Abiturvorbereitung - Stochastik - online lernen

Zufallsvariablen

In vielen Beispielen haben wir schon mit Dingen wie der Anzahl von gezogenen Kugeln oder der Augenzahl von Würfeln gearbeitet. Solche Kenngrößen nennt man auch Zufallsvariable oder Zufallsgröße.

Beispiel: Ausgehend von einem fairen, 6-seitigen Würfel, der 2-mal geworfen wird, könnte man unter anderen folgende Zufallsvariablen definieren:

• Die Summe der beiden geworfenen Augenzahlen
• Die Augenzahl beim ersten (oder zweiten) Wurf
• Das Produkt der beiden Augenzahlen

Eine Zufallsvariable ist eine Zuordnung auf dem Ergebnisraum. Die möglichen Ergebnisse des Experiments (in der Menge Ω) werden typischerweise reellen Zahlen zugeordnet:

X:Ω→R

Bei einer Urne mit farbigen Kugeln könnten wir zum Beispiel den möglichen Farben verschiedene Zahlenwerte zuordnen: Blau→1, Rot→2, etc.

Zusätzlich wird jedem Wert x einer Zufallsgröße X eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet: Die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x annimmt. Diese Wahrscheinlichkeit bezeichnen wir mit P(X=x).

Beispielaufgabe:

Wir werfen einen fairen Würfel einmal und definieren die Zufallsvariable X als die Augenzahl, x kann hier offenbar für jede Augenzahl des Würfels stehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass x=1,x=2,... eintritt?

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Nachdem nun Ergebnisse, Experimente, Ergebnisräume und auch die Laplace Eigenschaft betrachtet wurden, kann man sich einen ersten anschaulichen Wahrscheinlichkeitsbegiff überlegen.

Zunächst sollte man sich klarmachen, auf was sich der Wahrscheinlichkeitsbegriff beziehen soll. Die Antwort hierauf fällt leicht: Auf Ergebnisse bzw. Ereignisse.

So weit, so gut: Aber wie wollen wir die Wahrscheinlichkeit definieren und wie soll sie angegeben werden?

Aus dem realen Leben sind die vertrautesten Angaben wohl die Prozentangabe, sowie die Angabe als Verhältnis (eins zu zehn).

Beispielaufgabe:

Wie hoch ist die Regenwahrscheinlichkeit?

Diese Anschauungen sind sicherlich ausreichend um einfachste Probleme zu betrachten. Um aber eine fundierte Stochastik betreiben zu können, muss der Wahrscheinlichkeitsbegriff auf ein abstrakteres Level gehoben werden.

Hierzu ist es nötig, sich zunächst ein wenig mit Mengenlehre vertraut zu machen. Die nötigen Informationen können den Wikis zur Mengenlehre entnommen werden.

Elemente und Teilmengen

Die Begriffe Elemente und Teilmengen lassen sich am besten an einem Beispiel betrachten:

M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

M ist die Menge der Zahlen von 1 bis einschließlich 10. Sie besteht also aus den zehn Elementen 1, 2, 3… Um Auszudrücken, dass z.B. die 4 ein Element der Menge ist (in ihr also enthalten ist), schreiben wir 4∈M.

Eine Teilmenge T von M ist selbst eine Menge, die aber nur Elemente von M enthalten darf. Sie macht also einen Teil von M aus. Beispiele sind {1,3,5,7,9},{1,2,6,9},{9,5,7}. Auch {4} ist eine Teilmenge, die jedoch nur aus einem Element besteht. {9,10,11} ist keine Teilmenge von M, da 11∉M.

Spricht man von einer echten Teilmenge, so darf T nicht alle Elemente von M enthalten:

Die Operatoren ⊆ und ⊂ sind in dieser Hinsicht vergleichbar mit ≤ (kleiner-gleich) und < (kleiner). Die Leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:

∅⊆M

Man beachte den Unterschied zwischen 4∈M und {4}⊂M. Im ersten Fall sprechen wir von einem Element, im zweiten von einer Teilmenge. Dementsprechend müssen unterschiedliche Operatoren (∈ oder ⊂ bzw. ⊆) verwendet werden.

