Ableitungsregeln – online lernen

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Differentiale — Ableitungsregeln

Hier erfährst du wichtige Fakten zum Thema – Ableitungsregeln.
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Strukturierter Text des Videos

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2 ? Differentiale - Ableitungsregel

00:00 Einleitung: Ableitungsregeln

00:12 Einführung

01:40 Steigung bestimmen

02:47 Kettenregel Einführung

05:25 Kettenregel Formel

05:55 Kettenregel Beispiel 1

07:10 Kettenregel Beispiel 2

08:46 Produktregel Einführung

09:50 Produktregel Formel

10:32 Produktregel Beispiel 1

12:05 Produktregel Beispiel 2

13:48 Quotientenregel Einführung

14:37 Quotientenregel Formel

15:17 Quotientenregel Beispiel 1

16:46 Quotientenregel Beispiel 2

18:55 Schlussworte



Hallo und Herzlich Willkommen zu den Lernvideos der Schülerhilfe. Mein Name ist Markus und ich zeige dir hier die Verwendung der verschiedenen Ableitungsregeln.

Wenn wir von Ableitungsregeln sprechen, stellt sich zuerst natürlich die Frage, was denn eine Ableitung eigentlich ist. Eine Ableitung beschreibt die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle. Schauen wir uns das mal an einem Beispiel genauer an. Wir haben hier eine Funktion, die einer Parabel ähnelt, und einen Radfahrer, der sich auf ihr befindet. Wie wir hier sehen, fährt der Radfahrer bergauf. Wenn man nun wissen möchte, wie steil die Stelle ist, an der sich der Radfahrer gerade befindet, muss man sich eine Tangente, also eine Art Hilfsgerade, an dieser Stelle vorstellen. Mithilfe dieser Tangente kann man nun durch ein einfaches Steigungsdreieck die Steigung ablesen. Ihr kennt das vielleicht auch aus dem Straßenverkehr, wenn an manchen Auffahrten so ein Verkehrsschild zu sehen ist. Es beschreibt nämlich, ganz ähnlich wie ein Steigungsdreieck, die zurückgelegte Erhöhung nach hundert Metern. Zwölf Prozent heißt hierbei, dass man nach hundert Metern in waagrechter Richtung zwölf Meter in senkrechter Richtung zurücklegt. Funktioniert also ganz genauso wie der x und der y Abstand bei der Steigung einer Geraden. Da unterschiedliche Punkte auf einer Parabel auch unterschiedliche Tangenten haben, wird auch klar, dass an bestimmten Stellen die Steigung jedes Mal anders ist. Will man die Steigung an einem bestimmten Punkt einer Funktion ganz genau herausfinden, muss man das natürlich errechnen. Hierbei nutzen wir dann genau diese Eigenschaft einer Ableitung aus.

Nehmen wir mal als Beispiel dieser Funktion hier und gesucht ist die Steigung an der Stelle x gleich zwei. Dann geht man Schritt für Schritt so vor. Zuerst bildet man die erste Ableitung der Funktion. Das wäre dann bei x hoch zwei, zwei x, bei drei x, drei und die minus eins fällt weg. Nun setzt man anstatt x die bestimmte Stelle ein, also für x zwei. Dann ist zweimal zwei vier und vier plus drei ist sieben. Somit wissen wir, dass die Steigung der Funktion an der Stelle x gleich zwei sieben beträgt. Jetzt fragt ihr euch vielleicht: ?Wozu brauch man denn dann Ableitungsregeln überhaupt wenn das ganze so einfach geht??

Es ist so. Manche Funktionen sind viel komplexer als die, die wir eben gesehen haben. Und je nach Art der Zusammensetzung einer Funktion muss man eben bestimmte Regeln beachten. Fangen wir mal mit der sogenannten Kettenregel an.

