Mathematik – Matrizen
Wenn du alles über Matrizen in der Mathematik lernen möchtest, bist du hier genau richtig. Steig hier direkt ins Thema ein!
Was sind Matrizen?
Du bist es aus Gleichungen oder mathematischen Folgen gewohnt, dass Zahlen in Mathe hintereinanderstehen:
3x+4y=12
Oder:
2,4,6,8...
In Matrizen sind die Elemente (meist Zahlen) anders angeordnet, nämlich sowohl in Zeilen als auch in Spalten. So sieht zum Beispiel eine Matrix mit drei Zeilen und zwei Spalten aus:
(201435)
Die Zeilen verlaufen von links nach rechts, die Spalten von oben nach unten.
Diese Matrix ist eine 3x2-Matrix (gesprochen: „drei Kreuz zwei Matrix“). Bei der Bezeichnung wird die Anzahl der Zeilen immer zuerst genannt, danach die Anzahl der Spalten.
Das hier ist also eine 2x3-Matrix:
(251230)
Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Elementen. Sie kann beliebig viele Zeilen und Spalten haben, wobei in der Bezeichnung immer zuerst die Zeile und dann die Spalte genannt wird.
Eine allgemeine Schreibweise für Matrizen gibt es auch. Darin sind dann keine konkreten Zahlen, sondern Platzhalter enthalten. Die Zeilen werden mit m benannt und die Spalten mit n.
(a11⋯a1n⋮⋱⋮am1⋯amn)
Wie funktioniert die Bezeichnung der Matrix?
- Der erste Eintrag steht in der ersten Zeile und in der ersten Spalte und heißt deshalb a11.
- Der Eintrag rechts davon (in unserem Beispiel nicht zu sehen) würde a12 heißen, denn er steht in der ersten Zeile, aber in der zweiten Spalte.
- Der letzte Eintrag in dieser Zeile heißt a1n – erste Zeile, n-te Spalte.
- Der Eintrag am1 (unten links) steht in der m-ten Zeile und in der ersten Spalte.
- Der Eintrag amn (unten rechts) steht in der m-ten Zeile und in der n-ten Spalte.
Wenn du die Anzahl der Zeilen und Spalten kennst, kannst du natürlich direkt die entsprechenden Zahlen dafür einsetzen. Zum Beispiel steht a34 in der dritten Zeile und in der vierten Spalte. So kannst du jedes Element genau benennen.
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Wozu sind Matrizen gut?
Vor allem sind Matrizen von Bedeutung, wenn du mit linearen Gleichungssystemen (LGS) arbeitest. Du kannst mit einer Matrix die Koeffizienten (die Zahlen vor den Variablen) übersichtlicher darstellen und daher leichter damit rechnen.
Schauen wir uns ein Beispiel an.
Du hast dieses lineare Gleichungssystem gegeben:
I.4x+2y−z=12II.x+3y+2z=10III.−x+y+5z=18
Du kannst jetzt alle Koeffizienten als Matrix schreiben. Achtung: Wenn vor einer Variablen kein Koeffizient steht, dann ist der Koeffizient 1. Steht vor der Variablen nur ein negatives Vorzeichen, dann ist der Koeffizient -1. So sieht die Matrix aus:
(42−1132−115)⋅(xyz)=(121018)
Rechts neben der Matrix siehst du den Variablenvektor. Er gibt einfach nur an, welche Variablen dein Gleichungssystem enthält.
Rechts vom Gleichheitszeichen findest du den Lösungsvektor. Wie der Name verrät, enthält er die Lösungen aus dem Gleichungssystem.
Du kannst sogar den Variablenvektor noch weglassen (und dir die Variablen stattdessen merken). Dann bekommst du diese vereinfachte Schreibweise für Matrizen:
(42−11213210−11518)
Übrigens: Du kannst nicht nur ganze Zahlen in eine Matrix schreiben, sondern ebenso Dezimalzahlen, Konstanten wie π oder andere reelle Zahlen wie √2.
Als Nächstes schauen wir uns an, wie du mit Matrizen rechnen kannst.
Matrizen addieren und subtrahieren
Du kannst nur Matrizen addieren, die exakt dieselbe Anzahl Zeilen und Spalten haben.
