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Abiturprüfung

Abiturvorbereitung - Analytische Geometrie - online lernen

Hier findest du Materialen zur Vorbereitung auf deine Abiturprüfung – Analytischen Geometrie

Wiki zum Thema: Abiturprüfung

Lagebeziehung Gerade – Gerade

Zwei Geraden können auf vier verschiedene Arten zueinander liegen:

  • g und h sind parallel, g||h
  • g und h sind identisch, g=h
  • g und h schneiden sich
  • g und h sind windschief

Vorgehensweise beim Untersuchen der gegenseitigen Lage der Geraden:

Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von g und h, sowie g und k:

g:→x=(245)+s⋅(1−21),h:→x=(111)+r⋅(−24−2),k:→x=(164)+t⋅(202)g:x⃗ =⎛⎝⎜245⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜1−21⎞⎠⎟,h:x⃗ =⎛⎝⎜111⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜−24−2⎞⎠⎟,k:x⃗ =⎛⎝⎜164⎞⎠⎟+t⋅⎛⎝⎜202⎞⎠⎟

Lösung:g und h:

Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, also linear abhängig.

(245)=(111)+r⋅(−24−2)⇒1=−2r⇒r=−123=4r⇒r=344=−2r⇒r=−2⇒g||h⎛⎝⎜245⎞⎠⎟=⎛⎝⎜111⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜−24−2⎞⎠⎟⇒1=−2r⇒r=−123=4r⇒r=344=−2r⇒r=−2⇒g||h

g und k:

Die Richtungsvektoren sind keine Vielfache, also linear unabhängig.

(245)+s⋅(1−21)=(164)+t⋅(202)⇒...⇒(10|001|−1000)⇒t=0,s=−1⎛⎝⎜245⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜1−21⎞⎠⎟=⎛⎝⎜164⎞⎠⎟+t⋅⎛⎝⎜202⎞⎠⎟⇒...⇒⎛⎝⎜100010|0|−10⎞⎠⎟⇒t=0,s=−1

g und k schneiden sich im Punkt S(1,6,4)S(1,6,4) (t in k oder s in g einsetzen).


Lagebeziehung Gerade – Ebene

Geraden und Ebenen können auf drei verschiedene Arten zueinander liegen:

Je nach Darstellungsform der Ebene muss man unterschiedlich vorgehen:

  • Parameterform: g und E gleichsetzen und das LGS lösen
  • Koordinatenform: g Koordinatenweise in E einsetzen und auflösen
  • Normalenform: E in Koordinatenform umwandeln und g einsetzen


Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von g und E sowie g und H :

g:→x=(101)+s(45−4),E:x1+x2+3x3=−5,H:→x=(122)+r⋅(2−3−2)+t(43−4)g:x⃗ =⎛⎝⎜101⎞⎠⎟+s⎛⎝⎜45−4⎞⎠⎟,E:x1+x2+3x3=−5,H:x⃗ =⎛⎝⎜122⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜2−3−2⎞⎠⎟+t⎛⎝⎜43−4⎞⎠⎟

Lösung: gund E:

(1+4s)+(0+5s)+3(1−4s)=−5⇔...⇔s=3(1+4s)+(0+5s)+3(1−4s)=−5⇔...⇔s=3

→OS=(101)+3(45−4)=(1315−11)⇒S(13,15,−11)OS→=⎛⎝⎜101⎞⎠⎟+3⎛⎝⎜45−4⎞⎠⎟=⎛⎝⎜1315−11⎞⎠⎟⇒S(13,15,−11)

g und H:

(101)+s(45−4)=(122)+r(2−3−2)+t(43−3)→LGS(1049|001−119|0000|1)⎛⎝⎜101⎞⎠⎟+s⎛⎝⎜45−4⎞⎠⎟=⎛⎝⎜122⎞⎠⎟+r⎛⎝⎜2−3−2⎞⎠⎟+t⎛⎝⎜43−3⎞⎠⎟LGS−→−−⎛⎝⎜⎜10001049−1190|0|0|1⎞⎠⎟⎟

Die letzte Zeile führt zu einer falschen Aussage. Es gibt keine Lösung, also keinen gemeinsamen Punkt. g verläuft parallel zu E, g||E .

Lagebeziehung Ebene – Ebene
Koordinatenform

Zwei Ebenen können auf drei verschiedene Arten und Weisen zueinander liegen:

Skizze:

Liegen beide Ebenen in Koordinatenform vor, so betrachtet man beide Gleichungen zusammen als LGS, dessen Lösung (bzw. nicht vorhandene Lösung) angibt, welcher der drei Fälle vorliegt.


Beispielaufgabe:

Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.