Die Kettenregel braucht man immer dann, wenn zwei oder mehrere Funktionen miteinander verknüpft sind. Man kann sich das Ganze auch so vorstellen, dass eine Funktion innerhalb einer anderen auftaucht. Ich finde hier die Vorstellung ganz passend von diesen Geschenken, die jeder schon mal bekommen hat. Man macht eine Schachtel auf und darin befindet sich kein Geschenk, sondern wieder eine Schachtel. Dann macht man diese auf und darin ist dann vielleicht, wenn man Glück hat, das Geschenk. Ansonsten erwartet einen wieder eine Schachtel usw. So ist das auch bei manchen Funktionen. Nehmen wir mal zum Beispiel diese Funktion hier. F von x ist drei x hoch fünf. Dann könnte man das x auch ersetzen durch Klammer auf x Quadrat minus vier Klammer zu. Das ist dann eine andere, neue Funktion, aber viel komplizierter natürlich. Die einfache Funktion hier links können wir wie gewohnt Ableiten. Aber die Funktion rechts, die ist nicht so einfach. Hierbei müssten wir die Kettenregel anwenden, da sich, wie eben beschrieben, eine Funktion in einer anderen Funktion befindet. Noch ein Beispiel. Schauen wir uns mal diese Funktion hier an. F von x gleich fünf x hoch drei. Statt der drei könnte man auch etwas viel Komplexeres vorfinden, zum Beispiel x Quadrat minus zwei x plus drei. Dann bekommen wir eine neue, sehr kompliziert aussehende Funktion und auch hier gilt wieder, links geht einfach wie gewohnt abzuleiten, rechts brauchen wir die Kettenregel. Schauen wir uns diese Funktion einmal genauer an.

Wir haben also die Funktion f von x gleich fünf x hoch x Quadrat minus zwei x plus drei. Hier sind zwei Funktionen miteinander verbunden worden. Man sieht hier sehr schön, dass es eine innere, und eine äußere Funktion gibt. Die Innere ist hier orange, die Äußere schwarz dargestellt. Das kommt daher, dass die innere Funktion quasi in die äußere Funktion eingesetzt wird, ganz ähnlich wie bei den Schachteln. Nehmen wir dafür mal das erste Beispiel, das wir hatten. Dann steckt die innere Funktion in einer äußeren Funktion. Die innere Funktion ist also x Quadrat minus vier, wobei die äußere Funktion drei x hoch fünf ist. Das x wird dann durch die obere Funktion ersetzt. Darum ist sie auch innen. Benutzt man nun die Kettenregel, so muss man Folgendes tun.

Hat man eine Funktion bestehend aus einer inneren und einer äußeren Funktion, so ist die Ableitung dieser Funktion die Ableitung der inneren Funktion mal die Ableitung der äußeren Funktion, wobei in der Ableitung der äußeren Funktion die ursprüngliche innere Funktion steckt. Das klingt erst mal kompliziert. Das Ganze merkt man sich aber ganz einfach mit der Faustregel: ?innere mal äußere Ableitung?. Machen wir das Ganze mal an einem Beispiel, dann versteht man es vielleicht etwas besser. Nehmen wir die Funktion dreimal Klammer auf x Quadrat minus vier Klammer zu hoch fünf. Dann ist das v von x gleich x Quadrat minus vier, nämlich die innere Funktion. Das u von x ist hierbei drei x hoch fünf, nämlich die äußere Funktion. Somit ist die äußere Ableitung fünf mal drei mal die Klammer hoch vier, also fünfzehn mal die Klammer hoch vier und die innere Ableitung ist einfach zwei x. Die Klammer steht hierbei für die innere Funktion, die unverändert in die äußere Ableitung eingesetzt wird. Nach der Faustregel ?innere mal äußere Ableitung? erhalten wir fünfzehn mal Klammer auf x Quadrat minus vier Klammer zu hoch vier, was die äußere Ableitung ist, in der die innere Funktion steckt, mal zwei x, also mal die innere Ableitung. Als Endergebnis der Ableitung erhält man somit dreißig x mal Klammer auf x Quadrat minus vier Klammer zu hoch vier und man ist fertig.

Schauen wir uns nun genau nach diesem Schema mal ein anderes Beispiel an. Hier haben wir die Funktion ein halb mal Klammer auf x Quadrat minus drei x plus eins Klammer zu hoch drei. Diese Funktion besteht aus dem Inneren der Klammer und dem, was um die Klammer drum herum ist. Also ist die innere Funktion v von x gleich x Quadrat minus drei x plus eins. Die äußere ist einfach ein halb mal die Klammer hoch drei. Leiten wir beide Teile der Funktion ab, haben wir v Strich von x mit zwei x minus drei und u Strich von x mit ein halb mal dreimal die Klammer hoch zwei. Eben ganz normales Ableiten, wie man es gewohnt ist, nur einmal mit einem x und einmal mit einem Platzhalter. Setzen wir das Ganze nach unserer neuen Faustregel zusammen erhalten wir: Innere mal äußere Ableitung, also drei halbe mal die Klammer hoch zwei, das ist hier wieder die äußere Ableitung, mal zwei x minus drei, also die innere Ableitung. Aufpassen. Zwei x minus drei muss hier natürlich in einer Klammer stehen. In der Klammer der äußeren Ableitung bleibt dann ganz unverändert die innere Funktion, wie wir sie auch hier oben in der Klammer stehen haben. Kommen wir nun zu einer neuen Ableitungsregel, die Produktregel.

