Hier findest du Materialen zur Vorbereitung auf deine Abiturprüfung – Analytischen Geometrie
Zwei Geraden können auf vier verschiedene Arten zueinander liegen:
Vorgehensweise beim Untersuchen der gegenseitigen Lage der Geraden:
Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von g und h, sowie g und k:
Lösung:g und h: Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, also linear abhängig. g und k: Die Richtungsvektoren sind keine Vielfache, also linear unabhängig. g und k schneiden sich im Punkt (t in k oder s in g einsetzen). |
Geraden und Ebenen können auf drei verschiedene Arten zueinander liegen:
Je nach Darstellungsform der Ebene muss man unterschiedlich vorgehen:
Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von g und E sowie g und H :
Lösung: gund E: g und H: Die letzte Zeile führt zu einer falschen Aussage. Es gibt keine Lösung, also keinen gemeinsamen Punkt. g verläuft parallel zu E, g||E . |
Zwei Ebenen können auf drei verschiedene Arten und Weisen zueinander liegen:
Skizze:
Liegen beide Ebenen in Koordinatenform vor, so betrachtet man beide Gleichungen zusammen als LGS, dessen Lösung (bzw. nicht vorhandene Lösung) angibt, welcher der drei Fälle vorliegt.
Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.
Lösung:E und F: Nun haben wir Lösungen für in Abhängigkeit vom Parameter : als Gerade ausgeschrieben: E und H: Falsche Aussage. Die Ebenen schneiden sich nicht, sind also parallel. Dies erkennt man auch daran, dass die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Hätte die letzte Gleichung ergeben , also eine wahre Aussage, dann wären die Ebenen identisch. |
Zwei Ebenen in Parameterform untersucht man auf gegenseitige Lage, indem man die Parametergleichungen gleichsetzt und das LGS löst. Da drei Gleichungen mit vier Unbekannten (zwei Parameter pro Ebene) entstehen, gibt es entweder keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen. In letzterem Fall muss noch zwischen Schnittgerade oder Identität unterschieden werden.
Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.
Liegt eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform vor, so setzt man die einzelnen Zeilen der Parameterform in die Koordinaten der Koordinatenform ein. Anschließend löst man diese Gleichung, wobei typischerweise eine Abhängigkeit von den Parametern der ersten Gleichung vorliegt.
Beispielaufgabe:
Bestimme die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H:
Lageparameter werden genutzt, um die Lage der Stichprobenelemente bzw. der Elemente der Grundgesamtheit in Bezug auf die Messskala zu setzen. Sie ordnen einer Anzahl von Werten oder einer vom Zufall abhängigen Größe eine einzelne Zahl zu (die zentrale Tendenz), welche die Ausgangswerte möglichst gut repräsentiert.
In der beschreibenden Statistik nutzt man als Lageparameter einer Verteilung vor allem:
Als Lageparameter einer (diskreten) Zufallsvariable nutzt man den Erwartungswert der Zufallsvariable.
Ebenen im Raum können auch durch Koordinatenformen beschrieben werden:
wobei die Zahlen die Einträge des Normalenvektors der Ebene sind. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.
Alle Punkte, die Teil der Ebene sind, erfüllen die Koordinatengleichung, wenn man ihre Koordinaten für einsetzt. Dementsprechend können wir überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, indem wir ihn in die Koordinatenform der Ebenen einsetzen. Entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Ebene, ansonsten nicht.
Dieses Verfahren ist − im Vergleich zur Punktprobe mit der Parameterform − besonders geeignet, wenn man für mehrere Punkte überprüfen will, ob sie in einer Ebene liegen. Denn hier muss statt ein ganzes Gleichungssystem zu lösen nur der Wert einer Gleichung berechnet werden.
Beispielaufgabe 1:
Gegeben ist die Ebene .
Bestimme zwei Punkte
Lösung:
Strategie 1:
Wähle eine Koordinate so, dass gilt. Die anderen Koordinaten sind dann 0.
Wählt man dafür , gilt .
Der Punkt lautet dann also .
Strategie 2:
Wähle beliebige Werte für zwei Koordinaten und bestimme die dritte Koordinate dann so, dass sie die Koordinatengleichung löst.
Wähle z.B. und beliebig, das liefert .
Auflösen nach
Der Punkt lautet dann also .
Beispielaufgabe 2:
Prüfe, ob die Punkte und in
Lösung:
Punktprobe für
Punktprobe für
Im können wir Geraden auf zwei Arten darstellen:
Skizze:
Ist die Parameterform gegeben und man will die Normalform bestimmen, geht man so vor:
Beispielaufgabe:
Wie lautet die Gleichung der Geraden in der Form ?
