und minus ein viertel a Quadrat plus eins.

Jetzt sollen wir den x- Wert nach a umstellen und in y- Wert einsetzen. Das machen wir wie folgt: Wir nehmen den x- Wert unseres Extremums und stellen den schrittweise nach a um. Der x- Wert war ja bei minus a halbe. Ich rechne auf beiden Seiten mal zwei und bekomme dann zwei x ist gleich minus a, danach noch die Vorzeichen tauschen und a ist gleich minus zwei x.

Dieses a setze ich jetzt hier in den Wert für den y- Wert ein, in die Gleichung für den y- Wert. Ich erhalte aus minus ein Viertel a Quadrat plus eins, minus ein Viertel in Klammern minus zwei x Quadrat plus eins. Denn a ist ja nichts Anderes als minus zwei x.

Und schon bekomme ich, wenn ich das ausrechne, die Gleichung minus x Quadrat plus eins heraus.

Das bedeutet, die Ortskurve der Extrempunkte hat die Gleichung minus x Quadrat plus eins.

Wir sehen hier vorne das y und hinten die Gleichung minus x Quadrat plus eins, den Term meine ich, und das ist schlussendlich die Gleichung auf der sich dann unsere Extrempunkte befinden, also alle die es gibt. So das ist jetzt alles sehr theoretisch gewesen, das kann man sich aber auch mal angucken.

Ich habe hier mal ein paar Skizzen gemacht bezüglich des Parameters a. Also wir sehen hier verschiedene Kurven für a gleich minus eins, a gleich null, a gleich eins und a gleich zwei. Und ich habe jeweils auch das Minimum dieser Kurven. Das hier ist das Minimum der Kurve mit dem Parameter a gleich eins, das rote. Dann habe ich hier das schwarze, das blaue und das grüne und wir sehen, die bewegen sich alle auf dieser Ortskurve entlang minus x Quadrat plus eins.

Das bedeutet alle Minima meiner Kurvenschar liegen auf dieser Ortskurve drauf. Und deshalb braucht man Ortskurven, um alle Extrempunkte, wenn sie dann abhängig sind vom Parameter auf dieser zusammenzufassen.

Das war es erstmal zu den Funktionsscharen und wie man damit rechnet und vor allem, dass man sich von den Parametern auch nicht durcheinanderbringen lassen soll.

Und jetzt geht es zu den Grenzwerten. Also um einen Grenzwert zu definieren bedarf es zunächst einer Zuordnungsvorschrift, zum Beispiel eine Zahlenfolge mit entsprechendem Bildungsgesetz oder eine Funktion mit einem Funktionsterm.

Eine Zahlenfolge ist dabei ein bisschen anders als ein Funktionsterm, weil ein Funktionsterm normalerweise auf den reellen Zahlen definiert ist und eine Zahlenfolge beispielsweise nur für die natürlichen oder ganzen Zahlen.

Wenn ihr hier sowas seht, wie a n ist gleich n plus eins, dann könnt ihr für n verschiedene natürliche Zahlen einsetzen, zum Beispiel die Zahl eins. Wenn ihr für die Zahl eins hier bei n eine eins einsetzt, dann erhaltet ihr für a eins gleich zwei. Eine Funktion kann halt noch Zahlen zwischen eins und zwei beinhalten und ist somit noch ein bisschen differenzierter als eine Zahlenfolge.

Aber eine Zahlenfolge ist eigentlich ein gutes Beispiel, um sich mit Grenzwerten vertraut zu machen. Wir werden das jetzt trotzdem mit der Funktion einmal durchziehen.

Man unterscheidet bei der Grenzwertbildung zwischen zwei Fällen. Erstens der Grenzwert wird angenommen, zum Beispiel Limes n gegen drei von eins durch n ist gleich ein Drittel. Wir dürfen das n nämlich sofort durch den Grenzwert ersetzen und erhalten den Wert für den Grenzwert.

Manchmal geht das aber nicht. Wenn wir uns hier unten den Term angucken, dann steht da drei x durch in Klammern x minus 3 zum Quadrat. Wenn ich jetzt den Limes, also x gleich drei, hier einsetzen würde, dann würde unter dem Bruchstrich im Nenner eine Null folgen und das ist ja nicht so gut, weil wir in der Mathematik ja nicht durch null teilen dürfen. Deswegen muss man hier eine normale Grenzwert Rechnung anwenden.

Wir wissen also nicht genau was hier rauskommt, weil wir nicht durch null teilen dürfen. Und dafür brauchen wir ein paar Rechenregeln. Für den zweiten Fall gibt es verschiedene Möglichkeiten auf eine Lösung zu kommen. Man führt die Werte entsprechend des Grenzwertes nahe an diesen heran. Das ist sozusagen die Methode für alle, die gerne mit dem Taschenrechner arbeiten und keine Lust haben eine Grenzwertrechnung durchzuführen.

Ich habe hier mal ein Beispiel gemacht. Das ist jetzt ein relativ langes Beispiel und wir sehen, wenn wir hier jetzt in den Zähler minus eins einsetzen für x und in den Nenner, dann würde im Nenner eine Null rauskommen. Für x gleich minus eins ist der Term wegen der Nenner Nullstelle nicht definiert. Von links und rechts kann man nun die Werte gegen die minus eins laufen lassen.

Das sieht dann wie folgt aus: also ich habe hier oben meinen Term und ich muss jetzt irgendwie schauen, dass der x- Wert ein mal von oben gegen die minus eins läuft und einmal von unten gegen die minus eins läuft, damit ich feststellen kann, ob ein rechts und links seitiger Grenzwert existiert und ob der gleich ist.