Die Produktregel wird immer dann verwendet, wenn die Funktion auch wieder aus zwei Funktionen besteht, diese aber nicht ineinander verschachtelt sind, sondern miteinander multipliziert werden. Was heißt das? Ganz einfach. Haben wir eine Funktion vorliegen, die so aussieht, und ist im Teil vor dem Multiplikationszeichen eine Funktion, dann ist das die erste Funktion. Ist in dem Teil dahinter auch eine Funktion, ist das die zweite. Das in der Mitte zeigt uns, dass wir Mal rechnen, also haben wir hier ein Produkt. So kommt die Regel auch zu ihrem Namen. Die Funktion bzw. der erste Faktor wird wieder u von x genannt und ist hier drei x Quadrat. Den zweiten Faktor nennen wir v von x und der ist hier fünf x hoch drei minus zwei x. Nun machen wir mit diesen beiden Funktionen Folgendes.

Haben wir eine Funktion, die aus zwei Funktionen v und u besteht und die miteinander multipliziert werden, das sehen wir hier, dann ist die Ableitung dieser Funktionen gleich u Strich mal v plus v Strich mal u. Also die Ableitung der ersten mal die normale Funktion der zweiten plus die Ableitung der zweiten mal die normale Funktion der ersten. Im Prinzip also immer eine Funktion mal die Ableitung der anderen und das ganze umgekehrt dazu addiert. Hier dazu wieder ein kleines Beispiel:

Bei der Funktion von eben hatten wir schon die beiden Faktoren aufgestellt. Also ist u von x hier drei x Quadrat und v von x ist fünf x hoch drei minus zwei x. Nun bildet man die Ableitung der beiden Teilfunktionen, also u Strich von x ist zweimal drei x, also sechs x und v Strich von x ist dreimal fünf x Quadrat minus zwei, also fünfzehn x Quadrat minus zwei. Jetzt setzt man das Ganze in die Formel von vorhin ein. Die Ableitung ist also u Strich mal v plus v Strich mal u. Eingesetzt ergibt das dann sechs x mal Klammer auf fünf x hoch drei minus zwei x Klammer zu plus drei x Quadrat mal Klammer auf fünfzehn x Quadrat minus zwei Klammer zu.

Das wird dann vereinfacht bzw. ausmultipliziert. Hierbei bitte daran denken, dass man die sechs x und die drei x Quadrat mit beiden Zahlen in den Klammern Mal nehmen muss. Man erhält dann letztendlich für die Ableitung: dreißig x hoch vier minus zwölf x Quadrat plus fünfundvierzig x hoch vier minus sechs x Quadrat. Zusammengefasst also fünfundsiebzig x hoch vier minus achtzehn x Quadrat und wir sind fertig damit.

Hierzu nochmal ein etwas anderes Beispiel. Hier haben wir die Funktion ein halb x hoch drei minus fünf x plus drei in der Klammer mal e hoch x. Nun macht man sich zur Übersicht so etwas wie eine kleine Hilfstabelle. Zuerst einmal die beiden Teile u von x und v von x nebeneinander schreiben. Das ist hier ein halb x hoch drei minus fünf x plus drei und e hoch x. Und darunter einfach die jeweiligen Ableitungen, also u Strich von x mit drei halbe x Quadrat minus fünf und für das v Strich von x bleibt das e hoch x. Diese Tabelle hilft uns ganz gut, weil wir nun einfach über Kreuz rechnen und die beiden Teile zusammenaddieren. Also drei halbe x Quadrat minus fünf mal e hoch x plus ein halb x hoch drei minus fünf x plus drei mal e hoch x. Wenn möglich, klammert man nun die e-Funktion immer aus und erhält dann als Ableitung e hoch x mal drei halbe x Quadrat minus fünf plus ein halb x hoch drei minus fünf x plus drei, also den linken Teil und den rechten Teil. Jetzt fassen wir das noch zusammen, sortieren es ein wenig und erhalten dann e hoch x mal ein halb x hoch drei plus drei halbe x Quadrat minus fünf x minus zwei. Kommen wir nun zur letzten Regel. Die Quotientenregel.

