Abiturvorbereitung - Analytische Geometrie - online lernen

Lagebeziehung Gerade – Gerade

Zwei Geraden können auf vier verschiedene Arten zueinander liegen:

• g und h sind parallel, g||h
  
• g und h sind identisch, g=h
  
• g und h schneiden sich
  
• g und h sind windschief

Vorgehensweise beim Untersuchen der gegenseitigen Lage der Geraden:

Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von g und h, sowie g und k:

g:→x=(245)+s⋅(1−21),h:→x=(111)+r⋅(−24−2),k:→x=(164)+t⋅(202)

Lagebeziehung Gerade – Ebene

Geraden und Ebenen können auf drei verschiedene Arten zueinander liegen:

Je nach Darstellungsform der Ebene muss man unterschiedlich vorgehen:

• Parameterform: g und E gleichsetzen und das LGS lösen
• Koordinatenform: g Koordinatenweise in E einsetzen und auflösen
• Normalenform: E in Koordinatenform umwandeln und g einsetzen
  

Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von g und E sowie g und H :

g:→x=(101)+s(45−4),E:x1+x2+3x3=−5,H:→x=(122)+r⋅(2−3−2)+t(43−4)

Lagebeziehung Ebene – Ebene
Koordinatenform

Zwei Ebenen können auf drei verschiedene Arten und Weisen zueinander liegen:

Skizze:

Liegen beide Ebenen in Koordinatenform vor, so betrachtet man beide Gleichungen zusammen als LGS, dessen Lösung (bzw. nicht vorhandene Lösung) angibt, welcher der drei Fälle vorliegt.

Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.

Lagebeziehung Ebene – Ebene
Parameterformen

Zwei Ebenen in Parameterform untersucht man auf gegenseitige Lage, indem man die Parametergleichungen gleichsetzt und das LGS löst. Da drei Gleichungen mit vier Unbekannten (zwei Parameter pro Ebene) entstehen, gibt es entweder keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen. In letzterem Fall muss noch zwischen Schnittgerade oder Identität unterschieden werden.

Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.

E:→x=(802)+r⋅(−411)+s⋅(50−1),F:→x=(101)+t⋅(−301)+u⋅(141),H:→x=(00−2)+v⋅(−552)+w⋅(051)

Lagebeziehung Ebene – Ebene
Mischform

Liegt eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform vor, so setzt man die einzelnen Zeilen der Parameterform in die Koordinaten der Koordinatenform x1,x2,x3 ein. Anschließend löst man diese Gleichung, wobei typischerweise eine Abhängigkeit von den Parametern der ersten Gleichung vorliegt.

Beispielaufgabe:

Bestimme die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H:

E:2x1−2x2+6x3=24,F:→x=(912)+r⋅(−411)+s⋅(100−2),H:→x=r⋅(−332)+s⋅(60−2)

Lageparameter

Lageparameter werden genutzt, um die Lage der Stichprobenelemente bzw. der Elemente der Grundgesamtheit in Bezug auf die Messskala zu setzen. Sie ordnen einer Anzahl von Werten oder einer vom Zufall abhängigen Größe eine einzelne Zahl zu (die zentrale Tendenz), welche die Ausgangswerte möglichst gut repräsentiert.

In der beschreibenden Statistik nutzt man als Lageparameter einer Verteilung vor allem:

• Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
• Median
• Quantile

Als Lageparameter einer (diskreten) Zufallsvariable nutzt man den Erwartungswert der Zufallsvariable.

Ebenen
Koordinatenform

Ebenen im Raum können auch durch Koordinatenformen beschrieben werden:

E:n1x1+n2x2+n3x3=dni,d∈R

wobei die Zahlen n1,n2,n3 die Einträge des Normalenvektors →n der Ebene sind. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Alle Punkte, die Teil der Ebene sind, erfüllen die Koordinatengleichung, wenn man ihre Koordinaten für x1,x2,x3 einsetzt. Dementsprechend können wir überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, indem wir ihn in die Koordinatenform der Ebenen einsetzen. Entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Ebene, ansonsten nicht.