Lösung:
einsetzen und nach auflösen:
Eine Ebene im Raum lässt sich durch einen Stützvektor und zwei Spannvektoren und beschreiben:
zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt (Aufpunkt, Aufsatzpunkt, Stützpunkt) der Ebenen.
Die Spannvektoren und legen von dort an den Verlauf der Ebene fest. Man sagt auch, sie spannen die Ebene auf.
Skizze:
Sind drei verschiedene Punkte , und gegeben, die nicht auf einer Gerade liegen, so kann man durch sie eindeutig eine Ebene festlegen:
Beispielaufgabe:
Bestimme zwei unterschiedliche Parametergleichungen einer Ebene, die durch
, und festgelegt ist.
Lösung:
Es sind beispielsweise möglich:
oder
Eine Gerade kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
Diese Darstellung heißt Parameterform:
Sind zwei Punkte und der Geraden gegeben, so kann damit die Parameterform bestimmt werden:
Skizze:
Beispielaufgabe:
Bestimme zwei verschiedene Parametergleichungen der Geraden durch und .
Lösung:
Möglich sind beispielsweise
oder
Die Ortsvektoren von Punkten, die auf einer gegebenen Geraden
liegen, erhält man, indem man für den Parameter beliebige Werte einsetzt.
Beispielaufgabe:
Bestimme vier verschiedene Punkte und , die auf der folgenden Geraden liegen:
Lösung:
Die Normalenform ist eine weitere Darstellungsart von Ebenen im Raum. Sie lautet
Dabei ist ein Stützvektor der Ebene, also der Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt.
ist ein Normalenvektor der Ebene.
Für kann man nun die Ortsvektoren beliebiger Punkte in die Gleichung einsetzen.
Entsteht dadurch eine wahre Aussage, gilt , andernfalls nicht.
Geometrisch betrachtet, berechnet man in der Klammer den Verbindungsvektor zwischen dem Ortsvektor des eingesetzten Punktes und dem Aufsatzpunkt der Ebene. Nur wenn der eingesetzte Punkt Teil der Ebene ist, liegt auch der berechnete Verbindungsvektor innerhalb der Ebene. Dieser steht dann senkrecht zum Normalenvektor der Ebene, das Skalarprodukt beider Vektoren ergibt somit .
Skizze:
Beispielaufgabe:
Gegeben ist die Ebene .
Lösung:
a. Man setzt .
Damit lautet das Skalarprodukt .
Auflösen nach liefert .
Der Punkt lautet also .
Die Punktprobe für bestätigt das:
b. Punktprobe für :
Gegeben ist eine Ebene in Parameterform .
Zur Umwandlung in die Koordinatenform können folgende Schritte durchgeführt werden:
2. Normalenform aufstellen, wobei der Stützvektor der Parameterform ist:
3. Normalenform ausmultiplizieren:
entspricht dabei dem Skalarprodukt .
Beispielaufgabe:
Gegeben ist die Ebene .
Wandle die Ebene über die Normalenform in die Koordinatenform um.
Lösung:
1.
2.
3.
Rechnet man beide Skalarprodukte aus, erhält man
Die Koordinatenform lautet damit
Die Normalenform einer Ebene lässt sich schnell und mit relativ wenig Rechenaufwand aus der Koordinatenform zusammensetzen.
Für die Normalenform benötigen wir:
Beispielaufgabe:
Bestimme eine Normalenform der Ebene .
Lösung:
Wähle , dann muss gelten,
damit die Gleichung erfüllt ist.
Der zugehörige Punkt lautet also .
Den Normalenvektor kann man aus der Gleichung ablesen:
Die Normalenform lautet damit
Wenn die Gleichung einer Ebene in der Koordinatenform gegeben ist, lässt sich diese in die Parameterform umwandeln. Dazu bestimmt man drei beliebige Punkte und , welche die Koordinatengleichung erfüllen – also in der Ebenen liegen – und nutzt diese Punkte, um die Parameterform der Ebene aufzustellen.
Beispielaufgabe:
Bestimme eine Parametergleichung der Ebene .
Lösung:
Wähle drei Punkte , die die Koordinatengleichung erfüllen.
Berechne die Verbindungsvektoren und und setze in die Parametergleichung ein:
Gegeben ist die Normalenform einer Ebene. Um die Parameterform zu erhalten, benötigt man einen Stützvektor , welchen man direkt aus der Normalenform übernehmen kann. Es sind aber noch zwei Spannvektoren und nötig, welche folgende Eigenschaften erfüllen müssen:
und
Beispielaufgabe:
Bestimme eine Parameterdarstellung der Ebene .
Lösung:
Lies den Stützvektor ab: .