Beispielaufgabe:

Betrachten wir die Menge A={1,2,3,4}. Wie verhält sich 1 zu A? Wie verhält sich {1} zu A? Gib eine echte Teilmenge an.

Teilmengen

Eine Teilmenge T einer Menge M ist selbst eine Menge, die aber nur Elemente von M enthalten darf. Sie macht also einen Teil von M aus. Wir definieren:

T⊆M⇔∀x∈T:x∈M

Man liest dies wie folgt:

T ist eine Teilmenge von M, genau dann, wenn für jedes Element in T gilt, dass es auch Element von M ist.

Sei M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Beispiele für Teilmengen sind {1,3,5,7,9},{1,2,6,9},{9,5,7}. Auch {4} ist eine Teilmenge, die jedoch nur aus einem Element besteht. {9,10,11} ist keine Teilmenge von M, da {11∉M}.

Spricht man von einer echten Teilmenge, so darf T nicht alle Elemente von M enthalten:

Die Operatoren ⊆ und ⊂ sind in dieser Hinsicht vergleichbar mit ≤ (kleiner-gleich) und < (kleiner). Die Leere Menge ist Teilmenge jeder Menge:∅⊆M

Beispielaufgabe:

Wie stehen die folgenden Mengen zueinander?

a) A={1,2,3,4},B={1,5}

b) A={1,11},B={1,3,6,8,9,11}

c) A=R=B

Mengen

Mengen sind Gruppen von Objekten, zB. Zahlen, Wörter, Punkte etc. Die darin enthaltenen Objekte nennen wir Elemente. Mengen enthalten jedes ihrer Elemente genau einmal! Es sind also keine „Duplikate“ enthalten.

Oft definiert man in gewissen Sachzusammenhängen Mengen, deren Elemente gewisse Eigenschaften gemeinsam haben bzw. bestimmte Anforderungen erfüllen.

Die Menge der geraden Zahlen von 1 bis einschließlich 20 lautet:

M={x|x≥1∧x≤20∧xgerade}

={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

={2,4,6,....,20}

Die erste Schreibweise definiert die Menge über ihre Eigenschaften. Die Menge enthält Elemente (x), für die folgende Eigenschaft gilt (senkrechter Strich): Das Element muss größer-gleich 1 und kleiner-gleich 20 und gerade sein. Wie man sieht müssen die Eigenschaften nicht immer als mathematischer Ausdruck formuliert sein. Das Konzept „x ist gerade“ steht eigentlich dafür, dass x durch 2 teilbar ist.

Die zweite Schreibweise zählt explizit alle Elemente auf, eignet sich aber nur bei kleinen Mengen. Unendlich große Mengen (zB natürliche Zahlen) können nicht komplett ausgeschrieben werden.

Die dritte Schreibweise kann verwendet werden, wenn das Bildungsgesetz (hier: gerade Zahlen) aus der Folge der Elemente vor dem „…“ ersichtlich ist. 2,4,6… legt dann fest, dass es mit den Geraden Zahlen weitergeht, bis das nächste Elemente wieder explizit aufgezählt wird. So können auch unendlich große Mengen teilweise aufgezählt werden, zB. Z={...−2,−1,0,1,2,...}

Ist ein Objekt in einer Menge enthalten dann ist es Element der Menge:x∈M. Das Gegenteil lautet dann x∉M.

Die leere Menge enthält keine Elemente: {}=∅

Erwartungswerte

Der Erwartungswert ist ein Merkmal der Zufallsvariablen. Er gibt an, wie groß eine Zufallsvariable erwartungsgemäß oder „im Durchschnitt“ ist. Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X ist definiert durch:

E(X)=∑ω∈ΩP(ω)⋅X(ω)

Diese Formel lässt sich leicht etwas anschaulicher beschreiben:
Jeder Wert x, den X annehmen kann, wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet (per Multiplikation) und die so erhaltenen Werte werden dann addiert.