Dieses Verfahren ist − im Vergleich zur Punktprobe mit der Parameterform − besonders geeignet, wenn man für mehrere Punkte überprüfen will, ob sie in einer Ebene liegen. Denn hier muss statt ein ganzes Gleichungssystem zu lösen nur der Wert einer Gleichung berechnet werden.

Beispielaufgabe 1:

Gegeben ist die Ebene E:2x1+4x2−3x3=12.

Bestimme zwei Punkte A

Lösung:

Strategie 1:

Wähle eine Koordinate xi so, dass nixi=d gilt. Die anderen Koordinaten sind dann 0.

Wählt man dafür x1, gilt 2x1=12⇒x1=6.

Der Punkt lautet dann also A (6|0|0).

Strategie 2:

Wähle beliebige Werte für zwei Koordinaten und bestimme die dritte Koordinate dann so, dass sie die Koordinatengleichung löst.

Wähle z.B. x1=4 und x2=4 beliebig, das liefert 2⋅4+4⋅4−3⋅x3=12.

Auflösen nach x3

Der Punkt lautet dann also A (4|4|4).

Beispielaufgabe 2:

Prüfe, ob die Punkte Q (2|2|0) und R (−2|1|4) in E

Lösung:

Punktprobe für Q

Punktprobe für R

Gerade

Spezialfall R2

Im R2 können wir Geraden auf zwei Arten darstellen:

1. In der Haupt- oder Normalform y=mx+c mit Steigung m und y-Achsenabschnitt c
2. In der Parameterform →x=→p+r⋅→u mit Stützvektor →p und Richtungsvektor →u

Skizze:

Ist die Parameterform gegeben und man will die Normalform bestimmen, geht man so vor:

• Aus den Einträgen des Richtungsvektors →u=(uxuy) bestimmt man die Steigung m=uyux
  und setzt diese in die Geradengleichung y=mx+c ein.
• Den aus dem Stützvektor ablesbaren Punkt (px∣py)
  setzt man ebenfalls in diese Gleichung ein, damit lässt sich dann c bestimmen.
  

Beispielaufgabe:

Wie lautet die Gleichung der Geraden g:→x=(11)+s⋅(21) in der Form y=mx+c?

Lösung:

m=uyux=12⇒y=12x+c

P(1∣1) einsetzen und nach c auflösen:

1=12⋅1+c⇒c=1−12=12⇒g:y=12x+12

Ebenen

Parameterform

Eine Ebene E im Raum lässt sich durch einen Stützvektor →p und zwei Spannvektoren →u und →v beschreiben:

E:→x=→p+r⋅→u+s⋅→vr,s∈R

→p zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt (Aufpunkt, Aufsatzpunkt, Stützpunkt) der Ebenen.
Die Spannvektoren →u und →v legen von dort an den Verlauf der Ebene fest. Man sagt auch, sie spannen die Ebene auf.

Skizze:

Sind drei verschiedene Punkte  A, B und C gegeben, die nicht auf einer Gerade liegen, so kann man durch sie eindeutig eine Ebene festlegen:

E:→x=→(OA)+r⋅→AB+s⋅→AC

Beispielaufgabe:

Bestimme zwei unterschiedliche Parametergleichungen einer Ebene, die durch
A(1∣2∣3), B(−2∣0∣3) und C(10∣10∣9) festgelegt ist.

Lösung:

Es sind beispielsweise möglich:

E:→x=→OA+r⋅→AB+s⋅→AC=(123)+r⋅(−3−20)+s⋅(986)

oder

E:→x=→OB+r⋅→BA+s⋅→BC=(−203)+r⋅(320)+s⋅(12106)

Parameterform von Geraden

Eine Gerade g kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

g:→x=→p+r⋅→u;r∈R

Diese Darstellung heißt Parameterform:

• →p ist der Stützvektor und zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt (Aufpunkt, Aufsatzpunkt, Startpunkt) der Geraden.
• →u ist der Richtungsvektor und beschreibt somit den Verlauf der Geraden (vom Aufpunkt an).