Das Gleiche gilt für das Subtrahieren von Matrizen.
Wenn du Aufgaben zu Matrizen löst und eine Addition durchführen sollst, prüfe also immer zuerst, ob beide Matrizen gleich groß sind.
(210425)+(−275301)=?
Diese beiden Matrizen können wir addieren. Wir addieren jetzt schrittweise immer die beiden Einträge, die in den Matrizen die gleiche Position haben:
(210425)+(−275301)=(2+(−2)?????)
(210425)+(−275301)=(2+(−2)1+7????)
(210425)+(−275301)=(2+(−2)1+70+5???)
(210425)+(−275301)=(2+(−2)1+70+54+3??)
(210425)+(−275301)=(2+(−2)1+70+54+32+05+1)
Jetzt können wir die Ergebnisse ausrechnen:
(2+(−2)1+70+54+32+05+1)=(085726)
Gar nicht schwierig, oder? Das war schon die Addition von Matrizen.
Das Subtrahieren von Matrizen funktioniert genauso:
(210425)−(−275301)=(2−(−2)1−70−54−32−05−1)=(4−6−5124)
Zwei Matrizen multiplizieren
Du darfst zwei Matrizen nur multiplizieren, wenn die erste Matrix genauso viele Spalten hat, wie die zweite Matrix Zeilen hat.
Das Produkt der beiden Matrizen wird dann so viele Zeilen haben wie die erste Matrix und so viele Spalten wie die zweite Matrix.
Wir dürfen also diese beiden Matrizen malnehmen:
(210425)⋅(341201)=(????)
Hier erwarten wir als Ergebnis eine 2x2-Matrix, denn die erste Matrix hat zwei Zeilen und die zweite Matrix hat zwei Spalten.
Tipp: Du kannst aber auch zwei 2x2- oder 3x3-Matrizen multiplizieren, denn die Zeilen- und Spaltenanzahlen stimmen ja überein.
Und wie multipliziert man nun die Matrizen?
Du multiplizierst immer Zeile mal Spalte:
- Multiplizierte die erste Zeile der ersten Matrix mit der ersten Spalte der zweiten Matrix und addiere die Ergebnisse.
- Dann nimmst du die erste Zeile der ersten Matrix mit der zweiten Spalte der zweiten Matrix mal und addierst die Ergebnisse.
- Fahre so fort, bis du alle Spalten der zweiten Matrix durchgegangen bist.
- Dann beginnst du den Prozess von vorn, diesmal aber mit der zweiten Zeile der ersten Matrix.
- Das machst du so lange, bis du alle Zeilen mit allen Spalten malgenommen hast.
An einem Beispiel wird das deutlicher.
(210425)⋅(341201)=(????)
Wir nehmen die erste Zeile mit der ersten Spalte mal und addieren die Ergebnisse:
(210425)⋅(341201)=(2⋅3+1⋅1+0⋅0???)=(6+1+0???)=(7???)
Das wiederholen wir für die erste Zeile und die zweite Spalte:
(210425)⋅(341201)=(72⋅4+1⋅2+0⋅1??)=(78+2+0??)=(710??)
Und die zweite Zeile multipliziert mit der ersten Spalte:
(210425)⋅(341201)=(7104⋅3+2⋅1+5⋅0?)=(71012+2+0?)=(71014?)
Und schließlich die zweite Zeile multipliziert mit der zweiten Spalte:
(210425)⋅(341201)=(710144⋅4+2⋅2+5⋅1)=(7101416+4+5)=(7101425)
Und so funktioniert die Multiplikation zweier Matrizen!
Tipp: Wenn du mehr als zwei Matrizen multiplizieren sollst, kannst du zuerst zwei Matrizen malnehmen und dann das Ergebnis mit weiteren Matrizen verrechnen.
Potenzieren von Matrizen
Du weißt jetzt schon alles, was du wissen musst, um Matrizen zu potenzieren. Denn wenn du beispielsweise Matrizen quadrieren sollst, dann bedeutet das ja nichts anderes, als dass du Matrix mal Matrix rechnest.