Bemerkung: Bei einem Laplace Experiment mit n Ausgängen kann die Formel vereinfacht werden:

E(X)=X(ω1)+...+X(ωn)n

Beispielaufgaben:

Beispiel 1:

Sei die Zufallsvariable X die Augensumme eines fairen 6-seitigen Würfels.

Wie groß ist ihr Erwartungswert E(X) (d.h. die erwartete Augenzahl)?

Lösung:

E(X)=16⋅1+16⋅2+...+16⋅6=16⋅(1+2+3+4+5+6)=3,5

Bei Laplace-Experimenten ist es also sehr einfach, den Erwartungswert anzugeben, da alle Werte die gleiche Wahrscheinlichkeit haben und diese somit ausgeklammert werden kann.

Beispiel 2:

Sei X wieder die Augenzahl. Thomas hat jedoch einen Trick-Würfel, der statt einer 1 eine weitere 6 zeigt.

Wie hoch ist der Erwartungswert seines Würfels?

Lösung:

Die Chance der 6 hat sich verdoppelt, die 1 ist nun unmöglich zu werfen. Die übrigen Wahrscheinlichkeiten haben sich nicht geändert.

Es gilt also
E(X)=P(1)⋅1+P(2)⋅2+⋯+P(6)⋅6=0⋅1+16⋅2+16⋅3+16⋅4+16⋅5+26⋅6=16⋅(2+3+4+5)+26⋅6=146+126=4,¯3

Thomas' Würfel liegt bei der Augenzahl im Schnitt somit über der des fairen Würfels.

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Definition:
Seien A und B beliebige Ereignisse eines Ergebnisraumes Ω, wobei gelte P(B)>0.
Dann heißt P(A∣B) die durch B bedingte Wahrscheinlichkeit von A.

Für diese gilt:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)

Man kann etwas weniger formal auch sagen:
Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist.

Beispielaufgabe:

Ausgehend von einem 6-seitigen Würfel mit Ω={1;2;3;4;5;6}
sei B={4;5;6} und A={4}.
Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit von:

a) B

b) A

c) A∩B

d) A∣B

Lösung:

a) P(B)=|B||Ω|=36=12

b) P(A)=|A||Ω|=16

c) P(A∩B)=|A∩B||Ω|=16

d) P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=1612=16⋅21=26=13

Wir sehen also, dass das Eintreten eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit eines anderen signifikant beeinflussen kann.

Der Wahrscheinlichkeitsbegriff II

Der erste, sehr anschauliche Wahrscheinlichkeitsbegriff, der in dem gleichnamigen Wiki behandelt wurde, soll nun etwas formaler werden. Die Wahrscheinlichkeit soll ein Wert sein, der Ergebnissen oder Ereignissen einen Grad von Gewissheit zuordnet. Hierzu wird folgende Notation eingeführt:

Sei E ein Ereignis, dann bezeichnet P(E)=p die Wahrscheinlichkeit von E, die p beträgt.
Die Wahrscheinlichkeit soll dabei zwischen 0 und 1 liegen, wobei gelten soll:

• 0 ist der dem unmöglichen Ereignis (∅) zugeordnete Wert
  (d. h. das Ereignis tritt zu 0% ein).
• 1 ist der dem sicheren Ereignis (Ω) zugeordnete Wert
  (d.h. das Ereignis tritt zu 100% ein).
  Hierbei bezeichnet Ω den gesamten Ergebnisraum, welcher als Gesamtheit aller Ereignisse aufgefasst werden kann. Es ist also egal, welches Ergebnis eintritt, da in diesem Fall ja alle Ergebnisse günstig sind.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass eines von zwei disjunkten (getrennten, unabhängigen) Ereignissen eintritt, soll der Summe der einzelnen Ereignisse entsprechen.