Sind zwei Punkte A und B der Geraden gegeben, so kann damit die Parameterform bestimmt werden:

→x=→OA+r⋅→AB

Skizze:

Beispielaufgabe:

Bestimme zwei verschiedene Parametergleichungen der Geraden durch A(1∣2∣3) und B(2∣0∣1).

Lösung:

Möglich sind beispielsweise

g:→x=→OA+r⋅→AB=(123)+r⋅(1−2−2);r∈R
oder
g:→x=→OB+s⋅→BA=(201)+s⋅(−122);s∈R

Geraden

Punkte berechnen

Die Ortsvektoren von Punkten, die auf einer gegebenen Geraden

g:→x=→p+r⋅→u;r∈R

liegen, erhält man, indem man für den Parameter r beliebige Werte einsetzt.

Beispielaufgabe:

Bestimme vier verschiedene Punkte A,B,C und D, die auf der folgenden Geraden liegen:

g:→x=(33−3)+s⋅(0−27)

Lösung:

s=0:→OA=(33−3)+0⋅(0−27)=(33−3)⇒A(3∣3∣−3)

s=1:→OB=(33−3)+1⋅(0−27)=(314)⇒B(3∣1∣4)

s=−1:→OC=(33−3)+(−1)⋅(0−27)=(35−10)⇒C(3∣5∣−10)

s=10:→OD=(33−3)+10⋅(0−27)=(3−1767)⇒D(3∣−17∣67)

Ebenen

Normalenform

Die Normalenform ist eine weitere Darstellungsart von Ebenen im Raum. Sie lautet

E:(→x−→p)⋅→n=0

Dabei ist →p ein Stützvektor der Ebene, also der Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt.
→n ist ein Normalenvektor der Ebene.

Für →x kann man nun die Ortsvektoren beliebiger Punkte X(x1∣x2∣x3) in die Gleichung einsetzen.
Entsteht dadurch eine wahre Aussage, gilt X∈E, andernfalls nicht.

Geometrisch betrachtet, berechnet man in der Klammer den Verbindungsvektor zwischen dem Ortsvektor des eingesetzten Punktes und dem Aufsatzpunkt →p der Ebene. Nur wenn der eingesetzte Punkt Teil der Ebene ist, liegt auch der berechnete Verbindungsvektor innerhalb der Ebene. Dieser steht dann senkrecht zum Normalenvektor der Ebene, das Skalarprodukt beider Vektoren ergibt somit 0.

Skizze:

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:(→x−(101))⋅(2−2−1)=0.

1. Bestimme einen Punkt A, der in E liegt.
2. Prüfe, ob Q(5∣−6∣20) in E enthalten sind.

Lösung:

a. Man setzt x1=x3=0.
Damit lautet das Skalarprodukt −2−2x2+1=0.
Auflösen nach x2 liefert x2=−12.
Der Punkt lautet also A(0∣−12∣0).

Die Punktprobe für A bestätigt das:

((0−120)−(101))⋅(2−2−1)=0⇔(−1−12−1)⋅(2−2−1)=0⇒−2+1+1=0

b. Punktprobe für Q:

((5−620)−(101))⋅(2−2−1)=0⇒(4−619)⋅(2−2−1)=0⇒1=0⇒Q∉E

Ebenen umformen
Parameterform Koordinatenform

Gegeben ist eine Ebene E in Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→v.
Zur Umwandlung in die Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d können folgende Schritte durchgeführt werden:

1. Normalenvektor per Kreuzprodukt bestimmen:

→n=→u×→v 

     2. Normalenform aufstellen, wobei →p der Stützvektor der Parameterform ist:

(→x−→p)⋅→n=0

     3. Normalenform ausmultiplizieren:

→x⋅→n−→p⋅→n=0

⟺→n⋅→x=→n⋅→p

⟺n1x1+n2x2+n3x3=d

d entspricht dabei dem Skalarprodukt →n⋅→p.

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:→x=(2−23)+r⋅(120)+s⋅(405).

Wandle die Ebene über die Normalenform in die Koordinatenform um.