Lösung:E und F:

Ix1+x2−5x3=3⇒(x1inH)⇒x3=1+tIx1+x2−5x3=3⇒(x1inH)⇒x3=1+t

II−1x1+x3=1II−1x1+x3=1

⇒inI⇒t+2x2−5(1+t)=3⇔x2=4+2t⇒inI⇒t+2x2−5(1+t)=3⇔x2=4+2t

Nun haben wir Lösungen für x1,x2,x3x1,x2,x3 in Abhängigkeit vom Parameter tt:

→x=(t4+2t1+t)x⃗ =⎛⎝⎜t4+2t1+t⎞⎠⎟ als Gerade ausgeschrieben: g:→x=(041)+t⋅(121)g:x⃗ =⎛⎝⎜041⎞⎠⎟+t⋅⎛⎝⎜121⎞⎠⎟

E und H:

Ix1+2x2−5x3=3⇒(I⋅5−II)⇒x1+2x2−5x3=3Ix1+2x2−5x3=3⇒(I⋅5−II)⇒x1+2x2−5x3=3

II5x1+10x2−25x3=40=−11II5x1+10x2−25x3=40=−11

⇒⇒ Falsche Aussage. Die Ebenen schneiden sich nicht, sind also parallel.

Dies erkennt man auch daran, dass die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

Hätte die letzte Gleichung ergeben 0=00=0, also eine wahre Aussage, dann wären die Ebenen identisch.

Lagebeziehung Ebene – Ebene
Parameterformen


Zwei Ebenen in Parameterform untersucht man auf gegenseitige Lage, indem man die Parametergleichungen gleichsetzt und das LGS löst. Da drei Gleichungen mit vier Unbekannten (zwei Parameter pro Ebene) entstehen, gibt es entweder keine Lösungen oder unendlich viele Lösungen. In letzterem Fall muss noch zwischen Schnittgerade oder Identität unterschieden werden.


Beispielaufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H.

E:→x=(802)+r⋅(−411)+s⋅(50−1),F:→x=(101)+t⋅(−301)+u⋅(141),H:→x=(00−2)+v⋅(−552)+w⋅(051)E:x⃗ =⎛⎝⎜802⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜−411⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜50−1⎞⎠⎟,F:x⃗ =⎛⎝⎜101⎞⎠⎟+t⋅⎛⎝⎜−301⎞⎠⎟+u⋅⎛⎝⎜141⎞⎠⎟,H:x⃗ =⎛⎝⎜00−2⎞⎠⎟+v⋅⎛⎝⎜−552⎞⎠⎟+w⋅⎛⎝⎜051⎞⎠⎟


Lagebeziehung Ebene – Ebene
Mischform


Liegt eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform vor, so setzt man die einzelnen Zeilen der Parameterform in die Koordinaten der Koordinatenform x1,x2,x3x1,x2,x3 ein. Anschließend löst man diese Gleichung, wobei typischerweise eine Abhängigkeit von den Parametern der ersten Gleichung vorliegt.


Beispielaufgabe:

Bestimme die gegenseitige Lage von E und F, sowie E und H:

E:2x1−2x2+6x3=24,F:→x=(912)+r⋅(−411)+s⋅(100−2),H:→x=r⋅(−332)+s⋅(60−2)E:2x1−2x2+6x3=24,F:x⃗ =⎛⎝⎜912⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜−411⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜100−2⎞⎠⎟,H:x⃗ =r⋅⎛⎝⎜−332⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜60−2⎞⎠⎟


Lageparameter


Lageparameter werden genutzt, um die Lage der Stichprobenelemente bzw. der Elemente der Grundgesamtheit in Bezug auf die Messskala zu setzen. Sie ordnen einer Anzahl von Werten oder einer vom Zufall abhängigen Größe eine einzelne Zahl zu (die zentrale Tendenz), welche die Ausgangswerte möglichst gut repräsentiert.

In der beschreibenden Statistik nutzt man als Lageparameter einer Verteilung vor allem:

  • Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel
  • Median
  • Quantile

Als Lageparameter einer (diskreten) Zufallsvariable nutzt man den Erwartungswert der Zufallsvariable.

Ebenen
Koordinatenform


Ebenen im Raum können auch durch Koordinatenformen beschrieben werden:

E:n1x1+n2x2+n3x3=dni,d∈RE:n1x1+n2x2+n3x3=dni,d∈R

wobei die Zahlen n1,n2,n3n1,n2,n3 die Einträge des Normalenvektors →nn⃗  der Ebene sind. Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene.

Alle Punkte, die Teil der Ebene sind, erfüllen die Koordinatengleichung, wenn man ihre Koordinaten für x1,x2,x3x1,x2,x3 einsetzt. Dementsprechend können wir überprüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt, indem wir ihn in die Koordinatenform der Ebenen einsetzen. Entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt auf der Ebene, ansonsten nicht.

Dieses Verfahren ist − im Vergleich zur Punktprobe mit der Parameterform − besonders geeignet, wenn man für mehrere Punkte überprüfen will, ob sie in einer Ebene liegen. Denn hier muss statt ein ganzes Gleichungssystem zu lösen nur der Wert einer Gleichung berechnet werden.