Beispielaufgabe:

Betrachte wieder den 6-seitigen Würfel mit Ergebnisraum Ω={1,2,3,4,5,6}.

Dann gilt:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine 1 oder eine 2 gewürfelt wird, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten einer 1 bzw. einer 2 .
2. Als Formel bedeutet das: P({1,2})=P(1)+P(2)
3. Die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Zahl beträgt 16.
   Also beträgt unsere Wahrscheinlichkeit 16+16=13.

Ereignisse

Unter einem Ereignis versteht man im Allgemeinen eine Teilmenge des Ergebnisraumes, also eine Menge von Ergebnissen. Oft ist es so, dass ein Ereignis als Menge derjenigen Ergebnisse definiert ist, die eine bestimmte Eigenschaft teilen.

Beispielaufgabe:

Man würfle einen 6-seitigen Würfel.

1. Wie lautet der zugehörige Ergebnisraum?
2. Wie lässt sich das Ereignis A darstellen, dessen Bedingung lautet: „Alle gewürfelten Zahlen sind gerade.“?

Lösung:

1. Der Ergebnisraum lautet Ω={1,2,3,4,5,6}.
2. Das Ereignis kann als A={2,4,6} dargestellt werden.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von Ereignissen:

1. Ω: das sichere Ereignis (hierbei ist jedes Ereignis günstig, daher ganz Ω).

2. ∅: das unmögliche Ereignis (hierbei ist kein Ereignis günstig, daher ∅).

Ergebnisräume und Laplace

Sind bei einem Experiment alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich, so spricht man von einem Laplace-Experiment. Ein solches Experiment hat dann die sogenannte Laplace-Eigenschaft.

Der Münzwurf oder der Wurf eines Würfels sind typische Beispiele für Laplace-Experimente. Sofern nicht getrickst wird, sind bei beiden Experimenten alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Beachte: Ein Laplace-Würfel muss nicht zwingend zu einem Laplace-Experiment führen. Es kommt auf den Ergebnisraum an, den wir zugrunde legen.
Als Beispiel betrachten wir die Summe der Augenzahlen aus zwei Münzwürfen.
Bei den einzelnen Würfen sind die Augenzahlen alle gleich wahrscheinlich.
Bilden wir jedoch aus beiden Augenzahlen die Summe, sind nicht alle vorkommenden Summen gleich wahrscheinlich. Denn die 7 lässt sich häufiger bilden (aus insgesamt sechs verschiedenen Kombinationen) als zum Beispiel die 2 (nur eine Kombination).

Beispielaufgabe:

Entscheide begründet, ob der genannte Ergebnisraum, der einem 6-seitigen Laplace-Würfel zugrundeliegt, zu einem Laplace-Experiment gehört.

1. Ω1={4; nicht 4}
2. Ω2={Primzahl; keine Primzahl}
3. Ω3={3 oder 4; nicht 3 oder 4}

Lösung:

1. Ω1 beschreibt kein Laplace-Experiment.
   Die Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln, ist kleiner als die Wahrscheinlichkeit, eine andere Zahl zu würfeln.
2. Ω2 beschreibt ein Laplace-Experiment.
   Es gibt bei den Zahlen von 1 bis 6 genau drei Primzahlen (2, 3 und 5) und genau drei Zahlen, die nicht prim sind (1, 4 und 6). Die Wahrscheinlichkeit, das eine oder das andere zu erhalten, ist also gleich.
3. Ω3 beschreibt kein Laplace-Experiment.
   Die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder 4 zu würfeln, ist kleiner als 1, 2, 5 oder 6 zu würfeln.

Experimente und Ergebnisräume

Der Wahrscheinlichkeitsberechnung liegt stets ein Experiment zugrunde. Prägnante Beispiele sind hier der Münzwurf, das Rollen eines Würfels oder das Drehen eines Glücksrads. Aber auch exotischere Sachverhalte wie radioaktiver Zerfall sind möglich.