Lösung:

1. →n=(120)×(405)=(10−5−8)

2. E:(→x−(2−23))⋅(10−5−8)=0

3. (10−5−8)⋅(x1x2x3)−(10−5−8)⋅(2−23)=0⇒(10−5−8)⋅(x1x2x3)=(10−5−8)⋅(2−23)

Rechnet man beide Skalarprodukte aus, erhält man
10x1−5x2−8x3=10⋅2+(−5)⋅(−2)+(−8)⋅3=6

Die Koordinatenform lautet damit
E:10x1−5x2−8x3=6

Ebenen umformen
Koordinatenform Normalenform

Die Normalenform (→x−→p)⋅→n=0 einer Ebene lässt sich schnell und mit relativ wenig Rechenaufwand aus der Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d zusammensetzen.

Für die Normalenform benötigen wir:

1. Einen beliebigen Punkt der Ebene:
   Bestimme einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt.
   Bis zu zwei Koordinaten können dabei beliebig gewählt werden, die letzte verbleibende Koordinate muss dann so berechnet werden, dass die Koordinatengleichung stimmt.

2. Den Normalenvektor:
   Dieser lässt sich aus den Koeffizienten der Koordinatenform ablesen:
   E:n1x1+n2x2+n3x3=d⇒→n=(n1n2n3)

Beispielaufgabe:

Bestimme eine Normalenform der Ebene E:4x1−x2−x3=1.

Lösung:

Wähle x1=x2=0, dann muss x3=−1 gelten,
damit die Gleichung 4⋅0−0−(−1)=1 erfüllt ist.
Der zugehörige Punkt lautet also P(0∣0∣−1).

Den Normalenvektor kann man aus der Gleichung ablesen:
→n=(4−1−1)

Die Normalenform lautet damit
E:(→x−(00−1))⋅(4−1−1)=0

Ebenen umformen
Koordinatenform Parameterform

Wenn die Gleichung einer Ebene in der Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d  gegeben ist, lässt sich diese in die Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→v umwandeln. Dazu bestimmt man drei beliebige Punkte A,B und C, welche die Koordinatengleichung erfüllen – also in der Ebenen liegen – und nutzt diese Punkte, um die Parameterform der Ebene aufzustellen.

E:→x=→p+r⋅→u+s⋅→v=→OA+r⋅→AB+s⋅→AC

Beispielaufgabe:

Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E:4x1+3x2−2x3=6.

Lösung:

Wähle drei Punkte A(0∣2∣0);B(2∣0∣1);C(0∣0∣−3), die die Koordinatengleichung erfüllen.

Berechne die Verbindungsvektoren →AB=(2−21) und →AC=(0−2−3) und setze in die Parametergleichung ein:

E:→x=(020)+r⋅(2−21)+s⋅(0−2−3)

Ebenen umformen
Normalenform→ Parameterform

Gegeben ist die Normalenform (→x−→p)⋅→n=0 einer Ebene. Um die Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→v zu erhalten, benötigt man einen Stützvektor →p, welchen man direkt aus der Normalenform übernehmen kann. Es sind aber noch zwei Spannvektoren →u und →v nötig, welche folgende Eigenschaften erfüllen müssen:

1. →u und →v sind linear unabhängig, also kein Vielfaches voneinander

→u=k⋅→v⟹k=0

2. →u und →v sind beide senkrecht zu →n

→u⋅→n=0 und →v⋅→n=0

Beispielaufgabe:

Bestimme eine Parameterdarstellung der Ebene E=(→x−(55−1))⋅(042)=0.

Lösung:

Lies den Stützvektor ab:  →p=(55−1).

Bestimmung der Richtungsvektoren →u und →v:

(u1u2u3)⋅(042)=0⇔4u2+2u3=0
(v1v2v3)⋅(042)=0⇔4v2+2v3=0

Allgemein entstehen dabei zwei Gleichungen mit je drei Unbekannten. Da hier n1=0 gilt, enthalten beide Gleichungen nur zwei Variablen. Man darf je zwei Variablen annähernd frei wählen. Zu beachten ist jedoch, dass →u und →v keine Vielfache voneinander sein dürfen und durch das Wählen der Koordinaten nicht der Nullvektor entstehen darf. Allgemein ist es sinnvoll, die Koordinaten möglichst einfach zu wählen, d.h. so viele Koordinaten wie möglich 0 zu setzen sowie möglichst ganze und keine unnötig großen Zahlen entstehen zu lassen.

