Abiturvorbereitung - Lineare Algebra - online lernen

Gaußverfahren 

unendlich-viele Lösungen

Entsteht bei einem Gleichungssystem eine Nullzeile, so hat das LGS unendlich viele Lösungen. Man darf eine Variable als Parameter wählen und muss die Verbleibenden in Abhängigkeit dieses Parameters ausdrücken.

Beispielaufgabe:

x1−2x2+3x3=4.

Löse das LGS

3x1+x2−5x3=5.

2x1−2x2+4x3=7.

Matrix invertieren

Die Inverse einer quadratischen Matrix ist eine Matrix A−1, die multipliziert mit A die Einheitsmatrix ergibt:

A⋅A−1=E

Um die Inverse von A zu erhalten, erweitert man A mit der Einheitsmatrix

(A|E)=(a11...a1n10...0..0......0an1...ann0...01)

Und formt nun durch elementare Zeilenumformungen soweit um, bis links die Einheitsmatrix entsteht. Rechts erhält man dadurch die Inverse:

(E|A−1)=(10...0b11...b1n0......0..0...01bn1...bnn)⇒A−1=(b11...b1n...bn1...bnn)

Beispielaufgabe:

Invertiere die Matrizen:A=(1223),B=(120241210)

Prozesse modellieren

Ein wesentlicher Bestandteil der linearen Algebra in der Oberstufe befasst sich mit dem Modellieren von Prozessen. Hierzu werden Matrizen gemäß einem gegebenen Sachverhalt aufgestellt, um diesen möglichst genau zu beschreiben.

Hierbei unterscheidet man im Wesentlichen zwischen zwei Arten von Prozessen:

1. Austausch- bzw. Übergangsprozessen
2. Produktionsprozessen

Erstere zeichnen sich dadurch aus, dass die zugehörigen Matrizen stets quadratisch sind. Die Sachzusammenhänge beschreiben also Übergänge, die zwischen einer gewissen Menge von z. B. Unternehmen stattfinden, wobei stets alle Unternehmen beteiligt sind, sowohl aktiv (sie geben z. B. Kunden an andere Unternehmen ab), als auch passiv (sie gewinnen Kunden der anderen Unternehmen hinzu).

Bei den Produktionsprozessen hingegen müssen die Matrizen nicht quadratisch sein, was diese deutlich flexibler und oft schwieriger zu berechnen macht.

Zu beiden Arten von Prozessen und ihrer Modellierung findet sich in den Wikis „Übergangsprozesse“ bzw. „Produktionsprozesse“ eine genauere Einführung mit ausführlichen Beispielen.

Produktionsprozesse

Produktions- oder Fertigungsprozesse lassen sich sehr gut mit Hilfe von Matrizen beschreiben.

Die Grundidee dabei ist, dass die Matrix eine bestimmte Menge an Rohstoffen in eine bestimmte Menge an Produkten überführt.

Solche Produktionsprozesse können auch mehrstufig sein, d.h. zunächst gibt es eine Matrix, die eine bestimmte Menge an Rohstoffen in eine bestimmte Menge an Zwischenprodukten überführt und diese von einer weiteren Matrix in die Endprodukte (oder weitere Zwischenprodukte) überführt werden.

Eine solche Matrix wird Produktionsmatrix genannt.

Solche Prozesse lassen sich sowohl in Textform, als auch als Graph darstellen. Beide Darstellungen lassen sich in eine Matrix überführen, mit der dann gerechnet werden kann.

Einige allgemeine Punkte:

• Eine Produktionsmatrix muss nicht quadratisch sein.
• Sie hat so viele Zeilen, wie Ausgangsprodukte und...
• ... so viele Spalten, wie Zielprodukte.

Merke: Wir notieren die Dimension einer Matrix mit Zeilen x Spalten .

Beispielaufgabe:
Ein Unternehmen stellt in einem ersten Produktionsschritt aus drei Rohstoffen vier Sorten Dünger her. Daraus werden dann in einem zweiten Schritt drei verschiedene Düngermischungen gemacht werden.

a) Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsschritt “Rohstoffe→Dünger” beschreibt?

b) Wie viele Zeilen und Spalten hat die Matrix, die den Produktionsprozess “Dünger→Düngermischungen” beschreibt?

Produktionsprozesse III

Nun wollen wir den bereits bekannten Graphen, der die Produktion unserer Düngermischungen beschreibt, in eine Matrix überführen.