Ein solches Experiment hat eine bestimmte Menge möglicher Ereignisse, deren Gesamtheit Ergebnisraum genannt wird. Die gängigste Bezeichnung für den Ergebnisraum lautet Ω.

Dieser Ergebnisraum muss für jedes Experiment einzeln und auf den jeweiligen Sachverhalt abgestimmt aufgestellt werden.

In der Regel (in der Schule immer) ist die Anzahl der möglichen Ergebnisse, die dieser Raum enthält, endlich.

Die Elemente des Ergebnisraumes müssen, wie wir an den Beispielen sehen, keine Zahlen sein, sondern eben auf das jeweilige Experiment abgestimmte Ausdrücke.

Beispielaufgabe:

Gib den Ergebnisraum der folgenden Experimente an:

1. Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit 3 roten, 4 blauen und 1 weißen Kugeln.
2. Das Würfeln mit einem 6-seitigen Würfel.
3. Das Werfen einer Münze.
   
   

Lösung:

1. Es gibt rote (r), blaue (b) und weiße (w) Kugeln, also: Ω={r,b,w}.
2. Es können, die Zahlen von 1 bis 6 auftreten, also: Ω={1,2,3,4,5,6}.
3. Es kann Kopf (k) oder Zahl (z) fallen, daher: Ω={k,z}.

Bemerkung:
Man kann sich in Beispiel a) überlegen, dass die Ereignisse nicht alle gleich wahrscheinlich sind, da die Anzahl der verschiedenfarbigen Kugeln unterschiedlich ist.
Bei b) und c) hingegen sind alle Ereignisse gleich wahrscheinlich, man spricht dann von einem Laplace-Experiment (siehe dazu auch das Wiki „Ergebnisräume und Laplace“)

Schnittmengen

Als Schnitt oder Schnittmenge zweier oder mehrerer Mengen bezeichnet man die Menge aller Elemente, die in jeder der betrachteten Mengen vorkommen. Die formale Definition lautet:

A∩B={x∣(x∈A)∧(x∈B)}

Man liest dies wie folgt:

„Der Schnitt der Mengen A und B ist die Menge der Elemente, welche in A enthalten sind (x∈A) und (∧) auch gleichzeitig in B enthalten sind (x∈B).“

Beispielaufgabe:

Wie lauten die Schnittmengen von:

a) A={1,2,3,4};B={1,5}

b) A={x∣x ist gerade};B={1,3,6,8,9,11}

c) A=N;B=R

Lösung:

a) A∩B={1}

b) A∩B={6,8}

c) A∩B=N∩R=N

Bemerkung zu c):
Da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der reellen Zahlen sind (N⊂R), erzeugt der Schnitt wieder genau die Teilmenge der natürlichen Zahlen. Allgemein gilt:

A⊆B⇒A∩B=A

Vereinigungen von Mengen

Unter der Vereinigung zweier Mengen versteht man die Menge, die alle Elemente beider Mengen enthält:

 A∪B={x∣(x∈A)∨(x∈B)}

Man liest dies wie folgt:

„Die Vereinigung von A und B ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind (x∈A) oder (∨) in B enthalten sind (x∈B).“

Die beiden Mengen werden also zusammengefügt. "oder" bedeutet dabei nicht, dass die Elemente nur in einer der Mengen enthalten sein dürfen (im Sinne von "entweder ... oder"), sondern nur dass sie in mindestens einer der Mengen vorkommen. In der vereinigten Menge A∪B dürfen mehrfach vorkommende Elemente jedoch nur einmal angegeben werden.