Beispielaufgabe 1:

Gegeben ist die Ebene E:2x1+4x2−3x3=12E:2x1+4x2−3x3=12.

Bestimme zwei Punkte A

A
und B
B
, die in E
E
liegen.


Lösung:

Strategie 1:

Wähle eine Koordinate xixi so, dass nixi=dnixi=d gilt. Die anderen Koordinaten sind dann 0.

Wählt man dafür x1x1, gilt 2x1=12⇒x1=62x1=12⇒x1=6.

Der Punkt lautet dann also A (6|0|0)A (6|0|0).

Strategie 2:

Wähle beliebige Werte für zwei Koordinaten und bestimme die dritte Koordinate dann so, dass sie die Koordinatengleichung löst.

Wähle z.B. x1=4x1=4 und x2=4x2=4 beliebig, das liefert 2⋅4+4⋅4−3⋅x3=122⋅4+4⋅4−3⋅x3=12.

Auflösen nach x3

x3
ergibt dann 24−3⋅x3=12⇒−3⋅x3=−12⇒x3=4
24−3⋅x3=12⇒−3⋅x3=−12⇒x3=4
.

Der Punkt lautet dann also A (4|4|4)A (4|4|4).


Beispielaufgabe 2:

Prüfe, ob die Punkte Q (2|2|0)Q (2|2|0) und R (−2|1|4)R (−2|1|4) in E

E
enthalten sind.


Lösung:

Punktprobe für Q

Q
:
2⋅2+4⋅2−3⋅0=12⟹4+8=12⇒12=12⇒Q∈E2⋅2+4⋅2−3⋅0=12⟹4+8=12⇒12=12⇒Q∈E

Punktprobe für R

R
:
2⋅(−2)+4⋅1−3⋅4=12⟹−4+4−12=12⇒−12=12⇒R∉E2⋅(−2)+4⋅1−3⋅4=12⟹−4+4−12=12⇒−12=12⇒R∉E

Gerade

Spezialfall R2R2

Im R2R2 können wir Geraden auf zwei Arten darstellen:

  1. In der Haupt- oder Normalform y=mx+cy=mx+c mit Steigung mm und yy-Achsenabschnitt cc
  2. In der Parameterform →x=→p+r⋅→ux⃗ =p⃗ +r⋅u⃗  mit Stützvektor →pp⃗  und Richtungsvektor →uu⃗ 

Skizze:

Ist die Parameterform gegeben und man will die Normalform bestimmen, geht man so vor:

  • Aus den Einträgen des Richtungsvektors →u=(uxuy)u⃗ =(uxuy) bestimmt man die Steigung m=uyux
    m=uyux
    und setzt diese in die Geradengleichung y=mx+cy=mx+c ein.
  • Den aus dem Stützvektor ablesbaren Punkt (px∣py)
    (px∣py)
    setzt man ebenfalls in diese Gleichung ein, damit lässt sich dann cc bestimmen.


Beispielaufgabe:

Wie lautet die Gleichung der Geraden g:→x=(11)+s⋅(21)g:x⃗ =(11)+s⋅(21) in der Form y=mx+cy=mx+c?

Lösung:

m=uyux=12⇒y=12x+cm=uyux=12⇒y=12x+c

P(1∣1)P(1∣1) einsetzen und nach cc auflösen:

1=12⋅1+c⇒c=1−12=12⇒g:y=12x+121=12⋅1+c⇒c=1−12=12⇒g:y=12x+12

Ebenen

Parameterform


Eine Ebene EE im Raum lässt sich durch einen Stützvektor →pp⃗  und zwei Spannvektoren →uu⃗  und →vv⃗  beschreiben:

E:→x=→p+r⋅→u+s⋅→vr,s∈RE:x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ r,s∈R

→pp⃗  zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt (Aufpunkt, Aufsatzpunkt, Stützpunkt) der Ebenen.
Die Spannvektoren →uu⃗  und →vv⃗  legen von dort an den Verlauf der Ebene fest. Man sagt auch, sie spannen die Ebene auf.

Skizze:

Sind drei verschiedene Punkte  AA, BB und CC gegeben, die nicht auf einer Gerade liegen, so kann man durch sie eindeutig eine Ebene festlegen:

E:→x=→(OA)+r⋅→AB+s⋅→ACE:x⃗ =(OA)→+r⋅AB→+s⋅AC→


Beispielaufgabe:

Bestimme zwei unterschiedliche Parametergleichungen einer Ebene, die durch
A(1∣2∣3)A(1∣2∣3), B(−2∣0∣3)B(−2∣0∣3) und C(10∣10∣9)C(10∣10∣9) festgelegt ist.


