Mathematik – Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum ist ziemlich spannend – vor allem deshalb, weil wir es uns so schwer vorstellen können. Aber nach dem Lesen dieser Seite wirst du wissen, was exponentielles Wachstum ist, wie du es berechnen kannst und wie du damit Geld verdienen kannst. 

Exponentielles Wachstum bedeutet, dass eine Größe oder Menge sich in einem bestimmten Intervall (das ist oft ein Zeitraum) immer um denselben Faktor vervielfacht. So lautet die Definition für exponentielles Wachstum, doch das klingt vielleicht etwas abstrakt für dich. Hier ein paar Beispiele zum besseren Verständnis:

• Wenn du für Geld auf deinem Konto (gleichbleibende) Zinsen bekommst, vermehrt sich dein Geld exponentiell. Man sagt auch exponentielle Zunahme. 
• Wenn sich ein Virus ausbreitet und sich die Zahl der infizierten Menschen jeden Tag verdreifacht, ist das ein Beispiel für exponentielles Wachstum.
• Wenn ein radioaktiver Stoff zerfällt, ist das exponentieller Zerfall – exponentielles Wachstum mit einer Wachstumsrate unter 100 % (mehr dazu unten). Man sagt auch exponentielle Abnahme. 

Es gibt viele Anwendungen mit exponentiellem Wachstum. Eine besonders schöne Geschichte, die eine exponentielle Zunahme zeigt, ist die Legende vom Erfinder des Schachspiels. 

Eine Legende besagt, dass ein berühmter König den Erfinder des Schachspiels zu sich kommen ließ, um ihn zu belohnen. Der Erfinder durfte sich seine Belohnung selbst aussuchen und sagte:

„Ich werde auf das erste Feld eines Schachbretts ein Reiskorn legen. Du sollst mir für jedes Feld die Menge verdoppeln, also 2 Reiskörner auf das zweite Feld legen, 4 Reiskörner auf das dritte Feld, 8 Reiskörner auf das vierte und so weiter. Damit bin ich zufrieden.”

Der König lachte nur – und unterschätzte vollkommen, wie viel Reis bis zum 64. Feld zusammenkommen würde. Wir ersparen dir die Rechnung und verraten: Es sind
18.446.744.073.709.551.615 
Reiskörner.

Das sind in Worten 18 Trillionen 446 Billiarden 744 Billionen 73 Milliarden 709 Millionen 551 Tausend 615 Reiskörner – ungefähr 400-mal so viel Reis, wie in einem Jahr auf der ganzen Welt produziert wird.

So viel hast du nicht geschätzt, oder? Das liegt daran, dass wir uns exponentielle Wachstumsprozesse nur sehr schwer vorstellen können. Gut, dass wir sie stattdessen berechnen können!

Hier noch mal ein paar Beispiele, mit denen exponentielles Wachstum einfach erklärt werden kann:

• Du faltest ein Blatt Papier. Mit jeder Faltung (das ist der „Zeitabschnitt“, von dem wir oben gesprochen haben) wird das Papier doppelt so dick. Du kannst es daher auch nicht sehr oft falten. Der Wachstumsfaktor ist hier 2: Die Dicke verdoppelt sich.
• Exponentielles Wachstum ist in der Biologie sehr wichtig: Hier kannst du zum Beispiel berechnen, wie sich eine Bakterienkultur entwickelt. Wenn sich die Menge der Bakterien jeden Tag verfünffacht, hast du einen Wachstumsfaktor von 5. Der Zeitabschnitt ist dann ein Tag.

Diese Beispiele helfen dir, die Fachbegriffe besser zu verstehen, die wir brauchen, um exponentielles Wachstum zu berechnen. Schauen wir uns diese jetzt an:

1. Zeitabschnitt (Intervall)
2. Wachstumsfaktor
3. Anfangswert
4. Population

1. Zeitabschnitt beim exponentiellen Wachstum (Intervall)

Die Formel für exponentielles Wachstum enthält einen Platzhalter für den Zeitabschnitt, auch Intervall genannt. Er heißt meist x oder auch t. Wenn du die exponentielle Entwicklung von Bakterien pro Tag beobachtest, ist dein Zeitabschnitt ein Tag. Zinsen betrachtest du meist eher monatlich. Der Zeitabschnitt muss aber nicht unbedingt eine Zeit sein. Beim Beispiel mit den Reiskörnern ist unser Zeitabschnitt ein Schachfeld – beim Falten des Papiers immer eine Faltung.