Wir beginnen damit, eine Matrix aufzustellen, die den Prozess ’Rohstoffe→Dünger’ beschreibt, ehe wir auch die Matrix ’Dünger→Düngermischung’ erstellen. Diese Matrix nennen wir MRD bzw.MDM.

Hierzu gehen wir wie folgt vor:

• Die Zeilen stehen je für einen Rohstoff
• Die Spalten für einen Dünger
• Der Eintrag an der Stelle ZeilexSpalte gibt an, wie viel von dem Rohstoff der entsprechenden Zeile für den Dünger der zugehörigen Spalte benötigt wird.

Beispielaufgabe:

a) Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Rohstoff→Dünger’?

b) Wie lautet die Matrix für den Schritt ’Dünger→Düngermischung’?

Produktionsprozesse II

Im ersten Dokument der Reihe zu Produktionsprozessen wurde bereits ein Unternehmen angesprochen, welches Düngermischungen herstellt. Auf Basis dieser Idee soll nun ein Produktionsprozess Stück für Stück untersucht werden.

Zunächst gehen wir genauer auf den Prozess ein:

Beispielaufgabe:

Was sagt der folgende Graph über den Produktionsprozess aus?

Produktionsprozesse IV

In Teil III der Wiki Serie haben wir die Matrizen zum Darstellen der einzelnen Produktionsschritte hergeleitet.

Zur Erinnerung noch einmal Graph und Matrizen:

MRD=(210003100012),MDM=(10512001)

Nun kann man sich die Frage stellen, ob es möglich ist, eine Matrix zu finden, die den Gesamtprozess beschreibt, also die Dünger auslässt und direkt von den Rohstoffen zum Endprodukt (den Düngermischungen) springt.

Da diese Matrix drei Ausgangsstoffe und 2 Zielstoffe hat, müsste es folglich eine 3x2-Matrix sein.

Durch die Matrizenmultiplikation wissen wir, dass das Produkt einer 3x4-Matrix mit einer 4x2-Matrix eine eben solche 3x2-Matrix sein muss.

Daher multipliziert man die Teilprozesse der Matrizen:

MRM=MRD⋅MDM=(210003100012)⋅(10512001)=(7117322)

Man benötigt also 7 Einheiten R₁, 17 Einheiten R₂und 2 Einheiten R₃um eine Einheit M₁herzustellen. Man benötigt für M₂eine Einheit R₁, drei Einheiten R₂und zwei Einheiten R₃.

Im nächsten Wiki wird noch eine typische Beispielaufgabe besprochen.

Produktionsprozesse V

Wir haben nun also die Produktionsmatrix (oder auch Bedarfsmatrix) unseres Sachbeispiels herausgefunden.

Zur Erinnerung: MRM=(7117322) beschreibt den Prozess von Rohstoffen bis zum Endprodukt (den Düngermischungen).

Mit dieser Matrix können wir z.B. leicht herausfinden, wie viele Rohstoffe wir benötigen, um eine bestimmte Menge an Endprodukten zu erhalten.

Beispielaufgabe:
Wie viele Rohstoffe werden benötigt, um 200 Einheiten M₁, sowie 300 Einheiten M₂herzustellen?

Vorüberlegung:

Wir stellen unsere gewünschte Zielmenge als Vektor dar:

→vm=(200300)

Diesen Vektor können wir mit der Matrix multiplizieren.

Übergangsprozesse I

Ein Austauschprozess ist ein Prozess, der – stark vereinfacht ausgedrückt – den Wechsel von Zuständen oder auch Verteilungen beschreibt.

So könnte man z. B. betrachten, wie sich monatlich die Kunden zwischen verschiedenen Bekleidungsgeschäften hin und her verschieben. Denkbar wäre aber auch, den (voraussichtlichen) Aufenthaltsort z. B. einer Person zu beschreiben.

Solche Prozesse lassen sich stets durch Matrizen, sogenannte Übergangsmatrizen, beschreiben. Diese Matrizen sind stets quadratisch, also von der Form nxn.

Man unterscheidet zwischen:

1. Stochastischen Matrizen:

Die Einträge einer solchen Matrix liegen stets zwischen 0 und 1, und die Zeilen-, oder Spaltensumme muss immer gleich Eins sein.

1. Allgemeinen Prozessmatrizen:

Auch hier liegen die Einträge in der Regel (aber nicht immer) zwischen 0 und 1, jedoch ist es nicht vorgegeben, dass Zeilen- oder Spaltensumme gleich Eins sein müssen.