Lösung:

Es sind beispielsweise möglich:

E:→x=→OA+r⋅→AB+s⋅→AC=(123)+r⋅(−3−20)+s⋅(986)E:x⃗ =OA→+r⋅AB→+s⋅AC→=⎛⎝⎜123⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜−3−20⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜986⎞⎠⎟

oder

E:→x=→OB+r⋅→BA+s⋅→BC=(−203)+r⋅(320)+s⋅(12106)E:x⃗ =OB→+r⋅BA→+s⋅BC→=⎛⎝⎜−203⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜320⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜12106⎞⎠⎟

Parameterform von Geraden


Eine Gerade gg kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

g:→x=→p+r⋅→u;r∈Rg:x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ ;r∈R

Diese Darstellung heißt Parameterform:

  • →pp⃗  ist der Stützvektor und zeigt vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt (Aufpunkt, Aufsatzpunkt, Startpunkt) der Geraden.
  • →uu⃗  ist der Richtungsvektor und beschreibt somit den Verlauf der Geraden (vom Aufpunkt an).

Sind zwei Punkte AA und BB der Geraden gegeben, so kann damit die Parameterform bestimmt werden:

→x=→OA+r⋅→ABx⃗ =OA−→−+r⋅AB−→−


Skizze:

Beispielaufgabe:

Bestimme zwei verschiedene Parametergleichungen der Geraden durch A(1∣2∣3)A(1∣2∣3) und B(2∣0∣1)B(2∣0∣1).

Lösung:

Möglich sind beispielsweise

g:→x=→OA+r⋅→AB=(123)+r⋅(1−2−2);r∈Rg:x⃗ =OA−→−+r⋅AB−→−=⎛⎝⎜123⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜1−2−2⎞⎠⎟;r∈R
oder
g:→x=→OB+s⋅→BA=(201)+s⋅(−122);s∈Rg:x⃗ =OB−→−+s⋅BA−→−=⎛⎝⎜201⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−122⎞⎠⎟;s∈R

Geraden

Punkte berechnen


Die Ortsvektoren von Punkten, die auf einer gegebenen Geraden

g:→x=→p+r⋅→u;r∈Rg:x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ ;r∈R

liegen, erhält man, indem man für den Parameter rr beliebige Werte einsetzt.


Beispielaufgabe:

Bestimme vier verschiedene Punkte A,B,CA,B,C und DD, die auf der folgenden Geraden liegen:

g:→x=(33−3)+s⋅(0−27)g:x⃗ =⎛⎝⎜33−3⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜0−27⎞⎠⎟

Lösung:

s=0:→OA=(33−3)+0⋅(0−27)=(33−3)⇒A(3∣3∣−3)

s=0:OA−→−=⎛⎝⎜33−3⎞⎠⎟+0⋅⎛⎝⎜0−27⎞⎠⎟=⎛⎝⎜33−3⎞⎠⎟⇒A(3∣3∣−3)

s=1:→OB=(33−3)+1⋅(0−27)=(314)⇒B(3∣1∣4)

s=1:OB−→−=⎛⎝⎜33−3⎞⎠⎟+1⋅⎛⎝⎜0−27⎞⎠⎟=⎛⎝⎜314⎞⎠⎟⇒B(3∣1∣4)

s=−1:→OC=(33−3)+(−1)⋅(0−27)=(35−10)⇒C(3∣5∣−10)

s=−1:OC−→−=⎛⎝⎜33−3⎞⎠⎟+(−1)⋅⎛⎝⎜0−27⎞⎠⎟=⎛⎝⎜35−10⎞⎠⎟⇒C(3∣5∣−10)

s=10:→OD=(33−3)+10⋅(0−27)=(3−1767)⇒D(3∣−17∣67)

s=10:OD−→−=⎛⎝⎜33−3⎞⎠⎟+10⋅⎛⎝⎜0−27⎞⎠⎟=⎛⎝⎜3−1767⎞⎠⎟⇒D(3∣−17∣67)

Ebenen

Normalenform


Die Normalenform ist eine weitere Darstellungsart von Ebenen im Raum. Sie lautet

E:(→x−→p)⋅→n=0E:(x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0

Dabei ist →pp⃗  ein Stützvektor der Ebene, also der Ortsvektor eines Punktes, der in der Ebene liegt.
→nn⃗  ist ein Normalenvektor der Ebene.

Für →xx⃗  kann man nun die Ortsvektoren beliebiger Punkte X(x1∣x2∣x3)X(x1∣x2∣x3) in die Gleichung einsetzen.
Entsteht dadurch eine wahre Aussage, gilt X∈EX∈E, andernfalls nicht.

Geometrisch betrachtet, berechnet man in der Klammer den Verbindungsvektor zwischen dem Ortsvektor des eingesetzten Punktes und dem Aufsatzpunkt →pp⃗  der Ebene. Nur wenn der eingesetzte Punkt Teil der Ebene ist, liegt auch der berechnete Verbindungsvektor innerhalb der Ebene. Dieser steht dann senkrecht zum Normalenvektor der Ebene, das Skalarprodukt beider Vektoren ergibt somit 00.