2. Wachstumsfaktor

Der Wachstumsfaktor zeigt dir, wie groß das exponentielle Wachstum ist. Verdoppelt sich die Anzahl von Bakterien oder die Papierdicke, ist dein Wachstumsfaktor 2 (das entspricht 200 %). Wenn sich etwas verfünffacht, ist er 5 (gleich 500 %). 

3. Anfangswert

In vielen Aufgaben zum exponentiellen Wachstum ist der Anfangswert 1: Du hast ein Reiskorn auf dem Schachbrett oder eine Lage Papier vor dem ersten Falten. Du kannst dir aber natürlich auch anschauen, was 2.000 Bakterien in einer Petrischale zu treiben – dann hast du einen Anfangswert von 2.000. Hätte der Erfinder des Schachspiels zwei Reiskörner auf das erste Feld gelegt, wäre der Anfangswert 2 gewesen – und die Zahl am Ende noch viel größer.

4. Population

Die Population ist das, was du beobachtest: Sind es Bakterien, Papierlagen oder Reiskörner? Auch wenn wir den Begriff „Population“ meist in Bezug auf die Bevölkerung kennen, müssen es also keine Menschen (oder auch nur Lebewesen) sein.

Exponentieller Zerfall oder exponentielle Abnahme bedeutet, dass etwas nicht mehr, sondern weniger wird, sich aber trotzdem exponentiell verhält. Wenn Bakterien sich nicht vermehren, sondern im gleichen Zeitraum immer wieder die Hälfte stirbt, dann handelt es sich um exponentiellen Zerfall. 

Wichtig: Der Wachstumsfaktor ist beim exponentiellen Zerfall kleiner als 1 (1 = 100 %). Er heißt auch Abnahmefaktor. Wenn sich etwas halbiert, liegt er zum Beispiel bei 0,5 (also 50 %). Nehmen wir an, du hast zu Beginn 2.000 Bakterien und nach einem Tag nur noch die Hälfte, also 1.000. Jeden Tag werden es weniger: 

• 2.000
• 1.000
• 500
• 250
• 125

So verhalten sich exponentielles Wachstum und Abnahme entgegengesetzt: Beim exponentiellen Wachstum hast du erst eine langsame Zunahme, die dann plötzlich „explodiert“, beim exponentiellen Zerfall nimmt die Menge erst sehr stark ab und dann immer weniger. Der Wachstumsfaktor bzw. Abnahmefaktor bleibt aber immer gleich. Exponentieller Zerfall ist besonders bei der Arbeit mit radioaktiven Stoffen wichtig. 

Die gute Nachricht: Exponentielles Wachstum und Zerfall unterscheiden sich in der Berechnung bis auf den Wachstumsfaktor nicht.

Für exponentielles Wachstum in Mathematik brauchst du Exponentialfunktionen. So sieht sie in allgemeiner Form aus:

f(x)=a⋅bx$f(x)=a\cdot b^x$

Die Platzhalter kennst du schon:

• a ist der Anfangswert (Wie viele Bakterien gibt es zu Beginn?).
• b ist der Wachstumsfaktor (Verdopplung: Wachstumsfaktor 2).
• x im Exponenten ist dein Zeitabschnitt (Tage, Papierfaltungen, Schachfelder).

Statt f(x)$f(x)$ schreibt man häufig auch B(x)$B(x)$. Dabei steht das große B für „Population“. Oft wirst du auch statt x den Buchstaben t sehen. Das liegt daran, dass t oft als Abkürzung für die Zeit genutzt wird. 

Es gibt also verschiedene Schreibweisen für die exponentielle Entwicklung einer Population: 

f(x)=a⋅bx$f(x)=a\cdot b^x$

B(t)=a⋅bt$B(t)=a\cdot b^t$

Beide bedeuten aber exakt dasselbe. 