Beispielaufgabe:

Wie lauten die Vereinigungen von:

a) A={1,2,3,4};B={1,5}

b) A={1,11};B={1,3,6,8,9,11}

c) A=R=B

d) A={x∣x ist gerade};B={1,3,9,11}

Lösung:

a) A∪B={1,2,3,4,5}
Die 1 kommt in beiden Mengen vor, wird aber bei der Vereinigung nur einmal verwendet, da in Mengen keine „Duplikate“ vorkommen dürfen. Die restlichen Zahlen kommen in genau einer der beiden Mengen vor.

b) A∪B={1,3,6,8,9,11}
Hier ist A eine Teilmenge von B, es gilt also A∪B=B.

c) A∪B=R
Sind die beiden Mengen bereits identisch (A=B), dann gilt A∪B=A=B, da durch die Vereinigung nichts Neues hinzukommen kann.

d) A∪B={...,−4,−2,0,1,2,3,4,6,8,9,10,11,12,14,16...}
Kompakter oder „genauer“ kann man diese Menge nicht beschreiben.

Kardinalität einer Menge

Als Kardinalität oder auch Mächtigkeit einer Menge bezeichnet man den Wert, welcher angibt, wie viele Elemente sie enthält. Man sagt auch, wie mächtig die Menge ist. Dieser Wert ist für alle endlichen Mengen eine natürliche Zahl. Für unendliche Mengen ist der Kardinalitätsbegriff etwas schwieriger zu erfassen, was hier nicht thematisiert werden soll.

Die Kardinalität einer Menge spielt immer dann eine Rolle, wenn eben die Anzahl an Elementen der Menge wichtig wird. Betrachtet man beispielsweise einen Ergebnisraum und möchte Wahrscheinlichkeiten erfassen, so wird die Kardinalität des Raumes wichtig.

Für die Kardinalität einer Menge A mit n Elementen schreibt man:

|A|=n oder #A=n

Entsprechend gilt für eine Menge mit z.B. 3 Elementen dann

|A|=3 oder #A=3

Beispielaufgabe:

Wie mächtig sind die folgenden Mengen?

a)  A={Kreuz, Pik, Herz, Karo}

b)  B={1,5,100}

c)  C={a,b,c,d,...,x,y,z}

Lösung:

a) |A|=4 (Menge der Spielkartenfarben)

b) |B|=3

c) |C|=26 (Menge der Buchstaben)

Differenzen von Mengen

Auch auf Mengen kann man eine Differenz oder Subtraktion definieren. Diese zieht alle Elemente einer Menge von denen einer anderen Menge ab. Man schreibt dafür A∖B (sprich: „A ohne B“).

Diese Differenz ist folgendermaßen definiert:

A∖B={x∣(x∈A)∧(x∉B)}

Ein Element liegt also in der Differenzmenge, wenn es in A enthalten ist (x∈A) und (∧) nicht in B liegt (x∉B). Aus A werden also alle Elemente entnommen, die in der Schnittmenge A∩B liegen, d.h. die in beiden Mengen vorkommen. Die Elemente, die nur in B und nicht in A liegen, kann man deshalb vernachlässigen.

Einige besondere Fälle können auftreten:

1. Ist B eine echte Teilmenge von A, gilt also B⊂A, so werden die Elemente von B einfach aus A entfernt. In diesem Fall nennt man A∖B auch das Komplement von B in Bezug auf A.
2. Ist B=A, so bleibt nur die leere Menge übrig.
   Ähnlich wie bei Zahlen, wo x∈R⇒x−x=0 gilt, sagen wir bei Mengen:
   X ist Menge ⇒X∖X={x∣(x∈X)∩(x∉X)}={}=∅.
3. Ist B disjunkt (getrennt) zu A, gilt also A∩B=∅, so ändert sich durch die Mengensubtraktion nichts.
   Es gilt dann A∖B=A.

Beispielaufgabe:

Wie lauten die Differenzen A∖B von:

a) A={1,2,3};B={1,2}

b) A={7,9,19};B={1,2,3}

c) A=N=B

d) A={1,3,5,8};B={2,3,6,8}

Lösung:

a) A∖B={3}, hier gilt Fall 1.

b) A∖B={7,9,19}=A, hier gilt Fall 3.

c) A∖B=∅, hier gilt Fall 2.

d) A∖B={1,5}, da hier A∩B={3,8} gilt.