Skizze:


Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:(→x−(101))⋅(2−2−1)=0E:⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜101⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−2−1⎞⎠⎟=0.

  1. Bestimme einen Punkt AA, der in EE liegt.
  2. Prüfe, ob Q(5∣−6∣20)Q(5∣−6∣20) in EE enthalten sind.


Lösung:

a. Man setzt x1=x3=0x1=x3=0.
Damit lautet das Skalarprodukt −2−2x2+1=0−2−2x2+1=0.
Auflösen nach x2x2 liefert x2=−12x2=−12.
Der Punkt lautet also A(0∣−12∣0)A(0∣−12∣0).

Die Punktprobe für AA bestätigt das:

((0−120)−(101))⋅(2−2−1)=0⇔(−1−12−1)⋅(2−2−1)=0⇒−2+1+1=0⎛⎝⎜⎛⎝⎜0−120⎞⎠⎟−⎛⎝⎜101⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−2−1⎞⎠⎟=0⇔⎛⎝⎜−1−12−1⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−2−1⎞⎠⎟=0⇒−2+1+1=0

b. Punktprobe für QQ:

((5−620)−(101))⋅(2−2−1)=0⇒(4−619)⋅(2−2−1)=0⇒1=0⇒Q∉E⎛⎝⎜⎛⎝⎜5−620⎞⎠⎟−⎛⎝⎜101⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−2−1⎞⎠⎟=0⇒⎛⎝⎜4−619⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−2−1⎞⎠⎟=0⇒1=0⇒Q∉E

Ebenen umformen
Parameterform Koordinatenform

Gegeben ist eine Ebene EE in Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→vx⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ .
Zur Umwandlung in die Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=dn1x1+n2x2+n3x3=d können folgende Schritte durchgeführt werden:

  1. Normalenvektor per Kreuzprodukt bestimmen:

→n=→u×→vn⃗ =u⃗ ×v⃗  

     2. Normalenform aufstellen, wobei →pp⃗  der Stützvektor der Parameterform ist:

(→x−→p)⋅→n=0(x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0

     3. Normalenform ausmultiplizieren:

→x⋅→n−→p⋅→n=0x⃗ ⋅n⃗ −p⃗ ⋅n⃗ =0

⟺→n⋅→x=→n⋅→p⟺n⃗ ⋅x⃗ =n⃗ ⋅p⃗ 

⟺n1x1+n2x2+n3x3=d⟺n1x1+n2x2+n3x3=d

dd entspricht dabei dem Skalarprodukt →n⋅→pn⃗ ⋅p⃗ .


Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:→x=(2−23)+r⋅(120)+s⋅(405)E:x⃗ =⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜120⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜405⎞⎠⎟.

Wandle die Ebene über die Normalenform in die Koordinatenform um.


Lösung:

1. →n=(120)×(405)=(10−5−8)n⃗ =⎛⎝⎜120⎞⎠⎟×⎛⎝⎜405⎞⎠⎟=⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟

2. E:(→x−(2−23))⋅(10−5−8)=0E:⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟=0


3. (10−5−8)⋅(x1x2x3)−(10−5−8)⋅(2−23)=0⇒(10−5−8)⋅(x1x2x3)=(10−5−8)⋅(2−23)⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜x1x2x3⎞⎠⎟−⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟=0⇒⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜x1x2x3⎞⎠⎟=⎛⎝⎜10−5−8⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜2−23⎞⎠⎟

Rechnet man beide Skalarprodukte aus, erhält man
10x1−5x2−8x3=10⋅2+(−5)⋅(−2)+(−8)⋅3=610x1−5x2−8x3=10⋅2+(−5)⋅(−2)+(−8)⋅3=6

Die Koordinatenform lautet damit
E:10x1−5x2−8x3=6E:10x1−5x2−8x3=6

Ebenen umformen
Koordinatenform Normalenform


Die Normalenform (→x−→p)⋅→n=0(x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0 einer Ebene lässt sich schnell und mit relativ wenig Rechenaufwand aus der Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=dn1x1+n2x2+n3x3=d zusammensetzen.

Für die Normalenform benötigen wir:

  1. Einen beliebigen Punkt der Ebene:
    Bestimme einen Punkt, der die Koordinatengleichung erfüllt.
    Bis zu zwei Koordinaten können dabei beliebig gewählt werden, die letzte verbleibende Koordinate muss dann so berechnet werden, dass die Koordinatengleichung stimmt.
  1. Den Normalenvektor:
    Dieser lässt sich aus den Koeffizienten der Koordinatenform ablesen:
    E:n1x1+n2x2+n3x3=d⇒→n=(n1n2n3)E:n1x1+n2x2+n3x3=d⇒n⃗ =⎛⎝⎜n1n2n3⎞⎠⎟


Beispielaufgabe:

Bestimme eine Normalenform der Ebene E:4x1−x2−x3=1E:4x1−x2−x3=1.