Kleiner Exkurs: die e-Funktion

Die e-Funktion wird manchmal einfach „Exponentialfunktion“ genannt. Das stimmt auch, denn die e-Funktion ist eine Exponentialfunktion. Es handelt sich aber um einen Sonderfall, daher wird sie auch „natürliche Exponentialfunktion“ genannt. Hier ist der Wachstumsfaktor (die Basis) die Eulersche Zahl e (ungefähr 2,71828). 

Es gibt aber noch viele weitere Exponentialfunktionen. Die e-Funktion ist also nicht die einzige. Du brauchst sie besonders häufig in Physik im Zusammenhang mit Differentialgleichungen.

Sobald du die Funktion des Wachstums kennst, das du berechnen sollst, kannst du mithilfe der Exponentialrechnung verschiedene Berechnungen dazu anstellen.

Die Herausforderung liegt meist darin, die exponentielle Wachstumsformel zu finden. Deshalb schauen wir uns dazu jetzt ein paar Beispiele an. 

Beispiel 1: Formeln für exponentielles Wachstum – Wachstumsfaktor bekannt

Du hast 100 € und deine Eltern bieten dir an, dir pro Monat 5 % Zinsen zu geben, wenn du das Geld nicht ausgibst. Du möchtest wissen, ob sich das für dich lohnt, und deshalb die Funktionsgleichung für die Rechnung dazu aufstellen. 

Erinnere dich an die allgemeine Formel für Exponentialfunktionen:

f(x)=a⋅bx$f(x)=a\cdot b^x$

Den Anfangswert a kennst du bereits: Du hast 100 €, also a=100.

Den Wachstumsfaktor b findest du so heraus: Wenn deine 100 € jeden Monat immer wieder 100 € ergeben würden, würde die Geldmenge weder abnehmen noch zunehmen – die Wachstumsrate wäre dann 100 % (= 1). Du bekommst aber 5 % Zinsen, hast also insgesamt 105 %. Das entspricht als Dezimalzahl einer exponentiellen Wachstumsrate von 1,05. Jetzt kannst du die exponentielle Funktion aufstellen: 

f(x)=100⋅1,05x$f(x)=100\cdot 1,{05}^x$

Für x setzt du jetzt den Zeitabschnitt ein. Da du die Zinsen einmal im Monat bekommst, rechnest du also mit Monaten. Zu Beginn ist x=0, denn es ist noch kein Monat vergangen. Du kannst jetzt mit Exponentialfunktion und Wachstumsfaktor ausrechnen, wie viel Geld du zum Beispiel nach 12 Monaten haben wirst. Dafür setzt du für x=12 ein.

f(12)=100⋅1,0512$f(12)=100\cdot 1,{05}^{12}$

Nimm am besten den Taschenrechner! Du erhältst:

f(x)=100⋅1,05x≈179,59€$f(x)=100\cdot 1,{05}^x\approx 179,59€$

Nicht schlecht für ein Jahr, oder?

Beispiel 2: Formeln für exponentielles Wachstum – Wachstumsfaktor berechnen

Oft musst du in Mathe exponentielles Wachstum berechnen, ohne dass du den Wachstumsfaktor kennst. Die Aufgabe lautet dann vielleicht so:

Du hast eine Bakterienkultur mit 300 Bakterien. Nach 5 Stunden hat sich die Anzahl verdoppelt. Berechne den Wachstumsfaktor und stelle die Gleichung für exponentielles Wachstum auf.

Den Anfangswert kennen wir bereits: Zu Beginn der Beobachtung gibt es 300 Bakterien. Du weißt zwar, dass die Bakterien sich verdoppeln, allerdings erst nach 5 Stunden. Wir wollen den Wachstumsfaktor pro Stunde herausfinden, damit wir sinnvoll damit rechnen können. Was wir wissen: Zum Zeitpunkt x=0, also ganz zu Anfang, gibt es 300 Bakterien, und nach 5 Stunden (x=5) sind es 600. Daher können wir schreiben:

f(x)=300⋅bx$f(x)=300\cdot b^x$

f(5)=300⋅b5=600$f(5)=300\cdot b^5=600$

Wir können jetzt die zweite Gleichung nach b auflösen:

300⋅b5=600|÷300$300\cdot b^5=600|÷300$

b5=2$b^5=2$

Wir wenden auf beiden Seite die ln-Funktion an:

lnb5=ln(2)$\ln b^5=\ln (2)$

Jetzt brauchen wir die Rechenregel ln(ax)=a⋅ln(x)$\ln (a^x)=a\cdot ln(x)$, um aufzulösen: 