Die Quotientenregel ist ähnlich wie die Produktregel. Allerdings wird hier nicht vorgegeben, wie man ein Produkt zweier Funktionen ableitet, sondern wie man bei einer Division zweier Funktionen vorgeht. Schauen wir mal das Beispiel hier an. F von x ist zweimal x geteilt durch x Quadrat minus vier. Zwei x ist also der Zähler, x Quadrat minus vier ist der Nenner. Nun können wir diese beiden Funktionen wie eben wieder aufteilen. Der Zähler ist u von x, der Nenner ist v von x. Wir haben also nicht mehr eine erste und eine zweite Funktion wie eben, sondern einen Zähler und einen Nenner. Die Regel ist aber sehr ähnlich wie eben:

Haben wir eine Funktion bestehend aus einem Zähler u und einem Nenner v, dann ist die Ableitung dieser Funktion gleich u Strich mal v minus v Strich mal u und das Ganze noch geteilt durch v Quadrat. Im Prinzip also genau wie eben bei der Produktregel, das Plus von eben wird zu Minus und das Quadrat des Nenners kommt noch hinzu. Hierzu schauen wir uns natürlich auch wieder ein Rechenbeispiel an.

Hier die Funktion von eben. Zwei x geteilt durch x Quadrat minus vier. Der Zähler ist dann hier die Funktion u von x mit zwei x und der Nenner ist die Funktion v von x und ist x Quadrat minus vier. Nun leiten wir die beiden Funktionen wieder ganz normal ab und erhalten einmal u Strich von x mit zwei und v Strich von x mit zwei x. Das Ganze wird dann in die Formel von eben eingesetzt. Hier nochmal die Formel: f Strich von x ist u Strich mal v minus v Strich mal u und das Ganze dann noch geteilt durch v Quadrat. Eingesetzt erhalten wir dann für f Strich von x gleich zweimal Klammer auf x Quadrat minus vier Klammer zu, also u Strich mal v und das dann minus zwei x mal zwei x, nämlich v Strich mal u. In den Nenner schreiben wir einfach unser v mit x Quadrat minus vier in einer Klammer und setzen diese ins Quadrat.

Jetzt wird das Ganze noch vereinfacht. Im Zähler wird die Klammer und der hintere Teil ausmultipliziert und dann werden die beiden Teile, die ein x Quadrat haben noch zusammengefasst. So kann man das dann als Ergebnis stehen lassen und fertig. Schauen wir uns noch ein letztes Beispiel an.

Hier haben wir die Funktion mit vier x Quadrat minus Null Komma zwei x plus drei im Zähler und x plus eins im Nenner. Jetzt machen wir uns wie vorhin bei der Produktregel eine Tabelle mit der wir dann einfach nur noch in die Formel einsetzen. U ist hier vier x Quadrat minus Null Komma zwei x plus drei und v ist der Nenner x plus eins. Das wird nebeneinander geschrieben und jeweils abgeleitet. U Strich ist dann zweimal vier x minus Null Komma zwei. Also acht x minus Null Komma zwei. V Strich von x ist eins. Jetzt wird das in die Formel ?u Strich mal v minus v Strich mal u geteilt durch v Quadrat? eingesetzt und wir bekommen f Strich von x ist Klammer auf acht x minus Null Komma zwei Klammer zu mal Klammer auf x plus eins Klammer zu minus Klammer auf vier x Quadrat minus Null Komma zwei x plus drei Klammer zu mal eins und das alles geteilt durch x plus eins in Klammern hoch zwei.

Jetzt wird nur noch vereinfacht und wir sind fertig mit der Ableitung. Also wieder die Klammern ausmultiplizieren. Dabei auf die Vorzeichen aufpassen und hinten bei der Minusklammer die Vorzeichen drehen, damit man die Klammer weglassen kann. Dann kommen wir auf das Ergebnis: acht x Quadrat plus acht x minus Null Komma zwei x minus Null Komma zwei minus vier x Quadrat plus Null Komma zwei x minus drei. Zum Schluss noch alle Teile, die die gleichen Variablen haben zusammen ziehen und aus acht x Quadrat minus vier x Quadrat wird vier x Quadrat, acht x minus Null Komma zwei x plus wieder Null Komma zwei x bleibt acht x und minus Null Komma zwei minus drei wird zu minus drei Komma zwei. Im Nenner dann die x plus eins zum Quadrat nicht vergessen und wir sind fertig.

Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit. Ich hoffe, dass dir die Inhalte unseres Live-Forums geholfen haben und ich dir all deine Fragen zum Thema ?Ableitungsregeln? perfekt beantworten konnte. Um deine Abi-Prüfungsvorbereitung im Fach Mathe zu intensivieren, empfehlen wir dir, unseren speziellen (neuen) Abi-Crashkurs Mathematik in der Schülerhilfe vor Ort, damit du bestens vorbereitet und mit sicherem Gefühl in deine Prüfung gehst.

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