Lösung:

Wähle x1=x2=0x1=x2=0, dann muss x3=−1x3=−1 gelten,
damit die Gleichung 4⋅0−0−(−1)=14⋅0−0−(−1)=1 erfüllt ist.
Der zugehörige Punkt lautet also P(0∣0∣−1)P(0∣0∣−1).

Den Normalenvektor kann man aus der Gleichung ablesen:
→n=(4−1−1)n⃗ =⎛⎝⎜4−1−1⎞⎠⎟

Die Normalenform lautet damit
E:(→x−(00−1))⋅(4−1−1)=0E:⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜00−1⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜4−1−1⎞⎠⎟=0

Ebenen umformen
Koordinatenform Parameterform


Wenn die Gleichung einer Ebene in der Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=dn1x1+n2x2+n3x3=d  gegeben ist, lässt sich diese in die Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→vx⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗  umwandeln. Dazu bestimmt man drei beliebige Punkte A,BA,B und CC, welche die Koordinatengleichung erfüllen – also in der Ebenen liegen – und nutzt diese Punkte, um die Parameterform der Ebene aufzustellen.

E:→x=→p+r⋅→u+s⋅→v=→OA+r⋅→AB+s⋅→AC

E:x⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗ =OA−→−+r⋅AB−→−+s⋅AC−→−


Beispielaufgabe:

Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E:4x1+3x2−2x3=6E:4x1+3x2−2x3=6.

Lösung:

Wähle drei Punkte A(0∣2∣0);B(2∣0∣1);C(0∣0∣−3)A(0∣2∣0);B(2∣0∣1);C(0∣0∣−3), die die Koordinatengleichung erfüllen.

Berechne die Verbindungsvektoren →AB=(2−21)AB−→−=⎛⎝⎜2−21⎞⎠⎟ und →AC=(0−2−3)AC−→−=⎛⎝⎜0−2−3⎞⎠⎟ und setze in die Parametergleichung ein:

E:→x=(020)+r⋅(2−21)+s⋅(0−2−3)E:x⃗ =⎛⎝⎜020⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜2−21⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜0−2−3⎞⎠⎟

Ebenen umformen
Normalenform→→ Parameterform

Gegeben ist die Normalenform (→x−→p)⋅→n=0(x⃗ −p⃗ )⋅n⃗ =0 einer Ebene. Um die Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→vx⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗  zu erhalten, benötigt man einen Stützvektor →pp⃗ , welchen man direkt aus der Normalenform übernehmen kann. Es sind aber noch zwei Spannvektoren →uu⃗  und →vv⃗  nötig, welche folgende Eigenschaften erfüllen müssen:

  1. →uu⃗  und →vv⃗  sind linear unabhängig, also kein Vielfaches voneinander

→u=k⋅→v⟹k=0u⃗ =k⋅v⃗ ⟹k=0

  1. →uu⃗  und →vv⃗  sind beide senkrecht zu →nn⃗ 

→u⋅→n=0u⃗ ⋅n⃗ =0 und →v⋅→n=0v⃗ ⋅n⃗ =0


Beispielaufgabe:

Bestimme eine Parameterdarstellung der Ebene E=(→x−(55−1))⋅(042)=0E=⎛⎝⎜x⃗ −⎛⎝⎜55−1⎞⎠⎟⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜042⎞⎠⎟=0.

Lösung:

Lies den Stützvektor ab:  →p=(55−1)p⃗ =⎛⎝⎜55−1⎞⎠⎟.

Bestimmung der Richtungsvektoren →uu⃗  und →vv⃗ :

(u1u2u3)⋅(042)=0⇔4u2+2u3=0⎛⎝⎜u1u2u3⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜042⎞⎠⎟=0⇔4u2+2u3=0
(v1v2v3)⋅(042)=0⇔4v2+2v3=0⎛⎝⎜v1v2v3⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜042⎞⎠⎟=0⇔4v2+2v3=0

Allgemein entstehen dabei zwei Gleichungen mit je drei Unbekannten. Da hier n1=0n1=0 gilt, enthalten beide Gleichungen nur zwei Variablen. Man darf je zwei Variablen annähernd frei wählen. Zu beachten ist jedoch, dass →uu⃗  und →vv⃗  keine Vielfache voneinander sein dürfen und durch das Wählen der Koordinaten nicht der Nullvektor entstehen darf. Allgemein ist es sinnvoll, die Koordinaten möglichst einfach zu wählen, d.h. so viele Koordinaten wie möglich 0 zu setzen sowie möglichst ganze und keine unnötig großen Zahlen entstehen zu lassen.