5⋅ln(b)=ln(2)|÷5$5\cdot \ln (b)=\ln (2)|÷5$

ln(b)=ln(2)5$\ln (b)=\frac{\ln (2)}{5}$

Jetzt wenden wir die e-Funktion an und erhalten endlich unseren Wachstumsfaktor:

b=e(ln(2)5$b=e(\frac{\ln (2)}{5}$

Das rechnen wir einfach mit dem Taschenrechner aus:

b≈1,15$b\approx 1,15$

Da wir jetzt den Wachstumsfaktor kennen, können wir die Gleichung für exponentielles Wachstum aufstellen: 

f(x)=300⋅1,15x$f(x)=300\cdot 1,{15}^x$

Fertig! 

Beispiel 3: rekursive Darstellung von exponentiellem Wachstum

Es gibt unterschiedliche Darstellungsformen für exponentielles Wachstum. Bisher hast du die explizite Darstellung kennengelernt. Jetzt zeigen wir dir noch die rekursive Darstellung von exponentiellem Wachstum. „Rekursiv“ bedeutet, dass man zu etwas zurückkehrt – in unserem Fall zu einem früheren Zeitpunkt und einem Wert, den wir bereits kennen. 

Schauen wir uns dazu noch einmal das Beispiel Schachbrett an. Auf dem dritten Schachfeld werden nach Anweisung der Erfinders vier Reiskörner liegen. Wir kehren jetzt – rekursiv – zum zweiten Tag zurück und stellen fest: Da waren es zwei Reiskörner. Die Anzahl hat sich also verdoppelt. Das ist ein Wachstumsfaktor von 2. Da dieser immer gleichbleibt, können wir schreiben: 

f(3)=2⋅f(2)$f(3)=2\cdot f(2)$

Wir haben hier also für x einmal Tag 3 und einmal Tag 2 eingesetzt. Die Verdopplung von Tag zu Tag verändert sich nicht. Daher gilt zum Beispiel auch:

f(4)=2⋅f(3)$f(4)=2\cdot f(3)$

f(5)=2⋅f(4)$f(5)=2\cdot f(4)$

Allgemein können wir jetzt auch schreiben: 

f(x)+1=2⋅f(x)$f(x)+1=2\cdot f(x)$

Wenn wir jetzt den Wachstumsfaktor nicht kennen, schreiben wir noch allgemeiner:

f(x+1)=b⋅f(x)$f(x+1)=b\cdot f(x)$

Das ist die rekursive Formel für exponentielles Wachstum. Du kannst damit immer das Ergebnis nach dem nächsten Zeitabschnitt ausrechnen. Daher ist die rekursive Darstellung vor allem geeignet, wenn du benachbarte Zeitpunkte untersuchen möchtest.

Wachstum kann nicht nur exponentiell, sondern auch linear sein. Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie lineares Wachstum funktioniert.

Beispiel:

Du hast 100 € angespart und deine Eltern geben dir jeden Monat 10 € dazu. Der Zuwachs bleibt also immer gleich. Das ist lineares Wachstum. Du brauchst dafür keine Exponentialgleichungen.

Im Vergleich dazu kommt es zu einer exponentiellen Zunahme, wenn deine Eltern dir statt 10 € jeden Monat 5 % auf deinen vorhandenen Betrag geben. 

Wir vergleichen das in einer Wertetabelle:

Bisher sieht es so aus, als würdest du mit linearem Wachstum deutlich besser abschneiden. Doch lass uns sehen, wie dein Vermögen sich weiterentwickelt:

Im 27. Monat hat sich die exponentielle Variante zum ersten Mal ausgezahlt – und ab da ist sie deutlich überlegen. Du solltest also mit deinen Eltern klären, wie lange sie dir Zinsen zahlen, bevor du dich für eine Variante entscheidest!

Wer exponentielle Veränderungen erforscht, interessiert sich oft besonders für die sogenannte Verdopplungszeit. Das ist die Zeit, in der die Menge, die du untersuchst, sich verdoppelt. Beim Beispiel Schachbrett geschieht das bei jedem neuen Feld. Aber bei Geldmengen zum Beispiel stellt sich die Frage: Wann sind aus 100 € denn 200 € geworden? 