Bei einer höheren Potenz – Matrix hoch drei, vier oder mehr – musst du entsprechend oft gleiche Matrizen miteinander multiplizieren.
Aber Vorsicht: Du kennst ja die Bedingung, dass die erste Matrix genauso viele Spalten haben muss, wie die zweite Matrix Zeilen hat. Da du aber eigentlich nur eine Matrix zur Verfügung hast (die du mit sich selbst multiplizierst), klappt das nur, wenn du eine quadratische Matrix (z. B. 2x2 oder 3x3) potenzierst.
Matrizen mit Zahlen multiplizieren
Eine Matrix mit einer einzelnen Zahl zu multiplizieren, ist viel einfacher. Schauen wir uns eine typische Aufgabe dazu an:
(2−11432)⋅r=?
Die Variable r steht hier für eine beliebige Zahl. Machen wir daraus ein konkretes Beispiel:
(2−11442)⋅2=?
Du musst jetzt einfach nur jeden Eintrag der Matrix mit der Zahl 2 malnehmen. Das geht so:
(2−11432)⋅2=(2⋅2−1⋅21⋅24⋅23⋅22⋅2)=(4−22864)
Schon fertig!
Matrizen mit einem Vektor multiplizieren
Vektoren und Matrizen lassen sich ebenfalls multiplizieren – tatsächlich ist ein Vektor nichts anderes als eine Matrix, die eben nur eine einzige Spalte hat. Deshalb gilt hier auch dieselbe Regel wie beim Multiplizieren zweier Matrizen:
Du kannst Matrizen nur mit Vektoren multiplizieren, die genauso viele Einträge (Zeilen) haben, wie die Matrix Spalten hat.
Die resultierende Matrix hat dann so viele Zeilen wie die ursprüngliche Matrix und so viele Spalten wie der Vektor (also eine).
Beispiel:
(104−321)⋅(1−25)=?
Wir gehen vor wie beim Multiplizieren von Matrizen: Du multiplizierst zuerst die erste Zeile der Matrix mit allen Einträgen (= der ersten Spalte) des Vektors und wiederholst das danach für die zweite Zeile der Matrix.
So sieht das aus:
(104−321)⋅(1−25)=(1⋅1+0⋅(−2)+4⋅5−3⋅1+2⋅(−2)+1⋅5)=(1+0+20−3−4+5)=(21−2)
Division bei Matrizen
Es ist nicht möglich, Matrizen zu dividieren – zumindest nicht so, wie du es von den Grundrechenarten kennst.
Stattdessen machst du etwas Ähnliches, wie den „Kehrwert“ einer Matrix zu bilden – das ist die inverse Matrix. Du multiplizierst dann die ursprüngliche Matrix mit der Inversen. Das kommt der Division von Matrizen am nächsten.
Besondere Matrizen
Wenn du Übungen zu Matrizen bearbeitest, wirst du manchmal auf Sonderfälle stoßen. Beispiele für solche Matrizen zeigen wir dir hier.
Die quadratische Matrix
Quadratische Matrizen haben genauso viele Zeilen wie Spalten. Sie sind also quadratisch – deshalb kannst du sie auch, wie oben erwähnt, potenzieren.
Typische quadratische Matrizen sind die 2x2- und die 3x3-Matrix, aber natürlich gibt es sie auch noch viel größer.
(042−1)
(21−3827−501)
Nullmatrizen
Eine Nullmatrix zeichnet sich dadurch aus, dass alle ihre Einträge gleich null sind. Dabei ist die Größe der Matrix egal.
(000000)
Die Diagonalmatrix
Eine Diagonalmatrix hat die Besonderheit, dass nur auf ihrer Hauptdiagonale Zahlen anders als null liegen.
Die Hauptdiagonale einer Matrix besteht aus den Einträgen auf der Diagonalen, die von links oben nach rechts unten geht.
Eine Hauptdiagonale gibt es nur bei quadratischen Matrizen.
So sieht eine Diagonalmatrix aus. Du siehst, dass außerhalb der Hauptdiagonalen alle Einträge gleich null sind.