Ein mögliches Beispiel für eine Matrix wie in 1. beschrieben wäre:

P=(0,050,30,650,10,50,40,150,750,1)

Man kann schnell ausrechnen, dass alle Zeilenvektoren der Matrix in der Summe 1 ergeben, womit es sich tatsächlich um eine stochastische Matrix handelt.

Unter „Übergangsprozesse II“ wird diese Matrix in einem Anwendungsbeispiel etwas genauer betrachtet.

Übergangsprozesse II

Im vorangegangenen Wiki wurde bereits die Matrix P vorgestellt:

P=(0,050,30,650,10,50,40,150,750,1)

Betrachtet man Übergangsprozesse, so hat man nur selten eine Matrix gegeben. Meist muss man diese erst aufstellen. Dies tut man mit Informationen aus dem Text der Aufgabe, oder aus einem Adjazenzgraphen(siehe Grafik in Beispielaufgabe).

Beispielaufgabe:

Wie könnte ein zu dieser Matrix gehöriger Adjazenzgraph aussehen?

Bemerkung: Wir sehen also, dass die Matrix den Wechsel zwischen 3 Zuständen beschreibt, was nur plausibel ist, da es sich um eine 3x3 Matrix handelt. Im nächsten Wiki werden wir den Adjazenzgraphen in einem Sachzusammenhang betrachten.

Übergangsprozesse III

Im vorangegangenen Wiki wurde bereits die Matrix P vorgestellt:

P=(0,050,30,650,10,50,40,150,750,1)

sowie der zugehörige Adjazenzgraph sind bekannt. Nun soll erklärt werden, wie die Matrix aus dem Graphen hervorgeht und zu was für einem Sachzusammenhang dieser gehören könnte.

Wichtig ist es hierbei zu überlegen, wo die Werte des Adjazenzgraphen sich in der Matrix wiederfinden. Man sieht schnell, dass in der ersten Spalte(S₁) und der ersten Zeile(Z₁), mit dem Eintrag 0,05, offenbar der Wechsel von A nach A beschrieben wird. In S₂, Z₁mit dem Eintrag 0,3 offenbar der von A nach B. In S₃, Z₁mit dem Eintrag 0,65 wird der Wechsel von A nach C beschrieben. Die übrigen Zeilen funktionieren genauso. Insgesamt veranschaulicht folgende Tabelle das Schema des Adjazenzgraphen sehr gut:

Beispielaufgabe:

Was sind mögliche Sachzusammenhänge?

Im nächsten Wiki wird das Katzenbeispiel ausgearbeitet dargestellt.

Übergangsprozesse IV –
Sachbeispiel Katze Teil 1

Hier wollen wir das Sachbeispiel der Katze noch einmal aufgreifen.

Lisa hat eine Katze. Diese wechselt zwischen 3 Orten: dem Katzenklo, der Hängematte und der Futterecke. Zwischen diesen Positionen wechselt sie stündlich.

a) Ist die Katze auf dem Klo, so bleibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 (5%) dort, mit einer von 0,3 (30%) geht sie zur Hängematte, mit 0,65 (65%) zur Futterecke.

b) Ist sie in der Hängematte, so bleibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 dort, mit einer von 0,4 geht sie zur Futterecke und mit einer von 0,1 geht sie zum Klo.

c) Ist sie schließlich in der Futterecke, so bleibt sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 dort, mit einer von 0,15 geht sie zum Klo und mit einer von 0,75 zur Hängematte.

Möchte man all dies nun veranschaulichen, so leitet man sich den bereits bekannten Adjazenzgraphen her.

Aus diesem wiederum kann man, indem man eine zeilenweise „Verschiebung“ von→nachbetrachtet, leicht die bekannte Tabelle aufstellen.

Die sich daraus ergebende Matrix beschreibt das Positionswechsel-Verhalten der Katze von Stunde zu Stunde.

Eine mögliche Rechnung findet sich im nächsten Wiki.

Übergangsprozesse IV –
Sachbeispiel Katze Teil 2a

Ausgehend vom Sachverhalt des vorherigen Wikis: Die Katze befindet sich momentan in ihrer Hängematte. Wo befindet sie sich vermutlich in 3 Stunden?

ACHTUNG:

Es ist auch möglich Tabelle und Matrix spaltenweise aufzubauen. Dies wird im Wiki „Übergangsprozesse IV – Sachbeispiel Katze Teil 2b“ erklärt.