Wähle u1=1;u2=0⇒0+2u3=0⇔u3=0u1=1;u2=0⇒0+2u3=0⇔u3=0
Wähle v1=0;v2=1⇒4+2v3=0⇔v3=−2v1=0;v2=1⇒4+2v3=0⇔v3=−2

Die beiden Richtungsvektoren lauten damit also →u=(100)u⃗ =⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ und →v=(01−2)v⃗ =⎛⎝⎜01−2⎞⎠⎟,
als Ebenengleichung erhält man E:→x=(55−1)+r⋅(100)+s⋅(01−2)E:x⃗ =⎛⎝⎜55−1⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜100⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜01−2⎞⎠⎟.

Ebenen umformen
Parameterform →→  Koordinatenform

Die Parameterform →x=→p+r⋅→u+s⋅→vx⃗ =p⃗ +r⋅u⃗ +s⋅v⃗  lässt sich auch auf dem direkten Weg – also ohne über die Normalenform zu gehen – in die Koordinatenform n1x1+n2x2+n3x3=dn1x1+n2x2+n3x3=d umwandeln. Dazu sparen wir uns das explizite Aufstellen der Normalenform, der Normalenvektor der Ebene wird jedoch auch hierfür benötigt.

Die Schritte zum Aufstellen der Koordinatenform lauten:

  1. Normalenvektor per Kreuzprodukt bestimmen:

→n=→u×→vn⃗ =u⃗ ×v⃗ 

     2. Normalenvektor einsetzen und dd berechnen:

→n⋅→x=→n⋅→p⇔n1x1+n2x2+n3x3=dn⃗ ⋅x⃗ =n⃗ ⋅p⃗ ⇔n1x1+n2x2+n3x3=d

dd entsteht aus dem Skalarprodukt →n⋅→pn⃗ ⋅p⃗  und →pp⃗  ist der Stützvektor der Parameterform.


Beispielaufgabe:

Wandle die Ebene E:→x=(11−1)+r⋅(49−8)+s⋅(−132)E:x⃗ =⎛⎝⎜11−1⎞⎠⎟+r⋅⎛⎝⎜49−8⎞⎠⎟+s⋅⎛⎝⎜−132⎞⎠⎟ in die Koordinatenform um.

Lösung:

Normalenvektor mit dem Kreuzprodukt bestimmen:

→n=(49−8)×(−132)=(42021)n⃗ =⎛⎝⎜49−8⎞⎠⎟×⎛⎝⎜−132⎞⎠⎟=⎛⎝⎜42021⎞⎠⎟

Da es beim Normalenvektor einer Ebene nicht auf Länge ankommt, können wir diesen Vektor etwas kürzen. Wir dividieren alle Einträge durch 21 und erhalten:

→n=(201)n⃗ =⎛⎝⎜201⎞⎠⎟

Stelle damit nun die Koordinatenform →n⋅→x=→n⋅→pn⃗ ⋅x⃗ =n⃗ ⋅p⃗  auf:

2x1+0x2+1x3=2⋅1+0⋅1+1⋅(−1)⇔2x1+x3=1

Koordinatenform

Punktprobe


Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform

E:n1x1+n2x2+n3x3=d.

Will man von einem Punkt P wissen, ob er in der Ebene liegt, setzt man die Koordinaten von P

in die Ebenengleichung ein. Entsteht eine wahre Aussage, so gilt P∈E , ansonsten P∉E.


Beispielaufgabe:

Prüfe, ob die Punkte A (10|−1|−6);B (0|0|17);C (2|1|6)
in E:3x1+6x2+x3=18 enthalten sind.

Lösung:

Punktprobe mit A

:
3⋅10−6−6=18⇔30−6−6=18⇔18=18⇒A∈E

Punktprobe mit B

:
3⋅0+6⋅0+17=18⇔17=18 ↯ ⇒B∉E

Punktprobe mit C

:
3⋅2+6⋅1+6=18⇔6+6+6=18⇔18=18⇒C∈E

Normalenform

Punktprobe


Liegt eine Ebene in Normalenform

E:(→x−→p)⋅→n=0

vor, so prüft man, ob ein Punkt A

in der Ebene liegt, indem man den Ortsvektor →OA von A
für →x einsetzt und die Gleichung löst. Entsteht eine wahre Aussage, so gilt A∈E, ansonsten gilt bei einer falschen Aussage A∉E.


Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Ebene E:(→x−(600))⋅(361)=0.

Prüfe, ob die Punkte A(10|−1|−6) bzw. B(0|0|17) in der Ebene liegen.

Lösung:

Punktprobe mit A

:

((10−1−6)−(600))⋅(361)=0⟺(4−1−6)⋅(361)=0

⇔12−6−6=0⇔0=0⇒A∈E

Punktprobe mit B

:

((0017)−(600))⋅(361)=0⇔(−6017)⋅(361)=0

⇔−18+17=0⇔−1=0 ↯ ⇒B∉E

Geraden

Punktprobe


Um zu überprüfen, ob ein gegebener Punkt A auf einer Geraden g liegt, führt man eine Punktprobe durch. Dazu setzt man den Ortsvektor →OA des gegebenen Punktes für →x in die Parametergleichung g:→x=→p+s⋅→u;s∈R der Geraden ein. Anschließend löst man zeilenweise nach dem Parameter s auf.