Wir schauen uns das mal kurz an. Ich habe hier in der ersten Spalte x- Werte stehen, die sich von links an die eins annähern. Hier steht die minus zwei, die minus eins Komma fünf, minus eins Komma drei, minus eins Komma eins und so weiter. Es geht immer näher an die minus eins heran, aber es wird niemals die minus eins treffen. Und ich sehe was unser Funktionsterm macht. Er wandert gegen minus null Komma fünf. Der letzte Wert ist bei minus null Komma vier neun.

Wenn ich mich von rechts an die minus eins annähere, dann habe ich einmal die null, die minus null Komma fünf, minus null Komma sieben, minus null Komma neun und minus null Komma neun neun. Das ist jetzt schon ziemlich nah dran an der minus eins und ich erhalte den Funktionswert minus null Komma fünf eins.

Jetzt vergleiche ich mal die minus null Komma vier neun und minus null Komma fünf eins und kann zu dem Schluss kommen, dass der Grenzwert sich vermutlich bei minus null Komma fünf befindet.

Das ist aber keine sehr schöne Rechnung , vor allem weil sie da auf Vermutungen basiert und nicht auf einer tatsächlichen Rechnung.

Und deswegen gibt es auch noch die Regel von L?Hospital und natürlich trickreiches Rechnen, um den Term zu vereinfachen.

Man kann zum Beispiel versuchen, den Term soweit zu schönen, dass irgendwann im Nenner der Wert minus eins einfach eingesetzt werden kann.

Zum Beispiel durch Faktorisierung. Ich kann durch Polynomdivision oder durch scharfes Hingucken den oberen und den unteren Term faktorisieren. Und erhalte damit folgende Darstellung: x plus eins Quadrat mal x plus zwei geteilt durch x plus eins Quadrat geteilt durch x minus eins .

Im Anschluss kann ich die beiden x plus eins Quadrate im Zähler und im Nenner kürzen und erhalte Limes von x gegen minus eins von x puls eins geteilt durch x minus zwei.

Jetzt kann ich mein x minus eins hier unten einsetzen und komme auf den Wert minus einhalb, was ja minus null Komma fünf entspricht. Das darf ich aber erst machen, nachdem ich meinen Term so ein bisschen geschönt habe. Hier oben darf ich das noch nicht machen, denn sonst folgt im Nenner sofort das x, das der Nenner null wird und das dürfen wir ja nicht. Das entspricht aber ganz genau der angenäherten Lösung und dementsprechend ist das hier eine ziemlich schöne Methode, wenn man das kann, aber die ist auch sehr kompliziert, weil man meistens nicht so genau sieht, was man ausklammern kann in den einzelnen Termen.

Es gibt natürlich noch eine dritte Möglichkeit. Man verwendet die Regel von L?Hospital. Und zwar braucht man dafür im Zähler und im Nenner eine Funktion, so wie wir sie grade hatten.

Ich erkläre das mal kurz im Detail anhand der Theorien.

Also wir überlegen uns, dass der Zähler einer Funktion entspricht, das heißt, das wenn wir jetzt f von x und der Nenner entspricht ebenfalls einer Funktion g von x.

Wenn ich jetzt für f von x und g von x jeweils den Grenzwert einsetzte, indem Fall das x null und einen Term rausbekomme, der durch null lautet oder unendlich durch unendlich ? das kann beides sein ? dann darf ich die Regel von L?Hospital anwenden und Zähler und Nenner separat ableiten und nochmal die Grenzwertbildung vornehmen.

Worauf man dann kommt, zeige ich euch am bestem mal anhand eines Beispiels. Denn das ist ein bisschen schwieriger zu verstehen. Also ich habe wieder die Funktion von grade eben.

Jetzt setzte ich in den Zähler und in den Nenner jeweils die minus eins ein und erhalte meinen Term: null geteilt durch null.

Jetzt darf ich die Regel von L?Hospitalanwenden und sagen, ok, wenn jetzt der Grenzwert hier null durch null ist in meiner Originalfunktion,dann existiert der gleiche Grenzwert auch in der Ableitung.

Ich leite also die Zählerfunktion ab und erhalte drei x Quadrat plus acht x plus fünf und die Nennerfunktion ebenfalls und erhalte drei x Quadrat plus zwei x minus eins. Wenn ich nun das gleich durchziehe und minus eins jeweils für x im Zähler und im Nenner einsetze, erhalte ich null geteilt durch null. Das ist natürlich wieder die Bedingung für die Regel von L?Hospital. Also muss ich die nochmal anwenden.

Ich leite also Zähler und Nennerfunktion ein weiteres Mal ab und im zweiten Fall, also bei der zweiten Anwendung, kann ich dann den Nenner unten minus eins einsetzen und erhalte wieder meine Lösung minus einhalb.

Das hier ist mit Abstand die eleganteste Lösung von allen, denn sie erfordert wenig Rechnen und man kommt an sich immer ziemlich gut auf eine Lösung. Einzige Voraussetzung ist halt, dass man auf diesen null- durch- null oder unendlich- durch- unendlich- Term kommt. Genau, an dieser Stelle kann man den Grenzwert wieder direkt einsetzen. Darauf muss man halt immer irgendwie hinaus, dass man im Nenner durch das Einsetzen des Grenzwertes keine Null erzeugt.

Das war es auch schon. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Liveforums geholfen haben und dass ich dir all deine Fragen zum Thema Grenzwerte und Funktionsscharen perfekt beantworten konnte.

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