Gleichgewichtsverteilung

Zu Übergangsprozessen und den dazugehörenden Matrizen lassen sich Gleichgewichtsverteilungen berechnen.

Dies funktioniert derart, dass man die einem Übergangsprozess zugeordnete Übergangsmatrix in eine so hohe Potenz erhebt, dass sie konstant wird.

Für die Übergangsmatrix A berechnet man also Aⁿ mit einem extrem großen n.

Im weitesten Sinn ist das vergleichbar mit dem Konvergenzverhalten einer Funktion (bekannt aus der Analysis).

Die dabei entstehende Matrix Aⁿ nennt man auch die Grenzmatrix und bezeichnet sie mit G.

Näheres zur Grenzmatrix und ihrer Berechnung findet sich im gleichnamigen Wiki.

Die Grenzmatrix

Bemerkung:Vorab sollte das Wiki zur Gleichgewichtsverteilung gelesen werden.

Hier soll nun zu einem bekannten Übergangsprozess die Grenzmatrix aufgestellt werden.

Wir erinnern uns an die Matrix aus den Wikis zu den Übergangsprozessen (Sachbeispiel Katze), also die Matrix

P=(0,050,30,650,10,50,40,150,750,1)

und betrachten einige hohe Potenzen.

Beispielaufgabe:

Wie lauten die jeweiligen Potenzen der Matrix?P5,P10,P25

Wir sehen also, dass die Matrix sich (auf drei Nachkommastellen genau) sehr schnell nicht mehr verändert und wir sehr schnell die Grenzmatrix erhalten.

Multipliziert man nun einen Startwert (also einen Positionsvektor der Katze)

mit der Grenzmatrix, so erhält man den sogenannten Gleichgewichtszustand.

Prozessmatrizen

Unter Prozessmatrizen versteht man eine besondere Gattung der Matrizen, nämlich solche, die einen Prozess (z. B.: Produktion von Gütern, Kaufverhalten von Kunden usw.) beschreiben.

Im Wesentlichen unterscheidet man zwischen zwei Prozessen:

1. Austausch- bzw. Übergangsprozessen,
2. Produktionsprozessen.

Beide Prozesstypen haben bestimmte Eigenschaften, die sich auf die Matrix übertragen. Bei Übergangsprozessen sind die Matrizen z. B. immer quadratisch, bei Produktionsprozessen kann das auch passieren, muss es aber nicht.

Ein Sonderfall der Übergangsmatrizen sind die sogenannten stochastischen Matrizen. Hier liegen alle Einträge zwischen 0 und 1. Außerdem ist die Summe jeder Zeile (oder Spalte) immer gleich 1.

Innerhalb der Prozesstypen wird z. T. noch weiter unterschieden. Hierzu sei auf die Dokumentenreihen zu Übergangsprozessen, bzw. Produktionsprozessen verwiesen.

Prozesse – Sachaufgaben

Sachaufgaben zu Prozessen sind grundsätzlich so angelegt, dass ein sehr greifbarer Prozess modelliert und berechnet werden soll.

Bei den Übergangsprozessen handelt es sich meist um Aufenthaltsorte von Personen oder Tieren (Übergänge zwischen den Aufenthaltsorten) oder um das Kaufverhalten von Kunden („Wer kauft bei welchem Kaufhaus und wie verschieben sich die Kunden zwischen den Kaufhäusern?“).

Bei den Produktionsprozessen steht der Prozess der Herstellung von Gütern im Vordergrund. Hier kann z. B. betrachtet werden, wie aus verschiedenen Holzsorten erst Bretter hergestellt werden, aus denen dann in einem zweiten Produktionsschritt Schränke gefertigt werden.

Genau ausgearbeitete Sachbeispiele finden sich in den Dokumentenreihen zu Übergangsprozessen bzw. Produktionsprozessen.

Matrixmultiplikation

Zwei Matrizen können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt.

Hat Matrix A die Dimension n×m und Matrix B die Dimension m×k, dann hat die Ergebnismatrix C die Dimension n×k. Die Einträge der Matrix C entstehen durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der entsprechenden Zeile der ersten Matrix mit der entsprechenden Spalte der zweiten Matrix und Summation dieser Produkte („Zeile mal Spalte“).

Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ, d.h. im Allgemeinen ist A⋅B≠B⋅A (falls überhaupt möglich).

Beispielaufgabe:

Berechne C=A⋅B;D=E⋅F und G=F⋅E.