So berechnest du die Verdopplungszeit T2$T_2$ des Wachstums:

T2=ln(2)ln(b)$T_2=\frac{\ln (2)}{\ln (b)}$

Erinnere dich: b ist der Wachstumsfaktor. In unserem Taschengeldbeispiel ist er 1,05. Wir können also rechnen:

T2=ln(2)ln(1,05)≈14,2$T_2=\frac{\ln (2)}{\ln (1,05)}\approx 14,2$

Du musst also etwas mehr als 14 Monate warten, bis dein Geld sich verdoppelt hat. Das kannst du auch oben anhand der Wertetabelle nachprüfen.

Die Halbwertzeit ist das Gegenteil der Verdopplungszeit: Hier stellst du fest, wie lange es dauert, bis eine Menge sich auf die Hälfte reduziert hat – zum Beispiel ein radioaktives Material.

Mit der Änderungsrate bestimmst du, wie stark sich deine Population verändert hat oder verändern wird. Du kannst verschiedene Änderungsraten exponentieller Funktionen berechnen:

1. die absolute Änderungsrate
2. die relative Änderungsrate

1. Absolute Änderungsrate

Die absolute Änderungsrate ist die Veränderung – in Zahlen – von einem Zeitpunkt zu einem anderen. Nehmen wir noch einmal das Beispiel Schachbrett: Auf dem vierten Schachfeld liegen 8 Reiskörner. Davon ziehst du nun die Körner auf dem dritten Feld ab (es sind 4 Körner) und übrig bleiben 4 Reiskörner. Die absolute Änderungsrate beträgt 8-4=4 im Intervall zwischen Tag 3 und 4. Das Ganze kannst du für jedes beliebige Intervall berechnen, also zum Beispiel auch zwischen Tag 7 und Tag 35. 

Allgemein schreibt man die Formel für die absolute Änderungsrate so:

B(t)=B(t+1)−B(t)$B(t)=B(t+1)-B(t)$

Da B(t)$B(t)$ nichts anderes als unser f(x)$f(x)$ ist, kannst du auch schreiben:

f(x)=f(x+1)−f(x)$f(x)=f(x+1)-f(x)$

Das sieht kompliziert aus, drückt aber nichts anderes aus als das, was wir gerade oben anhand der Reiskörner berechnet haben. 

2. Relative Änderungsrate

Die relative Änderungsrate rechnest du nicht in absoluten Zahlen aus, sondern als eine prozentuale Veränderung in einem bestimmten Intervall. Das geht so:

1. Du wählst zuerst ein Intervall. Wir wollen die relative Änderungsrate zwischen Schachfeld 1 (mit einem Korn) und Schachfeld 3 (mit vier Körnern) berechnen.
2. Ziehe den Bestand am Beginn deines Intervalls (ein Korn) vom Bestand am Ende deines Intervalls (vier Körner) ab. Uns bleiben drei Körner.
3. Teile nun dieses Ergebnis durch den Bestand am Beginn deines Intervalls. An Tag 1 hatten wir ein Korn. Somit müssen wir 3÷1=3$3÷1=3$ rechnen.
4. Das entspricht einer relativen Änderungsrate von 3. Von Tag 1 bis Tag 3 gab es also einen Zuwachs von 300%.

• Exponentielles Wachstum bedeutet, dass eine Größe sich in einem bestimmten Intervall immer um denselben Faktor vervielfacht.
• Das Gegenteil ist exponentieller Zerfall. Hier verkleinert sich die Menge, anstatt sich zu vergrößern.
• Exponentielles Wachstum berechnest du mit Exponentialfunktionen.
• Der Anfangswert gibt dir an, wie groß die Menge, die du beobachtest, zu Beginn der Beobachtung ist. Er heißt meist a$a$.
• Der Wachstumsfaktor verrät dir, um wie viel die Menge sich vervielfacht. Er heißt meist b$b$.
• Das x$x$ in der Funktion gibt dir das Intervall an. Oft handelt es sich um einen Zeitraum. 
• Die allgemeine Formel für exponentielles Wachstum lautet \(f(x)=a\cdot  b^x\)