Bestimmung der Richtungsvektoren und :
Allgemein entstehen dabei zwei Gleichungen mit je drei Unbekannten. Da hier gilt, enthalten beide Gleichungen nur zwei Variablen. Man darf je zwei Variablen annähernd frei wählen. Zu beachten ist jedoch, dass und keine Vielfache voneinander sein dürfen und durch das Wählen der Koordinaten nicht der Nullvektor entstehen darf. Allgemein ist es sinnvoll, die Koordinaten möglichst einfach zu wählen, d.h. so viele Koordinaten wie möglich 0 zu setzen sowie möglichst ganze und keine unnötig großen Zahlen entstehen zu lassen.
Wähle
Wähle
Die beiden Richtungsvektoren lauten damit also und ,
als Ebenengleichung erhält man .
Die Parameterform lässt sich auch auf dem direkten Weg – also ohne über die Normalenform zu gehen – in die Koordinatenform umwandeln. Dazu sparen wir uns das explizite Aufstellen der Normalenform, der Normalenvektor der Ebene wird jedoch auch hierfür benötigt.
Die Schritte zum Aufstellen der Koordinatenform lauten:
2. Normalenvektor einsetzen und berechnen:
entsteht aus dem Skalarprodukt und ist der Stützvektor der Parameterform.
Beispielaufgabe:
Wandle die Ebene in die Koordinatenform um.
Lösung:
Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmen:
Da es beim Normalenvektor einer Ebene nicht auf Länge ankommt, können wir diesen Vektor etwas kürzen. Wir dividieren alle Einträge durch 21 und erhalten:
Stelle damit nun die Koordinatenform auf:
Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform
.
Will man von einem Punkt wissen, ob er in der Ebene liegt, setzt man die Koordinaten von
Beispielaufgabe:
Prüfe, ob die Punkte
in enthalten sind.
Lösung:
Punktprobe mit
Punktprobe mit
Punktprobe mit
Liegt eine Ebene in Normalenform
vor, so prüft man, ob ein Punkt
Beispielaufgabe:
Gegeben ist die Ebene .
Prüfe, ob die Punkte bzw. in der Ebene liegen.
Lösung:
Punktprobe mit
Punktprobe mit
↯
Um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt auf einer Geraden liegt, führt man eine Punktprobe durch. Dazu setzt man den Ortsvektor des gegebenen Punktes für in die Parametergleichung der Geraden ein. Anschließend löst man zeilenweise nach dem Parameter auf.
Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
Beispielaufgabe:
Gegeben ist die Gerade .
Prüfe, ob die Punkte , und auf dieser Geraden liegen.
Lösung:
Punktprobe mit :
In der mittleren Zeile ergibt sich ein Widerspruch
liegt nicht auf .
Punktprobe mit :
Die wahre Aussage in der mittleren Zeile gilt für beliebige , also auch für .
Somit sind alle drei Zeilen für lösbar.
liegt auf .
Punktprobe mit :
Man erhält keinen eindeutigen Wert für .
liegt nicht auf .
Bei der Parameterform der Ebene
führt man eine Punktprobe mit dem Punkt durch, indem man den Ortsvektor dieses Punktes für einsetzt und das LGS löst. Ist es lösbar, liegt der Punkt in der Ebene und man erhält gleichzeitig die entsprechenden Werte für die Parameter und . Ansonsten entsteht eine falsche Aussage und der Punkt liegt nicht in der Ebene.
Beispielaufgabe:
Prüfe, ob die Punkte und in
enthalten sind.
Lösung:
Punktprobe mit
Punktprobe mit
Analytische Geometrie - Klausur
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1198
Schwierigkeitsgrad 1 / Serie 01
Aufgabe 1
Gib zu den folgenden gegebenen Ebenen und/oder Geraden die Lagebeziehung an und begründe deine Entscheidung mathematisch. Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt. Eine Schnittgerade muss nicht berechnet werden. Rechne zudem die Ebenen in die Koordinatenform um und trage diese auf dem Arbeitsblatt ein. Berechne die Winkel, falls ein/e Schnittpunkt/-gerade vorliegt.
a) | b) | ||
c) | d) | ||
Aufgabe 2
Berechne den Abstand des angegebenen Punktes zu den folgenden Ebenen/Geraden.
a) | b) | ||
c) | Beschreibe, wie sich der Abstand zweier paralleler Geraden rechnerisch ermitteln lässt. |
Aufgabe 3
Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte und und die Ebene ein und benenne die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem, indem du die Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellst.
Analytische Geometrie - Klausur
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 1199
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 12369
Schwierigkeitsgrad 3
Arbeitsblatt-Nr. 1200