Wähle u1=1;u2=0⇒0+2u3=0⇔u3=0
Wähle v1=0;v2=1⇒4+2v3=0⇔v3=−2

Die beiden Richtungsvektoren lauten damit also →u=(100) und →v=(01−2),
als Ebenengleichung erhält man E:→x=(55−1)+r⋅(100)+s⋅(01−2).

Ebenen umformen
Parameterform →  Koordinatenform

Die Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→v lässt sich auch auf dem direkten Weg – also ohne über die Normalenform zu gehen – in die Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=d umwandeln. Dazu sparen wir uns das explizite Aufstellen der Normalenform, der Normalenvektor der Ebene wird jedoch auch hierfür benötigt.

Die Schritte zum Aufstellen der Koordinatenform lauten:

1. Normalenvektor per Kreuzprodukt bestimmen:

→n=→u×→v

     2. Normalenvektor einsetzen und d berechnen:

→n⋅→x=→n⋅→p⇔n1x1+n2x2+n3x3=d

d entsteht aus dem Skalarprodukt →n⋅→p und →p ist der Stützvektor der Parameterform.

Beispielaufgabe:

Wandle die Ebene E:→x=(11−1)+r⋅(49−8)+s⋅(−132) in die Koordinatenform um.

Lösung:

Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmen:

→n=(49−8)×(−132)=(42021)

Da es beim Normalenvektor einer Ebene nicht auf Länge ankommt, können wir diesen Vektor etwas kürzen. Wir dividieren alle Einträge durch 21 und erhalten:

→n=(201)

Stelle damit nun die Koordinatenform →n⋅→x=→n⋅→p auf:

2x1+0x2+1x3=2⋅1+0⋅1+1⋅(−1)⇔2x1+x3=1

Koordinatenform

Punktprobe

Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform

E:n1x1+n2x2+n3x3=d.

Will man von einem Punkt P wissen, ob er in der Ebene liegt, setzt man die Koordinaten von P

Beispielaufgabe:

Prüfe, ob die Punkte A (10|−1|−6);B (0|0|17);C (2|1|6)
in E:3x1+6x2+x3=18 enthalten sind.

Lösung:

Punktprobe mit A

Punktprobe mit B

Punktprobe mit C

Normalenform

Punktprobe

Liegt eine Ebene in Normalenform

E:(→x−→p)⋅→n=0

vor, so prüft man, ob ein Punkt A

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:(→x−(600))⋅(361)=0.

Prüfe, ob die Punkte A(10|−1|−6) bzw. B(0|0|17) in der Ebene liegen.

Lösung:

Punktprobe mit A

((10−1−6)−(600))⋅(361)=0⟺(4−1−6)⋅(361)=0

⇔12−6−6=0⇔0=0⇒A∈E

Punktprobe mit B

((0017)−(600))⋅(361)=0⇔(−6017)⋅(361)=0

⇔−18+17=0⇔−1=0 ↯ ⇒B∉E

Geraden

Punktprobe

Um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt A auf einer Geraden g liegt, führt man eine Punktprobe durch. Dazu setzt man den Ortsvektor →OA des gegebenen Punktes für →x in die Parametergleichung g:→x=→p+s⋅→u;s∈R der Geraden ein. Anschließend löst man zeilenweise nach dem Parameter s auf.

Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Sind alle drei Zeilen ohne Widerspruch für den gleichen Wert für s lösbar, so liegt der Punkt auf der Geraden, es gilt also A∈g.
2. Entsteht in mindestens einer der Zeilen ein Widerspruch (z.B. die Gleichung 0=1) oder erhält man durch das Auflösen verschiedene Werte für den Parameter s, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden, es gilt also A∉g.

Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Gerade g:→x=(224)+s⋅(10−1).