A=(123456789);B=(14colorred2536);E=(1101);F=(1011)

Lösung:

C=(1⋅1+2⋅2+3⋅31⋅4+2⋅5+3⋅64⋅1+5⋅2+6⋅34⋅4+5⋅5+6⋅67⋅1+8⋅2+9⋅37⋅4+8⋅5+9⋅6)=(1432327750122)

D=(1⋅1+1⋅11⋅0+1⋅10⋅1+1⋅10⋅0+1⋅1)=(2111)

G=(1⋅1+0⋅01⋅1+0⋅11⋅1+1⋅01⋅1+1⋅1)=(1112)

Matrixpotenz

Potenziert man eine Matrix A, so entspricht dies einer wiederholten Multiplikation der Matrix mit sich selbst.

Potenzieren bedeutet also:

A0=EA1=AA2=A⋅AA3=A⋅A⋅AAn=A⋅A⋅A⋅…⋅A⏟n−mal

Da die Matrixmultiplikation nur bei passender Dimension definiert ist, kann man nur quadratische Matrizen (Dimension n×n;n∈N) potenzieren. Nur in Sonderfällen ist es sinnvoll, auch gebrochene n zuzulassen. Für invertierbare Matrizen kann ein negatives n zugelassen werden, denn A−n=(A−1)n.

Beim Potenzieren von Matrizen können ungewohnte Fälle auftreten.
Zum Beispiel kann Ak=0 oder Ak=A ergeben. Das heißt, ab einer gewissen Potenz entsteht die Nullmatrix oder die ursprüngliche Matrix selbst.
Matrizen mit Ak=0 nennt man nilpotent und solche mit Ak=A idempotent.

Möchte man größere Potenzen von Hand ausrechnen bietet es sich immer an, Zwischenergebnisse von kleineren Potenzen wiederzuverwenden:

A7=(A⋅A⋅A)⏟=A3⋅A3⋅A=(A⋅A)⏟=A2⋅A2⋅A2⋅A

In beiden Fällen sind dann nur 4 statt 6 Multiplikationen notwendig.
Alle Exponenten addiert müssen dabei immer die ursprüngliche Potenz ergeben.

Beispielaufgabe:

Gegeben sind die Matrizen

A=(1110);B=(5−3215−9610−64);C=(1500).

Berechne A3, B2 und C2.

Lösung:

A3=A⋅A⋅A=(1110)⋅(1110)⋅(1110)=(2111)⋅(1110)=(3221)

B2=B⋅B=(5−3215−9610−64)⋅(5−3215−9610−64)=(25−45+20−15+27−1210−18+875−135+60−45+81−3630−54+2450−90+40−30+54−2420−36+16)=(000000000)

B ist nilpotent mit k=2

C2=C⋅C=(1500)⋅(1500)=(1+05+00+00+0)=(1500)=C

C ist idempotent mit k=2

Matrix mit Vektor multiplizieren

Die Multiplikation einer n×m-Matrix mit einem Vektor ist nur dann möglich, wenn der Vektor m Zeilen besitzt, also genauso viele Zeilen wie die Matrix Spalten hat. Der Vektor kann als m×1-Matrix interpretiert werden und damit die Multiplikation von Matrix und Vektor als Spezialfall der Multiplikation zweier Matrizen gesehen werden. Das Ergebnis ist ein Vektor mit n Einträgen, also eine n×1-Matrix.

Zur Multiplikation wird jede Zeile der Matrix mit dem Vektor kombiniert (analog dem Skalarprodukt). Pro Zeile der Matrix entsteht ein Eintrag im Ergebnisvektor.

Am Beispiel einer 3×3-Matrix und einem Vektor im R3:

(a1a2a3b1b2b3c1c2c3)⋅(xyz)=(a1⋅x+a2⋅y+a3⋅zb1⋅x+b2⋅y+b3⋅zc1⋅x+c2⋅y+c3⋅z)

Die Matrix ist im noch nicht zusammengefassten Ergebnisvektor noch erkennbar (Einträge a1,...,c3), während der Vektor (Einträge x,y,z) in jedem Eintrag des Ergebnisvektors zur Verwendung kommt.

Beispielaufgabe:

Berechne (1234)⋅(23) und (1020041−11)⋅(220).

Lösung:

(1234)⋅(23)=(1⋅2+2⋅33⋅2+4⋅3)=(818)

(1020041−11)⋅(220)=(1⋅2+0⋅2+2⋅00⋅2+0⋅2+4⋅01⋅2+(−1)⋅2+1⋅0)=(200)