(200020001)
Die Einheitsmatrix
Auch bei der Einheitsmatrix brauchst du die Hauptdiagonale. Die Regeln für diese Matrizen lauten:
- Auf der Hauptdiagonale liegen nur Einsen.
- Alle anderen Einträge sind null.
So sieht eine 3x3-Einheitsmatrix aus:
(100010001)
Dreiecksmatrizen
Bei manchen Übungsaufgaben zu Matrizen sind Dreiecksmatrizen nützlich (zum Beispiel, wenn du den Gauß-Algorithmus anwenden willst).
- Bei der unteren Dreiecksmatrix liegen oberhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen.
- Bei der oberen Dreiecksmatrix liegen unterhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen.
Untere Dreiecksmatrix:
(−100230171)
Obere Dreiecksmatrix:
(−127031001)
Die Determinante bei Matrizen
Für quadratische Matrizen kannst du die sogenannte Determinante berechnen. Dazu brauchst du die Hauptdiagonale (von links oben bis rechts unten) und die Nebendiagonale (von links unten bis rechts oben).
- Du bildest das Produkt der Hauptdiagonalen.
- Dann ziehst du das Produkt der Nebendiagonalen davon ab.
Wie das genau geht, erklären wir dir auf unserer Seite zur Determinante.
Matrizen transponieren
Von „Transponieren“ spricht man bei Matrizen in der Mathematik, wenn du die Zeilen und Spalten einer Matrix vertauschst. Die erste Zeile deiner ursprünglichen Matrix wird dann die erste Spalte deiner transponierten Matrix.
So sieht das praktisch aus:
(120−254)(ursprünglicheMatrix)
(1−22504)(transponierteMatrix)
Wenn die ursprüngliche und die transponierte Matrix genau gleich aussehen, dann heißt deine Matrix symmetrisch.
Matrizen invertieren
Wenn du eine Matrix mit ihrer inversen Matrix multiplizierst, bekommst du als Ergebnis die Einheitsmatrix.
Für die Invertierbarkeit von Matrizen gelten ein paar Voraussetzungen:
- Die Matrix muss quadratisch sein.
- Die Determinante darf nicht gleich null sein.
Und so funktioniert die Invertierung von Matrizen:
- Zuerst erweiterst du deine ursprüngliche Matrix um die Einheitsmatrix. Das erreichst du, indem du einfach die Einheitsmatrix rechts daneben schreibst (innerhalb der Klammer).
- Durch Umformungen versuchst du jetzt, den Teil, der deine ursprüngliche Matrix ist, in die Einheitsmatrix zu verwandeln. Dabei wandelt sich der rechte Teil natürlich mit. Am besten nutzt du für diese Umformungen den Gauß-Algorithmus.
- Wenn du auf der linken Seite eine Einheitsmatrix erzeugt hast, kannst du auf der rechten Seite die inverse Matrix direkt ablesen.
Du brauchst inverse Matrizen zum Beispiel, um eine Art „Division“ von Matrizen durchzuführen.
Zusammenfassung: einfache Erklärung von Matrizen
- Matrizen sind Anordnungen von Elementen (meist Zahlen) in Rechteckform. Die Elemente werden in Zeilen und Spalten angeordnet, wobei bei der Bezeichnung die Zeile immer zuerst genannt wird.
- Du kannst eine Matrix verwenden, um ein lineares Gleichungssystem übersichtlicher darzustellen: Die Zahlen in der Matrix entsprechen den Koeffizienten im Gleichungssystem.
- Du kannst Matrizen addieren und subtrahieren, wenn sie die gleiche Größe haben – also die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten.
- Du kannst Matrizen auch multiplizieren, aber nur, wenn die erste Matrix genauso viele Spalten hat, wie die zweite Matrix Zeilen hat. Eine Division als solche gibt es nicht. Du kannst aber eine Matrix mit ihrer inversen Matrix malnehmen, um ein ähnliches Ergebnis zu erreichen.
- Besondere Arten von Matrizen sind zum Beispiel Nullmatrizen, Diagonalmatrizen, Dreiecksmatrizen und die Einheitsmatrix.
Teste dein Wissen: Aufgaben mit Lösungen zu Matrizen
Was ist eine Matrix?