Dann gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Sind alle drei Zeilen ohne Widerspruch für den gleichen Wert für s lösbar, so liegt der Punkt auf der Geraden, es gilt also A∈g.
  2. Entsteht in mindestens einer der Zeilen ein Widerspruch (z.B. die Gleichung 0=1) oder erhält man durch das Auflösen verschiedene Werte für den Parameter s, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden, es gilt also A∉g.


Beispielaufgabe:

Gegeben ist die Gerade g:→x=(224)+s⋅(10−1).

Prüfe, ob die Punkte Q(5∣3∣1), R(0∣2∣6) und S(3∣2∣5) auf dieser Geraden liegen.

Lösung:

Punktprobe mit Q:

(531)=(224)+s⋅(10−1)⟺(31−3)=s⋅(10−1)⇒{−3=sphantom−1=0s−3=−s⇒{s=31=0↯s=3

In der mittleren Zeile ergibt sich ein Widerspruch (1=0)
⇒Q liegt nicht auf g;Q∉g.


Punktprobe mit R:

(026)=(224)+s⋅(10−1)⟺(−202)=s⋅(10−1)⇒{−2=s−0=0s−2=−s⇒{s=−20=0s=−2

Die wahre Aussage in der mittleren Zeile gilt für beliebige s, also auch für s=−2.
Somit sind alle drei Zeilen für s=−2 lösbar.
⇒R liegt auf g;R∈g.


Punktprobe mit S:

(325)=(224)+s⋅(10−1)⟺(101)=s⋅(10−1)⇒{1=s0=0s1=−s⇒{s=10=0s=−1

Man erhält keinen eindeutigen Wert für s.
⇒S liegt nicht auf g;S∉g.

Parameterform

Punktprobe


Bei der Parameterform der Ebene

E:→x=→p+r⋅→u+s⋅→v

führt man eine Punktprobe mit dem Punkt A durch, indem man den Ortsvektor dieses Punktes für →x einsetzt und das LGS löst. Ist es lösbar, liegt der Punkt in der Ebene und man erhält gleichzeitig die entsprechenden Werte für die Parameter r und s. Ansonsten entsteht eine falsche Aussage und der Punkt liegt nicht in der Ebene.


Beispielaufgabe:

Prüfe, ob die Punkte A (10|−1|−6) und B (0|0|17) in

E:→x=(600)+r⋅(6−30)+s⋅(−416)

enthalten sind.

Lösung:

Punktprobe mit A

:

(10−1−6)=(600)+r⋅(6−30)+s⋅(−416)|−(600)

⟺(4−1−6)=r⋅(6−30)+s⋅(−416)

⇒(6−44−31−106−6)→GTR(10001−1000)⇒{r=0s=−10=0⇒A∈E


Punktprobe mit B

:

(0017)=(600)+r⋅(6−30)+s⋅(−416)|−(600)

⇔(−6017)=r⋅(6−30)+s⋅(−410)

⇒(6−4−6−3100617)→GTR(100010001)⇒{r=0s=00=1↯⇒B∉E

Arbeitsblätter

Analytische Geometrie 

Klausur 

Schwierigkeitsgrad 1 / Serie 01


Aufgabe 1

Gib zu den folgenden gegebenen Ebenen und/oder Geraden die Lagebeziehung an und begründe deine Entscheidung mathematisch. Berechne gegebenenfalls den Schnittpunkt. Eine Schnittgerade muss nicht berechnet werden. Rechne zudem die Ebenen in die Koordinatenform um und trage diese auf dem Arbeitsblatt ein. Berechne die Winkel, falls ein/e Schnittpunkt/-gerade vorliegt.

a)

g:→X(12−2)+λ⋅(4−35)

b)

g:→X(646)+λ⋅(221)

h:→X(246)+λ⋅(−21,5−2,5)
E:→X(12−2)+λ⋅(112)+μ⋅(240)



E:___x1___x2___x3___=0

c)

E:8x1+x2+5x3−3=0

d)

E:→X=8x1+x2+5x3−3=0

E:→X(343)+λ⋅(2−14)+μ⋅(303)


g:→X(202)+λ⋅(2−1−3)
E:___x1___x2___x3___=0


Aufgabe 2

Berechne den Abstand des angegebenen Punktes zu den folgenden Ebenen/Geraden.

a)

→X=(12−2)+λ⋅(4−35);P(1|2|1)

b)

E:8x1+x2+4x3+4=0;P(1|2|1)

c)

Beschreibe, wie sich der Abstand zweier paralleler Geraden rechnerisch ermitteln lässt.


Aufgabe 3

Zeichne in ein Koordinatensystem die Punkte P(2|0|2),S(−4|0|2);R(−3|4|−3) und Q(2|4|−3) und die Ebene EPQRS ein und benenne die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem, indem du die Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellst.

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